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Vecchio 20-06-18, 08:50   #11
aspesi
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Predefinito Re: Sfera circoscritta ad un tetraedro

Quote:
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Di questa sfera mi pare che ci siamo occupati molto tempo fa discutendo un quyiz "postato" [ovviamente] da aspesi].
------
Ciao Erasmus, ciao a tutti.

Purtroppo domenica scorsa l'ho fatta grossa
Andando a funghi ho attraversato un torrentello e scivolando su una pietra probabilmente coperta di muschio sono letteralmente volato e pesantemente caduto con tutto il mio peso sulla mano e sul braccio sinistro, che si è disallineato assumendo una forma a S. Nonostante il dolore terribile sono riuscito a tornare in paese, ove un amico mi ha accompagnato (più di 40 km) all'Ospedale di Ivrea. Qui dal pronto soccorso mi hanno subito ricoverato e lunedì mattina ho subito un intervento complesso durato quasi 2 ore (fratture scomposte di ulna, radio, polso, sarà difficile possa riprendere una sufficiente funzionalità.) Mi sono dimesso, sono a casa col braccio bloccato pieno di ferri e placche, ho un lungo programma di medicazioni e poi fisioterapia, per me questa estate è finita prima di incominciare...

Scusate se non ho neanche la voglia di leggervi e intervenire

aspesi ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-06-18, 17:54   #12
nino280
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

Veramente una bruttissima notizia.
Pietra maledetta
Auguri Nino. Devi guarire presto!
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 21-06-18, 00:08   #13
nino280
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

Quote:
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Ti do un suggerimento per il raggio della sfera circoscritta.
………………………………………………………………………...
Dunque, trovate Xk, Yk e Zk abbiamo alla fine
R = √(Xk^2 + Yk^2 + Zk^2) (come risulta anche dalla [**])
–––––––
Erasmus sei semplicemente fantastico! Complimenti veramente.
Ma anche io sono un poco fantastico
Io avevo visto tutte le tue k e avevo sorvolato il tuo paper credendolo troppo complesso per me.
Ma 10 minuti fa l'ho riletto e sono andato a sostituire i miei valori alla tua formula.
Non indovinerai mai cosa ho trovato, guarda:
io avevo trovato con l'ultimo mio disegno quello che ho chiamato "Groviglio Pazzesco" il centro della sfera che era se ricordi S
Vado a leggere le coordinate di S che sono:
X = 21,5
Y = 14,29319
Z = 13,19944
li elevo al quadrato li sommo e faccio la radice come mi dici:
462,25 + 204,2952804 + 174,2252163 = 840,7704967
radice del numero precedente = 28,99604378
Eureka il mio numero del raggio della sfera con a parte naturalmente il 28 le 5 cifre decimali uguali.
Ciao
E non mi dite che sono andato a modificare il numero, perché al #8 dal giorno 19 non ci sono più mie modifiche.

Ultima modifica di nino280 : 21-06-18 00:21.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-06-18, 02:57   #14
Erasmus
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Predefinito Re: Sfera circoscritta ad un tetraedro

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Ciao Erasmus, ciao a tutti. [...]
Ciao. aspesi.
Mi dispiace. [E adesso, chi curerà il tuo orto? ]
Ma sono anche contento di rileggerti (dopo giorni assenza).

Capisco bene come ti puoi sentire dopo una simile avventura!
Vedo con piacere che, nonostante tutto, riesci a scrivere.
Sei stato ... in parte bravissimo e in parte anche fortunato nell'essere riuscito a tornare in paese. [Penso che da dove sei caduto fino alla periferia del paese nonn hai incontrato anima viva!]
Sì: sei stato bravo perché un braccio fracassato e ... svergolo (come ce l'hai descritto) fa un dolore boia! Ma sei stato anche fortunato perché se svenivi – o se ti rompevi una gamba invece di un brraccio – in paese ci arrivavi solo se qualcuno, per caso, ti trovava. [Un insegnante mio collega quando insegnavo all'istituto tecnico agrario amava andare in montagna da solo. In un incidente analogo al tuo una prima volta è stato trovato per caso da un altro escursionista e aiutato (con difficoltà) a mettersi in salvo. Ma una seconda volta, non essendo rientrato la sera, sono andati a cercarlo la mattina dopo ... e l'hanno trovato morto. Non aveva ferite né fratture. Se non ricordo male, dall'autopsia è risultato che era morto poco prima di essere stato trovato, (probabilmernte per un malore, – non ricordo se infarto o ictus – che gli ha impedito di rientrare).

