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Vecchio 14-04-12, 09:17   #401
astromauh
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Mi ha preso la pigrizia...

continuate voi...

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Vecchio 14-04-12, 09:24   #402
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

E' sufficiente un piccolo ragionamento.
Incominciando dalla fine (e andando a ritroso...)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-04-12, 16:02   #403
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
Due giocatori si alternano nello scegliere un numero

Facciamo lo stesso giochino imponendo che il numero scelto
#393

Quote:
.

Di un insieme di cartoncini si sa che:
1) Sono in tutto 81;
Domanda: Quanti sono i cartoncini sui quali c'è scritto il numero 10?

---------------
#672

Probabilmente, i quesiti sono ...troppo semplici.
E allora ... soprassediamo

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-04-12, 16:56   #404
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
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Due giocatori si alternano nello scegliere un numero e sommarlo al totale raggiunto.
Il numero scelto deve essere minore o uguale della metà del totale, che inizialmente parte da 2.
Vince chi arriva a 1000 (generalizzando: a un valore N).
Chi vince fra i due, e qual è la strategia?

Chi comincia vince, dato che alla prima mossa lascia l'avversario con 3 che perde.

Un totale parziale è perdente se, trovandocelo davanti ed avendo noi la mano, non possiamo fare niente per evitare la sconfitta.

Il valore cui si deve giungere (N o 1000) è logicamente perdente per chi consente all'avversario di arrivarci.
Sono invece vincenti quei parziali che ci permettono di fare una giocata che lascia l'avversario con un parziale perdente.

Quindi tutti i numeri x da 999 a 667 sono vincenti, perché distano da 1000 per meno della loro metà,
ovvero (1000-x)<(x/2)
anche x>2/3*1000,
che è vero a partire dal valore x=[2/3*1000]=667 ([] è la parte intera superiore).

666 è invece perdente, perché da lì non si riesce ad arrivare a 1000 e d'altra parte almeno 1 lo si deve aggiungere, lasciando l'avversario in posizione vincente.

Continuando a scendere, il prossimo perdente è x=[2/3*666]-1=443,
che è il più piccolo parziale dal quale non si può raggiungere 666.
Poi vengono 295, 196, 130, 86, 57, 37, 24, 15, 9, 5, 3, 1.

2 non è nell'elenco, quindi è vincente!

In generale, si parte da N e si comincia a moltiplicare per 2/3, arrotondando per eccesso e poi togliendo 1.
Se la catena passa per il 2 allora chi inizia perde, altrimenti vince.
Lo scopo di un giocatore è raggiungere ad ogni passo i numeri indicati, che risultano perdenti per l'avversario.

Ad esempio, se si dovesse raggiungere 100, il 2 sarebbe perdente.
Gli altri perdenti sarebbero 66, 43, 28, 18, 11, 7, 4, 2, per cui al secondo di mano (che si troverà subito di fronte ad un 3) basterà raggiungere sempre quei parziali per vincere.



Ultima modifica di aspesi : 15-04-12 17:00.
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Vecchio 16-04-12, 08:29   #405
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
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Facciamo lo stesso giochino imponendo che il numero scelto debba essere "minore"
della meta' del totale (e non "minore o uguale"),e supponiamo pero' di partire da 4.
Anche in questo caso per vincere bisogna arrivare a 1000.
In questo caso, vince chi comincia o l'altro giocatore?

Ancora più facile.
Se si parte da 4, e si deve arrivare a 1000, chi parte perde.
Infatti, vince chi raggiunge 4, 6, 10, 16, 25, 38, 58, 87, 131, 197, 296, 444, 666 e 1000 (dal target basta moltiplicare di volta in volta per 2/3, eliminando gli eventuali decimali).

Infine, supponiamo di poter aggiungere al parziale raggiunto, un numero minore di tale totale (non della metà).
Con una mossa non siamo in grado di passare da x a 2x, con due però possiamo raggiungere sia 2x che 2x+1, quale che sia il passaggio intermedio.
Questo in binario equivale ad aggiungere un bit a piacimento a destra di un
qualsiasi numero.

Per esempio, se il totale parziale fosse 30 (11110), il nostro avversario con una mossa non potrà mai arrivare a 11110x (60 o 61), mentre noi lo possiamo fare qualsiasi cosa faccia lui. Quindi possiamo aggiungere bit a piacimento, e raggiungere qualsiasi target, una volta che riusciamo ad agganciare la sequenza iniziale di bit.
Chi muove per primo può solo cominciare la sequenza con 11, il secondo giocatore vince nel caso in cui l'espansione binaria del numero da raggiungere cominci con 10. Quindi la discrimante la fa il secondo bit da sinistra.


Per esempio, nel caso di mille, che in binario vale 1111101000 vince il primo giocatore, passando per i parziali 11, 111, 1111, 11111, 111110, 1111101, 11111010, 111110100 e 1111101000.

