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Vecchio 25-02-19, 16:51   #1
Planezio
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Messaggi: 2,763
Predefinito una curiosità sulla statistica

Un quiz sulla statistica che mi aveva incuriosito:
Un tale rientra dopo un lungo soggiorno in un paese dove c'è una malattia endemica che colpisce l'1% della popolazione.
Avendo paura, si sottopone ad un test che, gli dicono:
-Da' risposte giuste (od affidabili che dir si voglia) nel 90% dei casi.
Il test da' esito positivo. Quante sono le REALI probabilità che sia malato per davvero?
Gran parte delle persone cui ho sottoposto questo quesito hanno risposto:
-Ovviamente, il 90%......
Ma è proprio così?
Planezio non in linea   Rispondi citando
Vecchio 25-02-19, 20:40   #2
meta
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Messaggi: 772
Predefinito Re: una curiosità sulla statistica

Quote:
Planezio Visualizza il messaggio
Un quiz sulla statistica che mi aveva incuriosito:
Un tale rientra dopo un lungo soggiorno in un paese dove c'è una malattia endemica che colpisce l'1% della popolazione.
Avendo paura, si sottopone ad un test che, gli dicono:
-Da' risposte giuste (od affidabili che dir si voglia) nel 90% dei casi.
Il test da' esito positivo. Quante sono le REALI probabilità che sia malato per davvero?
Gran parte delle persone cui ho sottoposto questo quesito hanno risposto:
-Ovviamente, il 90%......
Ma è proprio così?

è un classico! la soluzione esplicita il criterio consolidato di tutti i buoni medici immemori di statistica (e non dovrebbero): fare ripetere gli esami quando il risultato è improbabile per altri motivi. in caso di esito dell'esame negativo, l'esame non verrebbe certo fatto ripetere, anche se il falso negativo avesse la stessa probabilità.


qua lo spiegano meglio di come sarei capace di fare io.
1b. Il caso del test diagnostico

La probabilità che un soggetto abbia una certa malattia è pari a 0,01 (1%).
La diagnosi della malattia è effettuata mediante un test clinico che ha le seguenti caratteristiche:
sensibilità = 0,80 (80% probabilità che un soggetto infetto risulti positivo al test);
specificità = 0,904 (90,4% probabilità che un soggetto sano risulti negativo al test).
1) Qual è la probabilità che un soggetto sia malato dato che è risultato positivo al test?
2) Qual è la probabilità che un soggetto sia malato dato che è risultato negativo al test?
Soluzione

Costruiamo il grafo della situazione.

Rispondiamo alla domanda 1)

Strano, vero?
Il test dice che uno è malato, ma la probabilità che sia veramente malato - dato il risultato del test - è minore del 10%.
Come si spiega?
Il test dà un falso positivo il 9,6% delle volte e il 99% delle persone sono sane.
Se mettiamo assieme l'alto numero di persone sane e l'abbastanza alta percentuale di falsi positivi, abbiamo come conseguenza una bassa probabilità che chi ha avuto un test positivo sia davvero malato.
Rispondiamo alla domanda 2)

Questo risultato è meno strano di quello precedente. Se il test dice che uno è sano, rimane una probabilità minore dell'1% che l'individuo sia in realtà malato.

Ultima modifica di meta : 25-02-19 23:00.
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Vecchio 26-02-19, 23:23   #3
Planezio
Utente Esperto
 
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Messaggi: 2,763
Predefinito Re: una curiosità sulla statistica

A me risulta 8,33% di probabilità, ma io avevo detto che il test è affidavbile per il 90% dei casi, non per l'80%.
Comunque il ragionamento fila.
Io comunque l'ho fatto così:
Arrivano 1.000 persone, 990 sane e 10 malate.
Test delle sane =
99 malate
891 sane
Test delle malate =
9 malate
1 sana.
Totale dei test "malato" = 108
Totale dei "veri" malati = 9
Percentuale = 9/108 = 8,33%.
Con affidabilità del test invece 80% mi viene 8 malati su 206 risultati positivi = 3,88%.
Non so se il metodo sia giusto, lo spero.