Auguri, auguri, auguri!
–––––
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Vecchio 21-06-18, 05:13   #15
Erasmus
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Sono riuscito a trovare il raggio della sfera [...]
E' = 28,99604 [...]
:
I miei mezzi di calcolo procedono entrambi con 14 cifre significative.
Il raggio della sfera circoscritta mi viene
R = 28.996039095242.

Ma dai: la procedura l'hai capita benissimo!
[Gli integrali non c'entrano; e l'equazione della sfera ... è facile quanto quella del cerchio].
---------
Quando insegnavo fisica all'Istiìtuto Tecnico Industriale (dove la fisica si studia in prima e in seconda ... quindi da studenti poco più che bambini!), facevo una lunga introduzione di matematica (che durava mesi!) anticipando l'uso delle coordinate cartesiane nello spazio, un po' di geometria analitica e anche (in seconda) un po' di trigonometria.
Penso infatti che sia sempre utile spingere le conoscenze di matematica fin dove l'allievo ... ce la fa ad arrivare!

Credo che sia sbagliato insegnare nozioni di fisica con lunghi discorsi che non arrivano mai alla precisione dei concetti proprio per la pretesa di evitare la matematica.
[Consideriamo, per esmpio, il moto armonico verticale di un peso appeso ad una molla a spirale. Spiegarlo davvero (ossia: capire quanto basso è il centro del moto di "andirivieni" rispetto all'estremo inferiore della molla senza peso attaccato, farne capire davvero l'andamento, ossia come dalla massa del peso appeso e dalla costante elastica della molla si ricava il periodo, ... penso sia impossibile senza l'impiego di speciali nozioni di matematica, che però nella specifica disciplina vengono impartite qualche anno dopo].
Anzitutto, dovevo insegnare ai miei allievi l'uso delle coordinate cartesiane dello spazio. E poi, in particolare, come si trova la distanza tra un punto A di coordinate [xA, yA, zA] ed un altro punto B di coordinate [xB, yB, zB].
Allora partivo da un parallelepipedo rettangolo di spigoli lunghi [a, b, c]
La diagonale di una delle facce di spigoli [a, b]– diciamola di lunghezza d per ora incognita – si trova con Pitagora e viene
d = √(a^2 + b^2).
Allora questa diagonale (di una faccia) è perpendicolare ad uno degli spigoli di lunghezza c, E la diagonale del parallelepipedo, sempre con Pitagora, viene
√(d^2 + c^2)
che, ricordando che d^2 vale a^2 + b^2, alla fine diventa
√(a^2 + b^2 + c^2).
Se il punto A ha coordinate [xA, yA, zA] e ikl punto B ha coordinate [xB, yB, zB], tracciando per A e per B le parallele agli assi coordinati si trova che (salvo casi particolari) A e B sono gli estremi della diagonale di un parallelepipedo di spicoli lunghi
[|xB – xA|, |yB – yA|, |zB – zA|]
Pertanto, il quadrato della distanza tra i punti A e B viene
AB^2 = (xB – xA)^2 + (yB – yA)^2 + (zB – zA)^2.
La superficie di una sfera di centro K di coordinate [xK, yK, zK] e raggio R è fatta da tutti e soli quei punti che distano R da K e quindi, se [x, y, z] sono in generale le coordinate di un punto dello spazio, quelli della siperficie della sfera verificano la legge di essere tutti distanti R da K, ossia l'equazione
(x – xK)^2 + (y – yK)^2 + (z - z^k)^2 = R^2.
La sfera che passa per i vertici A, B, C e D di un tetraedro eve avere il raggio R e le coordinate [xK, yK, zK] del centro tali che:
(xA – xK)^2 + (yA – yK)^2 + (zA - z^k)^2 = R^2.
(xB – xK)^2 + (yB – yK)^2 + (zB - z^k)^2 = R^2
(xC – xK)^2 + (yAC– yK)^2 + (zC - z^k)^2 = R^2.
(xD – xK)^2 + (yD – yK)^2 + (zD - z^k)^2 = R^2
---------

