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Vecchio 18-09-08, 00:01   #1
Erasmus
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Predefinito Quattro cerchi tangenti a tre a tre.

Vi dice nulla questa formula?

(c1 + c2 + c3 + c4)^2 = 2*(c1^2 + c2^2 + c3^2 + c4^2).

Limitiamoci al caso di numeri reali.
Allora, dalla stessa struttura della formula deriva che le sue variabili:

• Non possono essere due positive e due negative.
• Non possono essere nulle in tre.
[Se due sono nulle e due no, necessariamente quest'ultime sono uguali].
• Se tre sono positive, la quarta può essere negativa.

Vi viene un mente niente?

Beh: ve lo dico io.

E' la formula che lega le "curvature" (ossia i reciproci dei raggi) di quattro cerchi (in un piano) tangenti a tre a tre.

Tre cerchi tangenti a due a due possono avere raggi arbitrari. Un quarto, per essere tangente a ciascuno dei primi tre, ha il raggio che è condizionato dalla formula di sopra.
Questa è un'equazione algebrica di 2° grado in ciascuna delle quattro variabili.
Quindi, assegnati 3 dei 4 numeri, per il quarto ci sono in generale due soluzioni.

Dati tre cerchi tangenti (esternamente) a due a due, c'è sempre un cerchietto tangente a tutti tre "incastrato" tra di essi (e quindi di raggio minore di ciascuno dei primi tre).
Ma di cerchi tangenti a tutti tre ce n'è un altro (con una eccezione ... caso limite).

Dati due cerchi tangenti, consideriamo una retta tangente ad entrambi (che li lasci entrambi da una stessa parte). Posso allora pensare ad un cerchietto "incastrato" tra i due cerchi e la retta tangente in modo che questa sia ora tangente a tre cercchi i quali sono tangenti a due a due e anche alla retta. Se il raggio del cerchietto (che sta tra gli altri due come in un solco) calasse un po', la retta che era tangente comune diventerebbe un cerchio (di raggio grande) tangente esternamente agli altri tre. Se invece quel cerchietto crescesse un po', la retta tangente comune diventerebbe un cerchio tangente internamente, cioè "circoscritto" agli altri tre (e quindi di raggio maggire di tutti).

Vi mostro una pagina esplicativa (in PNG) del problema di calcolare il raggio d'un cerchio tangente a tre altri cerchi tangenti a due a due. In essa è provata "costruttivamente" la bontà della formula di sopra (che condiziona i raggi di 4 cerchi tangenti a tre a tre) prendendo arbitrariamente i raggi a, b e c di tre cerchi tangenti a due a due e calcolando in funzione di questi il raggio r d'un quarto cerchio tangente a ciascuno degli altri tre.

La pagina eccola qua: Quattro cerchi tangenti a 3 a 3.png

Tornando alla formula dei raggi dei 4 cerchi, risulta "curvatura" negativa (e quindi raggio "negativo) per un cerchio tangente agli altri tre ma ... "circoscritto" al "trifoglio" costituito dagli altri tre.

Per esempio, se tre cerchi tangenti (esternamente) a due a due hanno raggi:

r1 = 1; r2 = 2; r3 = 3

il quarto cerchio può avere raggio r4 = 6/23 oppure raggio R4 = 6.
Nel primo caso si tratta del cerchietto "incastrato" (al centro del "trifoglio") tra gli altri tre.
Nel secondo del cerchio "circoscritto" al "trifoglio" degli altri tre.
In questo caso, l'equazione di sopra, (mettendo cioè c1=1, c2 =1/2 e c3 = 1/3), dà le due soluzioni:

c'4 = 23/6;
c"4 = – 1/6.

Un cerchio è "convesso" per i punti a lui esterni; è invece "concavo" per i suoi punti interni. Quando la formula di sopra dà una curvatura negativa (come nell'esempio) vuol dire quel cerchio è tangente internamente (a sé) a tutti tre gli altri che invece sono a lui tangenti esternamente (a ciascuno dei tre). Per tutti i punti dei tre cerchi cui il quarto è circoscritto, quest'ultimo è un cerchio "concavo": ed è bene che il segno negativo della sua curvatura ce lo faccia notare subito.

==================================
Chiedo a tutti, ma specialmente a Piotr (il nostro "esperto", matematico un po' meno rude degli altri ):
«Qualcuno sa dire di chi è questo "teorema"?
Esiste una dimostrazione più semplice di questa mia?
»


[Tempo fa avevo dimostrato la formula dapprima con approccio analitico (facendo uso di coniche) e poi con approccio trigonometrico (sfruttando opportunamente il teorema di Carnot). In entrambi i casi mi veniva ... un discorso molto più lungo e complicato di questo che presento adesso (che si basa invece su concetti e passagi elementari ... e tuttavia tanto incasinati da rendere problematico il venire a capo del "calcolo letterale" che comportano)].

