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Vecchio 14-02-19, 04:23   #1321
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[
Giusto!
Se poi riuscissi davvero ad estendere la sommatoria fino a +∞ troveresti un pelo di più, precisamente:
Codice:
+∞
  [sin(3,14·n)]/(3,14·n) =0,000253607259521...
 n=1
Ma questo è solo il particolare valore che assume la nostra somma quando la variabile φ vale 3,14 radiianti. Il valore della somma è piccolo perchè 3,14 è molto prossimo a π dove la somma è nulla dato che in φ = π si annullano tutti gli addendi.

Qua a rispondere non viene nemmeno Miza, l'Illustrissimo [quasi] infallibile.

Pertanto mi rispondo io!
[La domanda non era "Quanto fa?", bensì: "Calcolare ...".]
Allora adesso dico quanto fa e poi metterò un nuovo "paper" con la dimostrazione di "quanto fa". [Ma non subito, perché il paper non l'ho ancora scritto!].
Codice:
Per ogni φ compreso tra –2π e 2π esclusi risulta:
 +∞
  [sin(k·φ)]/(k·φ) =(π – |φ|)/(2|φ|)   (*) 
 k=1
In questa formula a destra compare il valore assoluto di φ (cioè |φ|) perché a sinistrta c'è una funzione evidentemente "pari" (ossia che assume lo stesso valore in φ e in –φ).
Intanto si può verificare la formula (*) per particolari valori di φ.
Per esempio, per φ = π/2 la (*) dà:
(π – π/2)/(2π/2) = (π/2)/π = 1/2.
A questo risultato si può arrivare osservando che per φ = π/2 si ha
sin(kπ/2) = (–1)^k
e quindi, raccogliendo a fattore comune 2/π il fattore π/2 del denominatore di ogni addendo, a sinistra della (*) si ha
(2/π)·(1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + ...) = (2/π)·arctan(1) = (2/π)·(π/4) = 1/2.
Per φ = π/n (con n intero positivo) il membro destro della (*) diventa
(ππ/n)) / (2π/n) = (n–1)/2.
Per esempio per φ = 2π/3, per cui la (*) dà (3/2 – 1)/2 = 1/4)]:


Vado a scrivere il "paper" che dimostra la (*)
––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 14-02-19 19:48.
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Vecchio 14-02-19, 12:52   #1322
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

[La domanda non era "Quanto fa?", bensì: "Calcolare ...".]

Questa è veramente una chicca Erasmussiana.
Per me che provengo da Laterza e con la valigia di cartone, è veramente troppa.
E' evidente che ci sono due Itaglie diverse.
Voglio uscire dall'Itaglia.
Ciao

nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-02-19, 19:56   #1323
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[La domanda non era "Quanto fa?", bensì: "Calcolare ...".]
Questa è veramente una chicca Erasmussiana.
Per me che provengo da Laterza e con la valigia di cartone, è veramente troppa, [...]
a) Per dire "di Erasmus" si dice "erasmiano (–a, –i –e), non "erasmussiano".
b) "Quanto fa" (un "qualcosa") uno lo può sapere perché gliel'hanno detto e lui ci ha creduto! Oppure sa anche trovare quanto fa con un calcolo apposito.
Vedi che il solo "sapere" è diverso dal "sapere dopo aver cercato e trovato attraverso calcolo opportuno).
Per esempio, tutti sanno – e forse lo sa perfino Giggi Di Maio – che la lunghezza di una circonferenza circolare vale poco più di 3,14 volte il suo diametro; ma quasi tutti (anche tu!) lo sanno perché si fidano (di chi gliel'ha insegnato ... o del libro su cui l'hanno letto). E si fidano perché si constata che su questa nozione tutti i "maestri" sono d'asccordo: ma quel che ha fatto Archimede potremmo magari rifarlo anche noi!
Archimede ha effettivamente calcolato che il rapporto tra una circonferenza rettificata! ed il suo diametro è minore di 22/7 e maggiore di 223/71. [Ai suoi tempi nel mondo greco non c'era la notazione decimale, arrivata dall'oriente circa mille e cinquecentio anni dopo. Mettendo quei rapporti in forma decimale, Archimede ha dimostrato che
223/71 = 3,14084507042254 < π < 3,14285714285714 = 22/7
Se facciamo la media abbiamo per il "pi-greco" di Archimede:
π ≈ 3,141851 ...
(che è maggiore dell vero "pi-greco" nel rapporto (circa) 1,000082.
-----------------
Ti insegno un metodo per calcolare "Pi-greco" (che è ben diverso dal sapere quanto fa!).
sqrt (2 – sqrt (2 + (sqrt(2+sqrt(2+ ...
fino che ci sono ("indentate" come le "matriòsche) n radici quadrate.
Occhio: la prima volta (dopo il primo 2 e davanti alla seconda radice quadrata)) c'è "meno" e poi tutte le altre volte c'è "più".
Quando sei stufo (per esempio per n = 10) moltoplichi per 2^n.
Vedrai che viene circa pi-greco con ottima approssimazione!
Teoricamente il vero p-greco è questo: il limite di questo processo al tendere all'infinito del numero di radici quadrate "indentate"
Guarda qui con 10 radici quadrate indentate che Pi-greco viene!