La strategia per quello dei due che deve vincere è di portare il punteggio al valore che in binario corrisponde alle prime cifre da sinistra di N, aggiungendo una cifra ad ogni mossa:
Se N=1000, cioè 1111101000
il primo giocatore dovrà ottenere nell'ordine:
3 = 11
7 = 111
15 = 1111
31 = 11111
62 = 111110
125= 1111101
250= 11111010
500= 111110100
1000= 1111101000

Saluti binari
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-04-12, 13:31   #406
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

In un sacchetto, ci sono N palline di cui 2 sono nere e tutte le altre sono bianche.
Ho notato che estraendone a caso un certo numero M, (M>1), la probabilita' che siano tutte bianche e' = 1/2.

Sapendo che nel sacchetto ci sono meno di 100 palline, quali sono i valori di N ed M ?

E se N fosse maggiore di 1000 e minore di 10 mila?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-04-12, 11:20   #407
Erasmus
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Ultimo quiz proposto da Nino II.
In un sacchetto, ci sono N palline di cui 2 sono nere e tutte le altre sono bianche.
Ho notato che estraendone a caso un certo numero M, (M>1), la probabilità che siano tutte bianche è = 1/2.
a) Sapendo che nel sacchetto ci sono meno di 100 palline, quali sono i valori di N ed M ?
b) E se N fosse maggiore di 1000 e minore di 10 mila?


Sia C(N, k) il numero di combinazioni di N oggetti a k a k.
Estraendone M, fra le C(N, M) M-ple diverse (per identità delle palline che le compongono), ce ne sono C(N–2, M) di tutte palline bianche.
Dire che la probabilità che una N–pla scelta a caso sia di sole palline bianche vale 1/2 equivale a dire che
C(N–2, M) = C(N, M)/2 (*)
Ricordando che
C(N, k) = N! / [k! (N – k)!]
la (*) è una equazione diofantina nelle 2 incognite M ed N.

Precisamente:
2·(N–2)!/{M! · [N – (M + 2)]!]} = N! / [M! · (N – M)!] (**)

Semplificando per M! (divisore comune ai due membri) e per tutti i possibili fattori o divisori comuni
– cioè anche per (N – 2)! nei numeratori e per [N – (M + 2)]! nei denominatori –
resta l'uguaglianza

N·(N–1)/[(N–M–1)·(N – M)] = 2 <=> N·(N–1) = 2·(N–M–1)·(N – M) <=>
<=> N^2 + 2M^2 – 4MN – N + 2M = 0 (***)

Concettualmente ... il quiz finisce qua!

Non c'è che da cercare la coppie (N, M) per N crescente da 1 in su, M < N pure crescente da 0 in su, [arrestando M quando N^2 + 2M^2 – 4MN – N + 2M ≥ 0]
e registrare (N, M) quando
N^2 + 2M^2 – 4MN – N + 2M = 0
===========================
Ma ... mi sottopongo alle forche caudine: trovare le effettive soluzioni.
-------------
Si può interpretare l'uguaglianza (***) come equazione parametrica in N di parametro M.

Esplicitando N si trova allora:
N = [4·M + 1 + √(8M^2 + 1)]/2. (4)
Esplicitando invece M si trova:
M = {[2N – 1 – √[2N·(N–1)+1]}/2 (5)

Con la (4) occorre cercare M tale che 8M^2 + 1 sia il quadrato di un dispari.
Per M = 6 viene
8M^2 + 1 = 8·36+1= 288+1 ^ 289 = 17^2
Allora N = [(4·6 + 1) + 17)/2 = 21

Risposta a):
N = 21; M = 6.
Per controllo, deve essere
19!/(19–6)! = [21!/(21–6)!]/2= (1/2)·19!·20·21/[(19 – 6)!·(20–6)·(21 –6)] –––>
–––> 1 = [20·21/(14·15)]/2 = [420/(210)]/2 = 2/2 ––> O.K.
============================================

D. «E se N fosse maggiore di 100?»
R. Continuando la ricerca di M intero tale che √(8M^2 + 1) sia intero, trovo, per esempio,
M = 35; N = 120.
Le possibilità sono infinite ma i numeri M ed N crescono.
Limitando le possibili soluzioni per N compreso in un certo intervallo, possiamo trovare
• nessuna soluzione, oppure
• una soluzione sola oppure
• più soluzioni
(a seconda dell'intervallo)
.

Adesso astromauh o qualcun altro si fa la conta (al computer) degli M che rendono intero il radicale
R = √(4M^2 + 1)
in modo che
N = (4M+1 + R)/2
renda vere le disequazioni
1 000 < N < 10 000
cioè
M intero tale che R = √(8M^2 + 1) sia intero e
1000 < (4M + 1 + R)/2 < 10 000 <=> 1999 < 4M + R < 19 999
============================================

Beh: visto che ho detto di sottopormi alle forche caudine, la conta provo a farla anch'io senza computer

Per N sempre più grande N/M tende al limite 2 + √(2) ≈ 3,41
(N/M)limite = 2 + √(2) ≈ 3,41
(M/N)limite = 1 – √(2)/2 ≈ 0,293.
Questo mi agevola nel limita<re i calcoli

Dato l'intervallo di N, posso trovare l'intervallo di M esplicitando M come in (5)).

