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Vecchio 05-10-11, 13:27   #1
MangiasassiVerde
Utente Junior
 
Data di registrazione: Jul 2011
Messaggi: 67
Predefinito 9 periodico=1

Scusate ho letto una dimostrazione sul fatto che il decimale periodico 9 sia uguale all'unità...cioè ad esempio 0,9 periodico=1, ma parlandone a mio fratello, che è abbastanza bravo in matematica, lui mi ha risposto che era una s......a, che era come dare una dimostrazione usando i sillogismi...qualcuno sa se è giusto?

0,3 periodico=1/3
se moltiplico 0,3 periodico per 3, ottengo 0,9 periodico se moltiplico 1/3 per 3 ottengo 1
essendo 0,3 periodico=1/3 allora 0,9=1

GIUSTO?
MangiasassiVerde non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-10-11, 13:57   #2
Epoch
Utente
 
L'avatar di Epoch
 
Data di registrazione: Feb 2011
Ubicazione: Valle di Susa
Messaggi: 689
Predefinito Re: 9 periodico=1

1/3 = 0,3 (periodico), è arrotondato sulle calcolatrici con l'ultima cifra a 4, questo perché effettivamente l'infinitesima cifra periodica tende al valore superiore (non so se mi sono espresso bene).

Questo vuol dire che:

0,33333333333333333333333333333333333333333333* 3
è diverso da
1/3 * 3 che da giustamente 1.

dire che 0,9(periodico) =1 dipende da che livello di precisione vogliamo raggiungere.
In teoria non è così, ma visto che è =~1, si può anche assumere come vero.
__________________
Sul libro delle facce - www.astrofilisusa.it
Stumentazione: 114/900 Celestron, cercatore 8x50 - Binocolo Konus 20x80 - webcam TouCam Pro con fw SPC900NC

...Bisogna andare in alto per capire il trucco, che la terra non è piatta non è al centro di tutto, salire, ancor più in alto per vedere che il mondo, sta in una goccia del mare più profondo...
Epoch non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 05-10-11, 14:00   #3
MangiasassiVerde
Utente Junior
 
Data di registrazione: Jul 2011
Messaggi: 67
Predefinito Re: 9 periodico=1

Ah ho capito cosa dici...è una cosa strana questa
MangiasassiVerde non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-10-11, 14:33   #4
luranz
Utente Esperto
 
L'avatar di luranz
 
Data di registrazione: Dec 2008
Ubicazione: nel ferrarese
Messaggi: 2,261
Predefinito Re: 9 periodico=1

il ragionamento è che il numero 0,3333333333333333.. differisce dal valore di 1/3 per un valore pari a 1/(3*10^n) dove n è il numero di cifre utilizzate nel primo numero. Moltiplicando entrambi i membri per 3 moltiplichi anche la differenza e l'uguaglianza è precisa matematicamente
Esempio:
1/3=0,3333333+1/(3000000)
1/3*3=0,999999+3/3000000
1=1
__________________
Principalmente newton 8" f/5 ed EQ6goto
I disèn che al tròp pinsèr, al deriva dal pòc capir...
luranz non in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-10-11, 01:00   #5
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,015
Predefinito Re: 9 periodico=1

Quote:
MangiasassiVerde Visualizza il messaggio
Scusate ho letto una dimostrazione sul fatto che il decimale periodico 9 sia uguale all'unità...cioè ad esempio 0,9 periodico=1, ma parlandone a mio fratello, che è abbastanza bravo in matematica, lui mi ha risposto che era una s......a, che era come dare una dimostrazione usando i sillogismi...qualcuno sa se è giusto?

0,3 periodico=1/3
se moltiplico 0,3 periodico per 3, ottengo 0,9 periodico se moltiplico 1/3 per 3 ottengo 1
essendo 0,3 periodico=1/3 allora 0,9=1

GIUSTO?
Ha ragione tuo fratello!
Occhio però. Concetto espresso male!
Il sillogismo è una dimostrazione giusta, come un teorema.
La dimostrazione che ci mostri è una s***a perché è "tautologica", dimostra una proposizione dando per vera un'altra che in realtà sotto sotto dice la stessa cosa di quella da dimostrare.

[NB: Per brevità ma garantendo di evitare equivoci, si indichi il periodo tra parentesi. Così "Uno-diviso-tre-uguale-zero-virgola-3-periodico" si scrive "1/3 = 0,(3)"].

Ma non c'è bisogno di dimostrare un bel niente!

Caro "mangiasassi": quanti anni hai e che classe stai facendo?
Te lo chiedo perché, anche se si usano i numeri periodici fin dalle elementari, il loro esatto inquadramento richiede qualche conoscenza specifica sulle "serie" che io, per esempio, ho appreso solo all'università.
Pur mettendocela tutta per essere terra–terra, siccome non so il tuo livello di istruzione, come faccio a stare dentro a quello che puoi già capire perché si basa su ciò che già ti è stato insegnato?

