Questo sito si serve dei cookie per fornire servizi. Utilizzando questo sito acconsenti all'utilizzo dei cookie - Maggiori Informazioni - Acconsento


Atik
Coelum Astronomia
L'ultimo numero uscito
Leggi Coelum
Ora è gratis!
AstroShop
Lo Shop di Astronomia
Photo-Coelum
Inserisci le tue foto
DVD Hawaiian Starlight
Segui in diretta lo sbarco di Philae sulla Cometa
Skypoint

Vai indietro   Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia > Il Mondo dell'Astronomo dilettante > Rudi Mathematici
Registrazione Regolamento FAQ Lista utenti Calendario Cerca Messaggi odierni Segna come letti

Rispondi
 
Strumenti della discussione Modalità  di visualizzazione
Vecchio 02-07-18, 21:30   #2931
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 5,555
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

A proposito di questo triangolo aureo:
https://s15.postimg.cc/bitonw3az/Triangoli_Aurei_1.png


Mi sono ricordato di un vecchio giochino.
Non so come chiamarli ma mi piace " I triangoli aurei roteanti"
Parto dalla prima figura che mi sono servito per risolvere , anzi diciamo confermare la soluzione di Aleph e disegno triangoli sempre più piccoli uno dentro l'altro come delle matriosche.
Ne ho colorati alcuni come si vede: tre.
Ma ce ne sono di più (non li ho colorati perché quelli più grandi coprono poi quelli più piccoli)
Ad ogni modo si vede quello blu identico a A S B
Poi troviamo A S L e S L T
Ultimo S T V tutti rigorosamente Aurei.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 02-07-18, 23:26   #2932
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,508
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....


AK =KL = LB e KB = AC (e perciò anche LC = KB = AC).
Quote:
aleph Visualizza il messaggio
[...] Abbiamo due triangoli isosceli identici, AKC e KLC, entrambi simili al nostro triangolo ABC.
E' vero. Ma tu non dici perché!

E per mostrare che l'angolo ABC vale π/5 = 36° non è necessario mostrare che i triangoli AKC e KLC sono isosceli e/o simili al triangolo ; basta mostrare che sono uguali.
Viceversa, si trova subito che i triangoli AKC e KLC sono isosceli e simili ad ABC dopo aver mostrato che l'angolo ABC vale un quinto di angolo piatto.
-------------
Io faccio così:
• Detto φ l'angolo ABC , siccome è KL = LB, anche BKL vale φ e quindi KLC= 2φ.
• I triangoli ACK e LCK sono uguali avendo il lato CK in comune e due lati uguali per costruzione (AK = KL e AC =LC). Pertanto è KAC = KLC = 2φ.
• Essendo AB = CB, l'angolo in C vale quanto l'angolo in A, cioè 2φ.
• Siccome la somma dei tre ancgoli interni di ogni triangolo è un angolo piatto, qui abbiamo:
ABC + BCA + CAB = φ + 2φ +2φ = 5φ = π ⇒
⇒ φ = π/5 rad = 36°.
------
Ancora:AKL = π – φ = (5φ) – φ = 4φ ⇒ CKA = 2φ = KACAC = KC.
Ossia: AKC è isoscele e simile ad ACB, e quindi , posto x=2·sin(18°), x è medio proporzionale tra 1 – x ed 1,
[{Ossia: AC è la sezione aurea di AB, cioè 2·sin(18°) = [√(5) – 1]/2 }.
––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 14-07-18 20:51.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-07-18, 10:15   #2933
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,508
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....


AK =KL = LB e KB = AC (e perciò anche LC = KB = AC).
––––––––––
Si può anche affrontare il quiz per via totalmente algebrica.

Posto
x = AC/AB,
se per comodità si assume
AB = CB = 1,
si ha subito
AC = KB = CL = x;
AK = KL = LB = 1 – x.
Detto – come nel mio precedente intervento – φ l'angolo ABC
• dal triangolo ABC [isoscele sulla base AC] si ha x/2 = sin(φ/2) = √{[1- cos(φ)]/2};[*]
• dal triangolo KLB [isoscele sulla base KB] si ha (x/2)/(1 – x) = cos(φ); [**]
Ricavando cos(φ) dalla[*] e confrontando con la [**] si trova l'equazione in x:
1 – (x^2)/2 = (x/2)/(1 – x) ⇒ x^3 – x^2 –3x + 2 =0.
Quest'ultima è soddisfatta anche da x = 2 (che è una soluzione da rifiutare dovendo essere x < 2) . Dividendo allora il primo membro per x – 2 si ha:
x^3 - x^2 - 3x + 2 = (x – 2)(x^2 + x – 1) = 0 ⇒> x^2 + x – 1 = 0 ⇒ x = [√(5) – 1]/2.
Pertanto, tornando alla[*]
sin(φ/2) = [√(5) – 1]/4 ⇒ φ/2 = 18° ⇔ φ = 36° = <un quinto di angolo piatto>
Oppure. dalla [**]: cos(φ) = (x/2)/(1 – x) = [√(5) + 1]/4 ⇒ φ = 36° = <un quinto di angolo piatto>.
–––