Ma lo scopo di questi miei due "post" ("Volume del tetraedro" irregolare e "Raggio della sfera circoscritta" partendo dalla conoscenza dei 6 spigoli) era mostrare l'utilità della "trigonometria sferica", che però non compare mai nei programmi di matematica (e quindi non si studia mai). Precisamente, nel nostro caso doveveamo trovare una funzione trigonometrica (per esempio il coseno) dell'angolo che si otterrebbe tagiando un diedro del osrtro tetraedro con un piano perpendicolare ad uno spigolo.
Se di questo angolo diedro so calcolare il seno, allora la distanza di un vertice da una faccia (ossia l'altezza della piramide che ha per base quella faccia) è il prodotto dell'altezza di una faccia laterale per il seno dell'angolo diedro tra faccia laterale e faccia-base (perché è la proiezione dell'altezza di una faccia laterale sulla perpendicolare alla faccia-base).
Insomma: non c'è nulla di difficile. Ma soltanto di non ancora imparato!
Vedi che il ricavare il coseno di uno dei tre diedri di un triedro è abbastanza facile (e d questo p vedere la dimostrazione che ho scritto).
––––
Naturalmente, speravo che anche Miza o qualcun altro partecipasse a questi miei quzi ... didattici!

Vedi che alla fine della fiera il capire un percorso logico sia per arrivare al volume del tetraedro che al raggio della sfera circoscritta è abbastanza facile. .
––––––
:hellio:
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Ultima modifica di Erasmus : 21-06-18 11:59.
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Vecchio 21-06-18, 15:35   #16
nino280
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Predefinito Re: Sfera circoscrittb ad un tetraedro

Questo l'ho preso da vikipedia.
Ma avrei potuto benissimo farlo io, ho però tagliato corto questa volta e sono andato a copiare e incollare.
Vedi che alla fine della fiera il capire un percorso logico sia per arrivare al volume del tetraedro che al raggio della sfera circoscritta è abbastanza facile. .


Mi dicevi:
Vedi che alla fine della fiera il capire un percorso logico sia per arrivare al volume del tetraedro che al raggio della sfera circoscritta è abbastanza facile. .
Sono più che d'accordo, specialmodo quando sono andato a sostituire i vari numerici alla tua formula.
Be diciamo che uno scegli una via e poi prosegue per quella. Bello è se poi alla fine il tutto coincide anche se le strade prese sono diverse.
Devo approfondire naturalmente i concetti che mi dicevi riguardo a diedri e trigonometria sferica (a volte mi prometto di fare delle cose, ma poi le faccio?)
Sono concetti che sicuramente già negli passati ne abbiamo parlato e riparlato ma poi cascano nel dimenticatoio.
Infatti sfogliano il mio famoso archivio di vecchi disegni, ieri ho visto disegnata una bella piramide a base quadrata con ben marcato l'angolo diedro e a scanso di equivoci il nome del file è proprio "Diedro" per dire che di quello si parlava. Non ho visto la data ma anni sicuramente.
Ancora un accenno alla mia soluzione.
Io senza volerlo mi sono "imbarcato" negli steradianti e la figura di sopra ne indica uno.
Per dire che non ero nemmeno tanto sicuro mentre disegnavo che gli angoli al centro di vari steradianti avrebbero o sarebbero dovuti coincidere in unico punto.
Ma col senno di poi è una cosa lapalissiana. Ma dirlo subito prima
Ciao
Mi ha mangiato lo steradiante
Eccolo ripescato.

Wikipedia

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Ultima modifica di nino280 : 21-06-18 15:47.
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Vecchio 21-06-18, 17:20   #17
Erasmus
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Quote:
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Sia ABCD un tetraedro irregolare e le lunghezze dei suoi spigoli siano:
BC = a;
CA = b;
AB = c;
AD= d;
BD= e;
CD= f..
Descrivere una procedura atta a trovare il raggi R della sfera circoscritta.