Questo numero è precisamente metà del rapporto tra il perimetro di un poligono regolare di 1024 lati ed il suo raggio (ossia: distanza di un vertice dal centro).
[Si parte dal quadrato e si raddoppia l numero di lati 9 volte]
Archimede è partito da un esagono e poi ha raddoppiato il numero di lati quattro volte, fermandosi al poligono regolare di 96 lati.
Ma ha poi approssimato il poligono circoscritto con 22/7 di diametro e quello inscritto con 223/71 di dimetro.

Non aveva mica la calcolatrice elettronica! E neanche della buona carta e nemmeno una vera matita! E non sapeva neanche scrivere i numeri in cifre!
E quando è arrivato un soldato romano (col permesso di saccheggio!) ha tentato di impedirgli di distruggere la documentazione dei suoi studi. Ed il soldato romano (che non sapeva chi fosse quel tizio che si permetteva il lusso di obiettare sul suo diritto di saccheggio) l'ha sbudellato di colpo.

La leggenda dice che il console romano aveva però dato l'ordine di catturare Archimede senza fargli male! E quando si seppe che invece un saoldato l'aveva ammazzato fece giustiziare quel soldato (con la decapitazione, ... una specie di anticipo della ghigliottina!). Giustiziato per non aver risparmiato Archimede, mica per aver ucciso persone inermi ed innocenti! Siracusa fu distrutta dai romani e chiunque tentò di risparmiare qualcosa fu sbudellato senza tanti preamboli. E questo non era considerato "delittuoso".

[Del resto, tutte le uccisioni di civili sotto i bombardamenti ... non sono delitti ma soltanto effetti collaterali indesiderati"!
Io e tutta la mia famiglia siamo usciti incolumi dal primo bombardamento su Verona, che ha colpito proprio il mio sobborgo ammazzando circa 200 persone sui circa 4000 abitanti; e tutti nel raggio di qualche centinaio di metri da dove eravamo noi. E nessuno ha chiesto nemmeno "scusa" ai superstiti!
Voglio dire: non è che i metodi moderni siano più delicati del diritto di saccheggio in vigore in passato fin dalla preistoria!
A proposito di saccheggio e massacro dei cittadini: I russi furono campioni nel saccheggio di Berlino negli ultimi giorni di guerra. Lo scienziato Wilhelm Cauer – il principale autore nella teoria dei circuiti elettrici per telecomunicazioni – fu ucciso dai russi a Berlino (assieme ad altri 7 suoi compagni) ... e non si sa perché! Cercato dalla moglie, fu da essa riconosciuto in un mucchio mucchio di cadaveri abbandonati dai russi. Probabilmente lui e gli altri (suoi colleghi) non si erano mostrati troppo accondiscendenti al saccheggio dei soldati russi (che asportavano dai laboratori dell'univewrsità materiale importante per consegnarlo ai loro comandi militari ... che li ricompensavano "a peso").
––––––––


P.S.
Ho ri-editato ed aggiunto notizie sulla fine di Archimede e sulla analoga fine (22 aprile 1945) di Wilhelm Cauer
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Ultima modifica di Erasmus : 16-02-19 17:48.
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Vecchio 15-02-19, 21:29   #1324
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Quote:
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____
La risposta a questo quiz è un ... "sottoprodotto" della dimostrazione più facile che
Codice:
    +∞
   {[sin(x)]/x}dx  = π/2
    0
La dimostrazione sta nel "paper" che segue.
La risposta al quiz viene da un passaggio della dimostrazione di quell'integrale notevole. Ed è scritta in fondo, nella terzultima riga [formula 5)]

––
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Vecchio 16-02-19, 10:00   #1325
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Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
a) -----------------
Ti insegno un metodo per calcolare 2Pi-greco" (che è ben diverso dal sapere quanto fa!).
sqrt (2 sqrt (2 + (sqrt(2+sqrt(2+ ...
fino che ci sono ("indentate" come le "matriòsche) n radici quadrate,
Occhio: la prima volta (dopo il primo 2 e davabnti alla seconda radice quadrata)) c'è meno e poi tutte le altre volte c'è "più".
Quando sei stufo (per esempio per n = 10) moltoplichi per 2^n.
Vedrai che viene circa pi-greco con ottima approssimazione!
Teoricamente il vero p-greco è questo: il limite di questo processo al tendere all'infinito del numero di radici quadrate "ibndentate"
Guarda qui con 10 radici quadrate indentate che Pi-greco viene!