Ultima modifica di Planezio : 26-02-19 23:30.
Planezio non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-19, 01:56   #4
Erasmus
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Predefinito Re: una curiosità sulla statistica

Non sono affatto d'accordo!
E vorei sapere il parere di Miza e di aspesi (dato che in statistica io sono pittosto scarso!)
La domanda era:
Quote:
Planezio Visualizza il messaggio
[...] Quante sono le REALI probabilità che sia malato per davvero?
Planezio riconosce che meta ha usato lo stesso suo metodo ma ha trovato risultati diversi perché ha assunto 80% invece di 90% la probabilità che il test dia risultati giusti.
Bene: faccio anch'io come meta: adopero lo stesso metodo di calcolo che dice Planezio ma assumo che la probabilità che il test dia risultati giusti è 100%
Planezio ragiona così:
Quote:
Planezio Visualizza il messaggio
[...] Arrivano 1.000 persone, 990 sane e 10 malate.
Test delle sane =
99 malate
891 sane
Test delle malate =
9 malate
1 sana.
Totale dei test "malato" = 108
Totale dei "veri" malati = 9
Percentuale = 9/108 = 8,33%.
a) Mi pare che c'è un piccolo "errore di sbaglio". I "veri" malati sono 10 e non 9. Il rapporto di Planezio non è 9/108 = 1/12 bensì 5/54 ≈ 9,26%
b) Mi pare che ci sia un enorme arbitrario dsalto nella logica del procedimento!
Qui si suppone che il campione "testasto" sia perfetto, abbia cioè lo stesso rapporto malati/sani della popolazione totale della regione a malattia "endemica". E' una semplificaziione arbitraria che però, nell'economia di questo quiz ossia: in assenza di informazioni migliori – è accettabile.
Il difetto de test, essendo pochini i veri ammalati, consiste nel diagnosticare ammalata una percentuale di sani di circa il 10%.
Ma che c'entra questo col sapere che probabilità ha UN (solo) individuo (che quindi NON può assolutamente essere assunto come buon campione statistico) di mlato?
Secondo me ... non c'entra un fico secco!
Applichiamo lo stesso metodo di Planezio assummendo però che il test dia risultati giusti al 99%.
Quote:
Pseudo-Planezio
[...] Arrivano 10.000 persone, 9900 sane e 100 malate.
Test sulle 9900 sane =
99 malate
9801 sane
Test sulle 100 malate =
99 malate
1 sana.
Totale dei test "malato" = 99 +99 = 198
Totale dei "veri" malati = 100
Percentuale = 100/198 ≈ 50,5%.
Tu Planezio, al posto del tizio diagnosticato, penseresti che è quasi equiprobabile l'essere sano o malato. Io invece penserei che quasi certamente sono malato; ma siccome non è proprio sicuro che lo sia, cercherei di rifarmi fare il test quanto prima possibile!
–––
__________________
Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-19, 07:31   #5
meta
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Messaggi: 772
Predefinito Re: una curiosità sulla statistica

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Tu Planezio, al posto del tizio diagnosticato, penseresti che è quasi equiprobabile l'essere sano o malato. Io invece penserei che quasi certamente sono malato; ma siccome non è proprio sicuro che lo sia, cercherei di rifarmi fare il test quanto prima possibile!
–––
il senso notevolissimo di questo calcolo è che chi riceve un test positivo ha sì molte più probabilità di di essere malato rispetto a chi ha un test negativo, ma che comunque sono basse, anzi molto basse se la frequenza generale di malattia è modesta.
in queste condizioni, solo chi ha un test positivo deve rifare le analisi, chi lo riceve negativo no, pur essendo possibile che sia un falso negativo.


è la storia del PSA: producendo molti falsi positivi su una malattia che dipende moltissimo dall'età, risulta essere un esame DANNOSO sotto i 45 anni, in assenza di altre indicazioni.