Supponiamo, per esempio:
BC = a = 46;
CA = b = 45;
AB = c = 43];
AD= d = 48;
BD= e = 49;
CD= f. = 51.
Quanto vale il raggio R della sfera circoscritta?
Ecco un po' di calcoli spiccioli su questo esempio..
Sia K (di coordinate [xK, yK, zK] per ora incognite) il centro ed R il raggio della sfera circoscritta. Allora l'equazione cartesiana di questa sfera:
(x – xK)^2 + (y – yK)^2 + (z–zK^2) = R^2[*]
deve essere soddisfatta dalle coordinate di ciascuno dei 4 vertici A, B, C e D del tertraedro.
Siccome le coordinate di A sono state assunte [0, 0, 0] ed è anche R=AK, deve essere:
R^2 = AK^2 = xK^2 + yK^2 + zK^2 [**]
per cui l'equazione[*] diventa
x^2 + y^2 + z^2 – 2(2(x^k·x + yK·y + zK·z) = 0
che si può anche scrivere nella forma
2(2(x^k·x + yK·y + zK·z) = x^2 + y^2 + z^2. [***].
Da questa, mettendo al posto di [x. y, z] un colpo le coortdinater di di B [cx, cy, cz]. un altro quelle di C B [bx, by, bz] ed un altro ancora quelle di D B [dx, dy, dz], si ricava un sistema di tre equazioni lineari nelle incohnite [xK, yK, zK] coordinate del centro K della sfera circoscritta al tetraedro ABCD, risolto il quale si calcola R dalla [**]
––––
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Vecchio 21-06-18, 22:28   #18
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Pensa il caso.
Nessuno mi aveva ordinato di mettere le coordinate di A a X0,Y0,Z0
Se soltanto avessi disegnato A da qualche altra parte tutte le coincidenze che abbiamo avuto ( anche nei risultati) io ed Erasmus non sarebbero state possibili.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 21-06-18 22:31.
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Vecchio 22-06-18, 15:10   #19
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Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Pensa il caso.
Nessuno mi aveva ordinato di mettere le coordinate di A a X0,Y0,Z0 [...]
Intendi: «mettere A nell'origine degli assi cartesiani, cioè in [0, 0, 0]».
Occhio ... a come ti esprimi! Hai imparato da aspesi ad esprimerti male o invece è lui che ha imparato da te?
------------------
Nessuno ti aveva ordinato di mettere A in [0, 0, 0], è vero.
Ma Erasmus te l'aveva già suggerito espressamente nel post #3 [di questo thread]. Tel chì:
Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
[...] L'equazione cartesiana di una sfera di raggio R e centro K (di coordinate Xk, Yk e Zk) è:
(x – Xk)^2 + (y – Yk)^2 + (z – Zk)^2 = R^2
che sviluppando i quadrati e portando a sinistra R^2 diventa
x^2 + y^2 + z^2 – 2(Xk·x + Yk·y + Zk·z) + (Xk^2 + Yk^2 + Zk^2 – R^2) = 0.
Ti ricordi che nel parlare del volume accennavo a due metodi?
Uno era quello di mettere un vertice nell'origine d'un sistema cartesiano e scrivere i tre spigoli con quel vertice comune [messo apposta nell'origine] in forma vettoriale, ossia come terne delle coordinate dell'altro estremo.
Per comodità
metto in (0, 0, 0) il vertice A (che viene ad avere coordinate [0, 0, 0])
• poi metto sul semi-asse positivo delle x il vertice B, (che viene ad avere coordinate [c, 0, 0]) [...]
[Il grassetto l'ho aggiunto adesso per evidenziare]
E vedi che nel suggerirti come fare (e in particolare di mettere A in [0, ,0, 0]) Erasmus ti ricordava l'inizio del precedente thread, (quello sul volume d'un tetraedro irregolare) nel quale già ci stava esplicita l'idea di mettere un vertice nell'origine degli assi cartesiani.
[Là era messo B in [0, 0, 0] e C in [a, 0, 0] (dove a = BC era la lunghezza dello spigolo con gli estremi nei vertici B e C) mentre nel "post" Nr 3 di questo thread Erassmus ti proponeva A in [0, 0, 0] e B in [c, 0, 0] = [43, 0, 0].
Ma l'idea è sempre la stessa, cambia solo il punto di vista, cioè l'orientamento del tetraedro.
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Vecchio 24-06-18, 09:23   #20
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Quote:
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Sia ABCD un tetraedro irregolare e le lunghezze dei suoi spigoli siano:
BC = a;
CA = b;
AB = c;
AD= d;
BD= e;
CD= f..
[...]
Supponiamo, per esempio:
BC = a = 46;
CA = b = 45;
AB = c = 43];
AD= d = 48;
BD= e = 49;
CD= f. = 51.

[...]
a) [...]
b) Eiste o no una sfera tangente ad oguno dei sei spigoli del tetraedro dell'esempio?
In generale, conoscendo la lunghezza di ciascuno dei sei spigoli, come si fa a sapere se esiste o no la sfera tangente a tutti gli spigoli? [...]
Lo ridico come quiz a sé stante.
A quali condizioni debbono sottostare le lunghezze degli spigoli di un tetraedro affinché esista una sfera tangente a tutti i 6 spigoli del tetredro?
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