Grazie dell'attenzione.

Bye, bye
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 04-01-13 23:56. Motivo: Tolto allegato e messo link a stesso documento online
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Vecchio 18-09-08, 10:06   #2
nino280
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Predefinito Re: Quattro cerchi tangenti a tre a tre.

Erasmus,non si vede niente cliccando sul link in rosso che hai segnalato come "pagina esplicativa" . . . mi da questo avviso:

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Aggiungi specificato non valido. Se hai seguito un link valido segnalalo all'amministratore


Ciao
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Vecchio 18-09-08, 11:17   #3
Erasmus
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Predefinito Re: Quattro cerchi tangenti a tre a tre.

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Erasmus,non si vede niente cliccando sul link in rosso che hai segnalato come "pagina esplicativa" . . . mi da questo avviso:

Messaggio vBulletin
Aggiungi specificato non valido. Se hai seguito un link valido segnalalo all'amministratore


Ciao
Riprova, vedrai che ora funziona!
In effetti, ho appena "modificato": ho eliminato il documento precedente e ce n'ho messo un altro (identico al primo ... tranne la correzione d'un brutto errore di grammatica che ci stava n fondo )

Ciao, Nino.

[Ma vedo che a parte noi due ... il forum è un deserto!]

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Vecchio 18-09-08, 12:19   #4
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Della pagina allegata come PDF dentro ad un file di estensione ".zip" ho fatto anche un'immagine.

Adesso provo a caricarla ...

Fatto.

Clicca qui per vederla: =>Immagine della pagina allegata come PDF

Ciao a tutti quanti. ( Quanti ? )
Immagini allegate
Tipo di file: jpg Quattro_cerchi.jpg (87.5 KB, 34 visite)
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Vecchio 18-09-08, 13:49   #5
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Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
"

«Qualcuno sa dire di chi è questo "teorema"?
Esiste una dimostrazione più semplice di questa mia?»

[
Grazie dell'attenzione.

Bye, bye
Io ho trovato un certo Farey che si è interessato di frazioni proprie con minimo denominatore fino ad un certo valore,ed un 'altro tale di nome Ford che su queste frazioni ha costruito cerchi tangenti denominati appunto "cerchi di Ford" e , non so se . . . . se questi è il nostro uomo
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-09-08, 20:10   #6
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E' molto curioso il fatto che ho voluto controllare quello che io stesso avevo detto sui cerchi di Ford (non bisogna fidarsi di nessuno,nemmeno di se stessi)e sono andato a cercare in google appunto i "cerchi di Ford". Ho trovato centinaia e centinaia di pagine di cerchi di Ford ,purtroppo tutti o quasi tutti erano cerchi di Ford Escort:
[IMG]http://tbn0.google.com/images?q=tbn:O8dPLFIWJbUCSM:http://i8.ebayimg.com/01/i/000/ef/3e/85d9_3.JPG[/IMG]

Comunque credo sia stato Apollonio ad esaminare circonferenze tangenti a tre a tre.


Ultima modifica di nino280 : 18-09-08 20:34.
nino280 non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 19-09-08, 03:35   #7
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Predefinito Re: Quattro cerchi tangenti a tre a tre.

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
... centinaia e centinaia di pagine di cerchi di Ford, purtroppo tutti o quasi tutti erano cerchi di Ford Escort:
[IMG]http://tbn0.google.com/images?q=tbn:O8dPLFIWJbUCSM:http://i8.ebayimg.com/01/i/000/ef/3e/85d9_3.JPG[/IMG]

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Comunque credo sia stato Apollonio ad esaminare circonferenze tangenti a tre a tre.
Ho trovato, Nino! [Cercando con Google prima < "Three Tangent Circles" > e poi, scoperto che c'entravano Cartesio ed un tal Franklin Soddy, < Descartes, Soddy >.
=> http://www.google.it/search?source=i...n+Google&meta=

Dunque:
a) Apollonio ha scritto un intero trattato sui cerchi tangenti. Ma il trattato è stato perso e di quel che ha fatto apollonio si sa un po' da altri successivi matematici (a partire ovviamente da quelli ellenisti)

b) Il teorema dei 4 cerchi di cui ho parlato io è di Cartesio (alias René Descastes) che lo dimostra in una lettera inviata nel 1643:
• secondo Wikipedia in italiano ad Elisabetta de Hervoirden figlia di Elisabetta di Boemia;
=> http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Descartes
• secondo Wikipedia in inglese alla stessa Elisabetta di Boemia.
=> URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Descartes'_theorem

c) Cartesio ha dato la formula (da me saputa tramite un tizio della Marthesis che però non ne dava la dimostrazione e poi da me ricavata in tre modi diversi – come ho già detto – )