Ultima modifica di meta : 27-02-19 07:35.
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Vecchio 27-02-19, 07:34   #6
aspesi
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Predefinito Re: una curiosità sulla statistica

Teorema di Bayes (è una probabilità di una probabilità, dopo aver visto i risultati)

Quiz di Planezio (supposto che la negativitò del test ni sani sia come la sensibilità del test nei malati = 0,9):

............................. Malati ....................... Sani .................... Totale
Test positivo .. 0,01*0,9 = 0,009 ..... 0,99*0,1 = 0,099 .......... 0,108
Test negativo . 0,01*0,1 = 0,001 ..... 0,99*0,9 = 0,891 .......... 0,892
.... Totale ............... 0,01 ........................ 0,99 ........................ 1

Quindi prob. di essere malati se il test è positivo = 0,009 / 0,108 = 0,0833.... ----> 8,33%

prob. di essere malati se il test è negativo = 0,001 / 0,892 = 0,001121 ----> 0,1121%

Quiz meta:

............................. Malati .......................... Sani .......................... Totale
Test positivo .. 0,01*0,8 = 0,008 ..... 0,99*0,096 = 0,09504 .......... 0,10304
Test negativo . 0,01*0,2 = 0,002 ..... 0,99*0,904 = 0,89496 .......... 0,89696
.... Totale ............... 0,01 ........................ 0,99 ................................. 1

prob. di essere malati se il test è positivo = 0,008 / 0,10304 = 0,07764 ----> 7,764%

aspesi non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 27-02-19, 09:34   #7
astromauh
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Predefinito Re: una curiosità sulla statistica

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Quindi prob. di essere malati se il test è positivo = 0,009 / 0,108 = 0,0833.... ----> 8,33%
Io lo avevo detto tanto tempo fa.

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Secondo me la probabilità che abbia contratto il virus dovrebbe essere del 8.3(3)% .
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astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-19, 10:07   #8
Planezio
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Predefinito Re: una curiosità sulla statistica

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Teorema di Bayes (è una probabilità di una probabilità, dopo aver visto i risultati)

Quiz di Planezio (supposto che la negativitò del test ni sani sia come la sensibilità del test nei malati = 0,9):

............................. Malati ....................... Sani .................... Totale
Test positivo .. 0,01*0,9 = 0,009 ..... 0,99*0,1 = 0,099 .......... 0,108
Test negativo . 0,01*0,1 = 0,001 ..... 0,99*0,9 = 0,891 .......... 0,892
.... Totale ............... 0,01 ........................ 0,99 ........................ 1

Quindi prob. di essere malati se il test è positivo = 0,009 / 0,108 = 0,0833.... ----> 8,33%

prob. di essere malati se il test è negativo = 0,001 / 0,892 = 0,001121 ----> 0,1121%
Bene. Vedo che abbiamo ottenuto lo stesso risultato.
Planezio non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-19, 09:49   #9
astromauh
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Predefinito Re: una curiosità sulla statistica

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Non sono affatto d'accordo!
Me lo immaginavo. Perché questo quiz e analogo ad un altro quiz su cui Erasmus non era d'accordo, anche se non ricordo quale fosse.

Adesso non ho il tempo per spiegarmi bene. Il problema è che Erasmus non riconosce la necessità di riconteggiare le probabilità dopo che si è venuti a conoscenza di un fatto, che in questo caso è che il viaggiatore è risultato positivo al test.

Il ragionamento giusto da fare è quello di considerare inizialmente tutti e quattro i possibili esiti, e calcolarne le probabilità.

tizio.......risultato.................Probabilità
malato...malato 0.01 * 0.90 = 0.009
malato...sano 0.01 * 0.1 = 0.001
sano......sano 0.99 * 0.90 = 0.891
sano......malato 0.99 * 0.1 =0.099

Totale Complessivo = 1

Ma di queste quattro esiti possiamo prendere in considerazione solo i due dove il risultato del test è stato: malato.

Nuovo Totale = 0.009 + 0.099 = 0.108 (Nuovo Totale che prende in considerazione solo i casi in cui il risultato del test è stato: malato, perché sappiamo che è questo ciò che è avvenuto)

ProbA = 0.009 / 0.108 = 0.08(3)= 1/12 (il tizio è malato e il test dice che è malato)

ProbB = 0.099 / 0.108 = 0.91(6) = 11/12 (il tizio è sano e il test dice che è malato)



PS

Rileggendo meglio mi sono accorto che Erasmus non era d'accordo con lo strano calcolo di Planezio e non sul risultato del quiz. In effetti nemmeno io ho capito il calcolo di Planezio, e credo sia errato, ma il risultato è giusto.
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Ultima modifica di astromauh : 27-02-19 13:37.
astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-02-19, 15:32   #10
Erasmus
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Predefinito Re: una curiosità sulla statistica