⇔⇒
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-07-18, 19:36   #2934
aspesi
Utente Super
 
L'avatar di aspesi
 
Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 4,236
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Nel quadrilatero ABCD le lunghezze dei lati sono:

AB = 5
BC = 17
CD = 5
DA = 9

Anche la lunghezza della diagonale AC è espressa da un numero intero; quanto è lunga?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-07-18, 23:56   #2935
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 5,555
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Ho la vaga sensazione che la diagonale sia 13
Perché se provo con 12 oppure con 14, il quadrilatero fa fatica a formarsi.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-07-18, 00:23   #2936
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 5,555
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Ci metto il disegnino che un poco giustifica come sono arrivato al 13:
https://s22.postimg.cc/it78paqmp/Quadrilatero_5-17.png


La i in blu è 13
Mentre AB = 5
BC = 17
CD = 5
AD = 9
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-07-18, 05:54   #2937
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 5,555
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

https://s8.postimg.cc/bc5p49qlh/Altr...adrilatero.png

Altra versione della mia risoluzione del quiz.
Ma questa volta un po' "barando" perché ho fatto intersecare 5 cerchi, 2 da 5, uno da 17, uno da 9 e uno da 13 (forzato dal disegno precedente) a formare un quadrilatero.


Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-07-18, 06:41   #2938
aspesi
Utente Super
 
L'avatar di aspesi
 
Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 4,236
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Ho la vaga sensazione che la diagonale sia 13

Ciao

Dovresti (è facile!) dire perché (la soluzione è questa)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-07-18, 21:26   #2939
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,508
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Nel quadrilatero ABCD le lunghezze dei lati sono:

AB = 5
BC = 17
CD = 5
DA = 9

Anche la lunghezza della diagonale AC è espressa da un numero intero; quanto è lunga?
Occorrerebbe aggiungere che il quadrilatero è convesso.
[Ma ... è "caratteriale" che aspesi si esprima "equivocabilmente". ]
---------
Supposto dapprima "articolato" il quadrilatero, allontanando B e D il più possibile uno dall'altro il quadrilatero degenera nel triangolo DBC (in quanto l'angolo in A degenera in un angolo piatto) di lati DB = 14, BC = 17 e CD = 5.
[Il punto A diventa un punto interno del lato DB]. Allora il coseno dell'angolo in D diventa:
(DB^2 + CD^2 – BC^2)/(2DB·CD) =(14^2 + 5^2 - 17^2)/(2·14·5 = –17/35.
In questa situazione limite la distanza di A da C diventa (con Carnot),
√{DA^2 + CD^2 –2(–17/35)·DA·CD) ≈ √(81 + 25 + 18·17/7) = √(1048/7) ≈ 12,24.
Allontandando invece A e C il più possibil uno dall'altro, il quadrilatero degenera nel triangolo ABC ((in quanto l'angolo in D degenera in un angolo piatto) di lati AB=5, BC= 17 e CA = 14.
Dunque ABCD è un quadrilatero convesso solo se AC è un qualunque reale tale che sia
√(1048/7) < AC < 14.
Se vogliamo che AC sia intero esso non può essere che 13.
–––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-07-18, 21:35   #2940
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,508
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
[...] Dovresti (è facile!) dire perché (la soluzione è questa).
In breve: fatto qualche conto, risulta che la lunghezza della diagonale AC deve comunque essere maggiore di 12 e minore di 14. Per essere un inter non può essere che 13.
–––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Rispondi


Links Sponsorizzati
Geoptik

Strumenti della discussione
Modalità  di visualizzazione

Regole di scrittura
Tu non puoi inserire i messaggi
Tu non puoi rispondere ai messaggi
Tu non puoi inviare gli allegati
Tu non puoi modificare i tuoi messaggi

codice vB è Attivo
smilies è Attivo
[IMG] il codice è Attivo
Il codice HTML è Disattivato


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 14:03.


Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it