Ci provo!

Una "serie" è la somma di infiniti addendi.
Per esempio, questa è la cosiddetta "serie armonica":
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n + ... (e così via senza smettere mai).
Sommiamoli man mano che arrivano questi addendi!
Se la somma continua a crescere in valore assoluto superando alla lunga il valore assoluto di qualsiasi numero prefissato si dice "serie divergente". Se invece, pur crescendo in valore assoluto (o oscillando), alla lunga si avvicina sempre meglio ad un preciso numero differendone meno di un prefissato scarto piccolo a piacere, la serie è "convergete", quel preciso numero al quale si avvicina è il suo "limite" e si dice che la serie "tende" a quel "limite".
Per sempio: supponi di partire da 1 e di continuare ad aggiungere la metà di quel che ti manca per fare 2.
Parti da 1. Ti manca 1 da 2 e allora aggiungi 1/2. Ora ti manca 1/2 da 2 e allora aggiungi 1/4, ... e così via.
Hai generato la serie:
1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + ... (la somma di 1 con tutte le infinite potenze di 1/2).
Chiaramente non arriverai mai a 2. Ma ci andrai più vicino di una distanza piccola ... a piacere.
Ti basta andarci ad una distanza minore di 1/1000 ? Non hai che da arrivare a 1/2^10 = 1/1024, sommare cioè 10 termini.

Una serie basata sulla somma di infinite potenze della stessa base si dice "serie geometrica" (e la base si dice anche "ragione" della serie geometrica).
In generale sarà del tipo:
S(x) = A·(1 + x + x^2 + x^3 + ...<tutte le infinite altre potenze della base x>).

Forse a scuola hai già visto che
(1–x)·(1 + x + x^2 + ... + x^n) = 1 – x^(n+1). (*)
Se non l'hai ancora visto, prova a farlo adesso, ché è facile-facile. Fatto il prodotto (con la proprietà distributiva), si elidono a due a due tutti i termini tranne il primo [che è 1] e l'ultimo [che è appunto –x^(n+1)]
Dalla (*) ricavi allora [portando (1–x) da fattore del 1° membro a divisore del 2°]:

(**) 1 + x=2 + x^3 + ... + x^n = [1 – x^(n+1)]/(1 – x).
Se supponi che x sia più piccolo di 1 in valore assoluto, [cioè –1 < x < 1], più addendi consideri nella somma di sinistra (cioè più grande prendi n) più quell' x^(n+1) che sta a destra diventa piccolo. Al tendere all'infinito di n trovi che x^(n+1) tende a zero e quindi che la serie geometrica (**) converge per |x| < 1 e tende a 1/(1–x).
Alias (e metto in grassetto le parole del linguaggio specifico):
«1/(1–x) è il limite al quale tende la serie geometrica di ragione x quando è |x|< 1»
.

Prendiamo ora un numero periodico qualsiasi, per esempio 7,3(58).
Significa:
7,3(58) = 7 + 3/10 + (58/1000)·[1 + 1/100 + (1/100)^2 + (1/(100)^3 + ....]
Vedi che lo stesso concetto di numero periodico contiene quello di serie geometrica di ragione 1/10^n, con n numero di cifre del periodo. Ossia: con un numero periodico si rappresenta in realtà la somma di un numero non periodico (fatto dalla parte intera e dall'eventuale antiperiodo) e del limite di una serie geometrica del tipo:
B·{1 + 1/10^n + (1/10^n)^2 + (1/10^n)^3 + ...}
dove B è un numero non periodico con le stesse cifre del periodo ed n è il numero di cifre del periodo.
[Non so se a scuola ti hanno insegnato come si fa a trovare la "frazione generatrice" di un numero periodico. Io l'ho imparato in 2ª media. Poi (all'università) ho capito perché si faceva in quel modo ... e questo "perché" sta proprio nel calcolo della serie geometrica che sta dentro il numero periodico].

Allora, cosa rappresenta 0,(9) ?
Rappresenta il limite della serie geometrica
(9/10)·[1 + 1/10 + (1/10)^2 + (1/10)^3 + ...]
che è:
(9/10)·[1/(1–1/10)] = 9/(10 – 1) = 9/9 = 1.

Tuo fratello ha ragione di dire che quella dimostrazione è una s****a perché se accetti di rappresentare 1/3 con 0,(3) implicitamente sostituisci una serie col suo limite ... e se accetti già che la cosa vada bene per la serie geometrica
(3/10)·[1 + 1/10 +1/100 + 1/1000 + ...]
non si capisce perché, invece, avresti bisogno di dimostrazioni per la serie geometrica
(9/10)·[1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...]
che ha la stessa identica ragione!

Ciao, ciao.
--------
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Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 11-10-11 19:20.
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