d) Franklin Soddy nel 1936 ha pubblicato sul periodico Nature una poesia dal titolo:
«The Kiss Precise»
(Da ciò deriva il fatto che [il Teorema dei] «4 Cerchi Tangenti 3 a 3» di Cartesio passa spesso sotto il nome «The Kissing Circles» oppure «The Soddy's circles».
In quella poesia Soddy espone il teorema in versi senza far alcun riferimento a Cartesio e come se il teoreama fosse originalmente suo (probabilmente ignorando – come Erasmus! – che quel teorema era già stato dimostrato da Cartesio ed invece credendo – a differenza di Erasmus – di essere originale). Una cosa davvero nuova ha fatto però Soddy: ha esteso il teorema dal piano allo spazio dimostrando che se quattro sfere di raggi rispettivi arbitrari a, b, c e d sono tangenti a tre a tre – pensa a quattro mele in un piatto, di cui una sopra le altre tre – una quinta sferetta tangente a tutte quattro – pensa ad una ciliegia incastrata tra le quattro mele – ha il raggio x che sottisfa l'analoga equazione:
(1/x + 1/a +1/b + 1/c + 1/d)^2 = 3*[(1/x)^2 + (1/a)^2 + (1/b)^2 + (1/c)^2 + (1/d)^2].

e) Thorold Gossett ha infine mostrato che la formula vale, in un iperspazio ad n dimensioni con n qualsiasi maggiore di 1, per n+2 ipersfere ad n dimensioni:
< Somma di 1/Rj, per j da 1 ad n+2, elevata al quadrato> = n*<Somma di (1/Rj)^2 per j da 1 ad n+2 >

Ciao ciao!
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Ultima modifica di Erasmus : 23-09-08 12:56.
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Vecchio 19-09-08, 06:09   #8
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Quote:
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Thorold Gossett ha infine mostrato che la formula vale, in un iperspazio ad n dimensionen on n qualsiasi maggiore di 1), per n+2 ipersfere di dimnsione nsfere:
< Somma di 1/Rj, per j da 1 ad n+2, elevata al quadrato> = 2*<Somma di (1/Rj)^2 per j da 1 ad n+2 >

Ciao ciao!
E mi pare di aver letto da qualche parte che al crescere del numero di dimensioni spaziali la sferetta al centro è sempre più grande, e se non sbaglio intorno a dimensione 9 è addirittura più grande delle sfere che la circondano... Ricordo bene?
aleph non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-09-08, 10:18   #9
nino280
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Grazie al tuo link, Erasmus,ho trovato che i cerchi di Ford esistono davvero e non sono soltanto i cerchioni delle macchine che avevo trovato ieri : eccoli

http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle

I quali cerchi,tanto per chiudere il cerchio mi riportano ai cerchi di
Descartes, Ciao

Ultima modifica di nino280 : 19-09-08 10:28.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-09-08, 17:35   #10
Erasmus
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Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Grazie al tuo link, Erasmus,ho trovato che i cerchi di Ford esistono davvero e non sono soltanto i cerchioni delle macchine che avevo trovato ieri : eccoli

http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle

I quali cerchi, tanto per chiudere il cerchio mi riportano ai cerchi di
Descartes,: D Ciao
Si, Nino!
Questi "cerchi di Ford" hanno a che fare con i "cerchi di Descartes"

Mai sentiti nominare prima d'ora i "Cerchi di Ford".

Tuttavia – non ci crederai – come sottoprodotto del problema dei quattro cerchi tangenti a tre a tre (che solo ora sappiamo essere i cerchi di Decartes) mi ero occupato anche delle due successioni dei cerchietti di raggio decrescente che si trovano partendo da due cerchi uguali ed una loro tangente [pensata come cerchio di raggio infinito], in una successione tutti appoggiati ai due cerchi fissi di raggio uguale, nell'altra ad uno di questi e ad una tangente – raggio infinito! – [e ciascuno tangente al cerchietto precedente in entrambe le successioni].

La formula generale dei quattro cerchi tangenti a tre a tre, cioè

(c1 + c1 + c3 + c4]^2 = 2*(c1^2 + c2^2 + c3^2 + c4^2)

risolta rispetto ad una delle variabili (per esempio c4) equivale a quest'altra:

c4 = (c1 + c2 + c3) + 2*sqrt(c1*c2 + c1*c3 + c2*c3).