M = [2N – 1 – √(2N^2 – 2N + 1)]/2 (5)

Quando fosse
1000 < N < 10 000
dovrebbe essere
292 < M < 2929

Se si fa la conta a mano ... allora bisogna risparmiare sui conti!

8M^2 +1 deve essere quadrato di un dispari. Sia questo 2X+1.
Allora deve essere 8M^2 = 4X^2 + 4X e quindi
M = √[X·(X+1)/2]
Ma X e X+1 non possono avere fattori comuni quindi
• O succede che X è un quadrato dispari e (X+1)/2 è pure quadrato (di un altro dispari)
• oppure X+1 è un quadrato dispari e X/2 è pure un quadrato (di un pari).

Tabulando i quadrati dei numeri pari del tipo 4y^1 e dei dispari del tipo (2y+1)^2 si beccano per confronto gli X giusti.

Per esempio:
2 · 70^2 = 9800; 99^2 = 9801
Allora X = 9800
M = √[X(X+1)/2] = 70·99 = 6930
N = [4M+1 + √(8M^2 + 1)]/2 = 23661 Oops! Troppo grosso!

[Ma ... ce almeno una soluzione per 1 000 < N < 10 000? ]

Con X = (2y +1)^2 e z = √[(2y·(y+1)+1] trovo (crescendo y di un'unità alla volta fino a a che z diventa intero):
––> y = 3; z = 5; M = (2y+1)·z = 7·5 = 35; M = 35; N = 120 (Troppo piccoli)
––> y = 20; z = 29: M = (2y+1)·z = 41·29 = 1189: M = 1189; N = 4060 O.K.
Con X+1 = 2y^2 + 1 e z = √(2y^2+1) trovo (crescendo y di un'unità alla volta fino a che z diventa intero):
––> y = 12 ; z = 17 : M = y·z = 12.17 = 204; M= 204; N = 697 (Troppo piccoli)

Mi pare che, per 1000 < N < 10000, di M ed N che van bene non ce ne siano più.

Risposta b)
N = 4060; M = 1189..
---------
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Ultima modifica di Erasmus : 19-04-12 23:41.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-04-12, 12:38   #408
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
N·(N–1)/[(N–M–1)·(N – M)] = 2 <=> N·(N–1) = 2·(N–M–1)·(N – M)


N = 21; M = 6.
Per controllo, deve essere

N = 4060; M = 1189.. O.K.

Mi pare che, per 1000 < N < 10000, non di M ed N che van bene non ce ne sono più.

---------


Da:
N^2 - N + 2M^2 - 4NM + 2M = 0
ponendo:
K = N - 2M
si ha:
K^2 - K - 2M^2 = 0
K = (1 +- RADQ(1+8M^2))/2

e, a questo punto, ... ho messo in excel ...

(Con meno di 1000 palline, c'è anche N=697 e M=204)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-04-12, 18:31   #409
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Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
[...]
(Con meno di 1000 palline, c'è anche N=697 e M=204)
Già conteggiati e segnati come "troppo piccoli"
Vedi che ho anche calcolato [N, M] = [23661, 6930] segnandoli come "troppo grossi".

------------
¿ Si possono costruire delle successioni di coppie di interi [Xn, Yn] con la proprietà caratteristica
x^2 + 2y^2 – 4xy – x + 2y = 0
tali che, spostando il riferimento, cartesiano si ottenga una progressione geometriaca?

[L'equazione cartesiana è quella di un'iperbole con un ramo che passa per l'origine degli assi].

Cioè:
Si possono trovare 6 costanti, A, B, C, D ed E tali che risulti, per qualsiasi n intero, valga quel che segue qui sotto?
X(n+1) – E = A·[X(n) – E] + B·[Y(n) – F]
Y(n+1) – F = C·[X(n) – E] + D·[Y(n) – F]

Il quiz te lo dò io adesso:
Rispondi alla domanda e, in caso affermativo, dicci quali sono le 6 costanti

------------------
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-04-12, 19:10   #410
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Siamo già incappati in questi numeri triangolari.
N
a(n) = 6a(n-1) - a(n-2) -2 con n>2, a(0)=1, a(1)=4
a(n) = 7a(n-1) - 7a(n-2) + a(n-3) con a(0)=1, a(1)=4, a(2)=21

M
a(n) = 7(a(n-1) - a(n-2)) + a(n-3), a(1) = 0, a(2) = 1, a(3) = 6, n > 3.
a(n) = 5*(a(n-1) + a(n-2)) - a(n-3)

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Cioè:
Si possono trovare 6 costanti, A, B, C, D ed E tali che risulti, per qualsiasi n intero, valga quel che segue qui sotto?
X(n+1) – E = A·[X(n) – E] + B·[Y(n) – F]
Y(n+1) – F = C·[X(n) – E] + D·[Y(n) – F]

Il quiz te lo dò io adesso:
Rispondi alla domanda e, in caso affermativo, dicci quali sono le 6 costanti

------------------
Non capisco neppure la domanda... e mi nascondo un po'

aspesi non in linea   Rispondi citando
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