Cerco di spiegare perché, secondo me, ha ragione il medico a pensare che se il tewsrt è positivo e l'affidabilità del test è tot% tu hai la stessa probabilità di essere malato!
a) Nel quiz si parte da un dato (non discutibile in quanto proprio "ipotesi" data in premessa) che la percentuale dei malati (e quindi – anche se sottinteso – la percentuale di malati nel campione statistico su cui avviene il test) è 1%. Ma non conta il numero! Conta che per ipotesi si sa la percentuale di malati di quella malattia "endemica" (cioè - diffusa pressochè unudformemente "nel popolo").
Ma come è possibile questo? Se esiste un test che ha affidabilità 100% (o molto prossima al 100%) allora si può sapere (supposto che siano sufficientemente numerosi e casuali gli individui diagnosticati) la percentuale di malati, se no non è possibile!
Mettiamoci nelle brache del medico: è lui che sa che le diagnosi fatte con le macchine che lui conosee non sono infallibili! E supponiamo, allora, che sappia che quelli che vengono a farsi diagnosticare hanno il 90% di probabilità di essere nelle condizioni segnalate dal test.
Ovviamente il medico si occupa di curare i malati e di prevenire l'ammalarsi dei sani!
Quindi , in mancanza di altre informazioni, fa bene ad accettare la percentuale di affidabilità come probabilità di conoscenza della salute del diagnosticato ... anche perchè:
b) Non è in pratica accettabile l'ipotesi che si sappiua in partenza qual è la percentuale di ammalati gtra quanti si sottomettono al tewst!
• Se TUTTI costoro (e non solo pochi di essi) non sanno assolutamente se sono o no ammlati, allora ila condizione testata non è aaffatto una malattia! In pratica non è così: o uno sente di non star del tutto bene, o un medico con soli rilievi "clinici" (senza alcun preciso test) sospetta che il sottoposto alla sua "visita medica" è malato e gli consiglia il test (come diagnosi "oggettiva"), o la malattia è "epidemica", ossia con percentuale di malati (e di gravi conseguenze della malattia) tanto alte da preoccupare anche chi non percepisce alcun sintomo (ad essa relativo). E dunque non è applicabile querl metodo dtstistico (di astromauh, meta e Planezio).
• Di solito va a farsi fare il test chi sospetta di essere malato o chi vuole prevenire la malattia. Quindi esiste, anche se incerto e per niente oggettivo, un qualche precedente "test" a quello al quale vas a sottomettersi chi della propria salute vuol sapere di più! E in conclusione nella pratica capita – purtroppo! – SEMPRE che la percentuale di malati tra quanti vanno a farsi fare il test sia ben maggiore della percentuale di malati sull'intera popolazione.
Occhio: se la percentuale di malati trta chi va a farsi fare il test è "maggiore o uguale) a 50% (e quindi a priori uno che va a fafrsi fare il test sa che ha probabilità non minore del 50% di essere ammalato, anche la percentuale di positivi è non minore della percentuale di negativi (e tuttavia non maggiore della percentuale di veri ammalati).
Insomma: se dopo una PET (Positron Emission Tomography) ai polmoni il medico mi dice che, purtoppo, la PET segnala che ho un tumore polmonre e che però non è ceto che ce l'abba davvero perché in generaler quel che mostrano le PET nel 10% dei casi è dovuto a cause diverse dalla presenza di neoplasie, io mi convinco che con probabilità 90% io sono affetto da tumore polmonare. E credo a questa percentuale perché il medico mi ha mandato a farmi fare la PET dopo che io mi sono rivolto a lui perché sentivo qualcosa che non va ai polmoni e dopo avermi visitato rilevando qualcosa di molto sospetto!
Siccome la PET è un esame molo costoso in sè – pert per la "sanità" pubblica se rientra nei servizi da essa offerti e/o pewr il diagnosticato se deve sobbarcarsi a pagarne il costo – succede proprio che la percentuale di veri ammalati di tumore tra i diagnosticati è davvero molto elevata! Meglio dunque credere di essere "molto probabilmente" malato ( ma non "certamente" perché ... "Spes ukltima dea!") che pernsdare che, siccome la percentuale di ammalati di tumore è decisamente inferiore al 10% della popolazione, la probabilità di avere un tumore, nonostante l'ewsito "positivo" della PET, non aRRIVA AL 50%
–––
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