a) In una successione si inizia col cerchio tangente a due di raggio uguale e ad una loro tangente e si prosegue con quelli tangenti al cerchio precedente e ai due cerchi fissi di raggio uguale. Il primo cerchietto, dalla formula generale per c3 = 0 – curvatura nulla, i. e. raggio infinito – e c1= c2 = 1, ponendo c(1) al posto di c4, viene di curvatura c(1) = 4 [cioè raggio r(1) = 1/4]. Poi si prosegue [sempre dalla formula generale, e sempre con c1 = c2 = 1, ma ponendo c(1) = 4 al posto di c4 e c(2) al posto di c3] e si trova c(2) = 12, [cioè r(2) = 1/12]. Si continua allo stesso modo trovando:
c(3) = 24; c(4) = 40; c(5) = 60; c(6) = 84; c(7) = 112 ... ;
e in generale;
Ricorrentemente
c(1) = 4;
c(n+1) = c(n)*(n+2)/n
ossia
r(1)=1/4;
r(n+1) = r(n)*n/(n+2);
Intensivamente:
c(n) = 2*n*(n+1);
ossia
r(n) = 1/[2*n*(n+1)].
Nota che tutte le curvature sono multiple intere de quadruplo della curvatura dei due cerchi di partenza. [I rapporti sono il quadruplo dei numeri triangolari].

L'altra successione è quella dei cerchietti (di raggio decrescente) tangenti ad uno dei cerchi di partenza, ad una tangente (= cerchio di raggio infinito) ed al precedente cerchietto. Il primo è ancora di raggio 1/4 (come nella precdente successione). Sempre dalla formula generale, mettendovi adesso un termine sempre nullo [in corrispondenza della tangente], un altro sempre unitario [in corrispondenza del cerchio fisso di partenza] ed un termine di raggio r(n) per avere il successivo di raggio r(n+1), si trova:
c(2) = 4 +1 + 2*sqrt(4) = 9, [cioè r(2) = 1/9];
c(3) = 9+1 + 2*sqrt(9) = 16, [cioè r(3) = 1/16];
c(4) = 16+1 + 2*sqrt(16) = 25,
c(5) = 36; c(6) = 49; c(7) = 64 ... .
Ed in generale
Ricorrentemente:
c(1) = 4;
c(n+1) = c(n) + 2*n + 3
ossia
r(1)=1/4;
r(n+1) = 1/[1/r(n) + 2*n + 3].
Intensivamente:
c(n) = (n+1)^2;
ossia
r(n) = 1/[(n+1)^2].

Se i cerchi uguali di partenza, anziché di raggio 1 si prendono di raggio 1/2, la seconda successione viene di raggio r(n) = 1/[2*(n+1)^2]. Ponendo infine q = n+1, si ha per essa r(n) = 1/[2q^2], ossia la successione di "cerchi di Ford" con raggio decrescente (come si trova nella pagina da te linkata). Vedi infatti di nuovo:
=>http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle.

Se poi partiamo da uno dei due cerchi uguali invece che dal primo incastrato tra essi e la tangente, abbiamo senz'altro r(n) = 1/(2*n^2).

Dunque: partendo dal cerchio di diametro D come primo (e più grosso) cerchio di Ford, ogni cerchio di Ford ha diametro del tipo D/(n^2) con n intero positivo arbitrario.
Però, se guardiamo bene la figura della pagina linkata, vediamo che se n è dispari – diciamo n = 2*k+1 – di cerchi con diametro D/[(2*k+1)^2] ce ne stanno due (che si considerano entrambi di Ford, anche se uno non viene come elemento di questa seconda successione).
Infatti, osservando che

(2k+1)^2 = [k + (k+1)]^2 = k^2 + (k+1)^2 + 2k(k+1)

dalla formula generale dei cerchi tangenti, quello incastrato tra la tangente e i due cerchi consecutivi della seconda successione di diametri D(k)= D/(k^2) e D(k+1) = D/[(k+1)^2] viene ad avere curvatura

C' = (2/D)*{0 + k^2 + (k+1)^2 + 2*sqrt[0*k^2+ 0*(k+1)^2 + (k^2)*(k+1)^2]} =
= (2/D)*{k^2 + (k+1)^2 + 2*sqrt[(k^2)*(k+1^2]} = (2/D)*[k^2 + (k+1)^2 + 2k(k+1)] = (2/D)*[(2k+1)^2],

ossia diametro come il termine (2k+1)-esimo della seconda successione.
[Naturalmente, mentre le due dette successioni le avevo già studiate anni fa, queste considerazioni sul fatto che la seconda successione non dà tutti i cerchi di Ford della "mappa" della figura cui ci riferiamo le sto facendo adesso per la prima volta in vita!]

Nella figura che allego, ho messo in rosso la prima successione, in blu la seconda ed in verde qualche cerchietto di Ford che non sta nella seconda successione di cerchi pur avendo diametro uguale a quello di qualche suo termine.
=> Figura allegata

Immagini allegate
Tipo di file: jpg Cerchietti.jpg (22.7 KB, 19 visite)
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Ultima modifica di Erasmus : 19-09-08 19:05.
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