Questo numero è precisamente metà del rapporto tra il perimetro di un poligono regolare di 1024 lati ed il suo raggio (ossia: distanza di un vertice dal centro).
[Si prte dal quadrato e si raddoppiano i lati 9 volte]
A|rchimede è partito da un esagono e poi ha raddoppiato i lati quattro volte, fermandosi al poligono regolare di 96 lati
––


Grazie Erasmus di questo tuo inzegnamento. Bello
Mi mancava. Ora so come fare per trovare Pi Greco.
Anche se in verità io ho un libro intero in cui ci sono decine e decine di metodi per calcolare Pi Greco.
L'avevo comprato al centro commerciale, sai quando ci sono quei cassoni, si proprio cassoni di libri ammucchiati, con a fianco una bilancia, che in pratica li vendono a peso, 4 o 5 euro al chilo.
Potevo fotografarlo e postare qui la foto, ma ci sono troppi passaggi da fare, faccio prima a cercarlo in rete. Si intitola "Le gioie del Pi Greco" Gli ho ridato una sfogliata veloce questa mattina ma non ho trovato quella formula con tutte quelle radici una sopra l'altra. Devo guardare meglio. E' poi un libro di 25 anni fa.
L'hai fatta tu?
Ciao
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Vecchio 16-02-19, 13:35   #1326
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https://i.postimg.cc/NjxcwSqs/Pi-Greco-Erasmus.png



A questo punto visto che mi hai messo questo grosso rompicapo nella capa fra il calcolare e quanto fa vediamo di venirne a capo:
io sono un professore di matematica e voglio sapere quanto è lunga la circonferenza di un cerchio di raggio 1 dai miei allievi.
Come glielo chiedo?
Con quanto fa o con calcolare?
No, con calcolare è da escludere perché mi hai spiegato perché.
Quanto fa la lunghezza di una circonferenza di raggio 1?
Non è che mi piace poi tanto. Forse potrei dire trovare o cercare.
Ma mi spieghi perché mi devo incasinare in tutti questi problemi che non hanno ne capo ne coda?
Allora di sopra ho messo le due soluzioni e sarebbero quella del calcolare e quella del quanto fa, anche se in verità ho visto che dopo la quinta o la sesta cifra i risultati si differenziano, non so perché.
Insomma Pi Greco si conosce da 2 o 3 mila anni.
Qualcuno, più di qualcuno si è preso la briga di calcolarlo. Poi si è deciso di dargli un nome o un simbolo che tutti conosciamo.
Ora andare a dare delle dimostrazioni da dove viene fuori, e che me frega. Essendo più che evidente che uno non si è alzato un mattino è ha detto: assumiamo Pi Greco essere uguale a 3,14159 e rotti.
Se voglio sapere da dove viene fuori o prendo il mio libro che ho comprato un tanto al chilo, o me lo vado a cercare su internet.
Di nuovo insomma quando faccio un calcolo con Pi Greco difficilmente mi chiedo come hanno fatto a trovarlo.
Perché è evidente che se mi chiedo da dove viene fuori non ne esco più. Per il semplice motivo che se non prendo come buono il valore che altri anno trovato, li proprio in quella formula dove ci sono dieci radici di 2, dovrei dire, e la radice di 2 quanto è? 1,4142 e rotti, ma chi l'ha detto? E giù a mettere la dimostrazione di come si ricava la radice di 2. Non ne usciamo più.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 16-02-19 15:13.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 16-02-19, 16:01   #1327
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[...]Bello
[...]
L'hai fatta tu?
Veranente io ho fatto di meglio!
[L'ho detto molto tempo fa: ho fatto un programma che, a richiesta, dà le prime cifre esatte di Pi-greco, esattamente quante se ne chiedono!
--------------
La formula con la ripetizione delle radici quadrate è nota da secoli!
----------
Per spiegare la formula, prima un discorso di carattere più generale.
Supponiamo che una corda di una circonferenza di raggio r sia lunga kr (con 0 < k < 2) e che sia vista dal centro sotto l'angolo φ. Quano sarà lunga la corda che è vista dal centro sotto l'angolo φ/2?
• Con Pitagora trovo la distanza del centro della corda dal centro del cerchio, cioè:
√[r^2 – (kr/2)^2] = (r/2)·√(4 – k^2).
• La lunghezza della nuova corda, quella vista dal centro sotto l'angolo φ/2, è:
√[r – (r/2)·√(4 – k^2)]^2 + (kr/2)^2] = r√[2 – √(4–k^2].
Riscrivo il risultao (per fissarlo nella memoria).
Dato: <Corda vista sotto l'angolo al centro φ> = k·r
Conseguenza: <Corda vista sotto l'angolo al centro φ/2> = √[2 – √(4–k^2]·r
Per comodità assumiamo r = 1.
Adesso partiamo dal quadrato in cui un lato è una corda vista dal centro sotto un angolo retto ossia k = √(2) .
Il semiperimetro viene 2√(2) ≈ 2,828427...
Raddoppiando i lati abbiamo l'ottagono il cui lato è la corda vista sotto l'angolo metà di un angolo retto.
Allora √(4 – k^2) = √(4 – 2) = √(2)
Il lato dell'ottagono viene √[2 – √(4 – k^2)] = √[2 – √(2)].
Il semiperimetro dell'ottagono viene (2^2)√(2 – √(2)] ≈ 3,061467...
Raddoppiamo di nuovo i lati. Ora il nuovo k vale √[2 – √(2)].
Perciò il lato del 16-gono viene lungo √2 – √(4 – k^2)] = √{2 – √[4 –(2 – √(2)]} = √{2 – √[2 + √(2)]}
Il semiperimetro del 16-gono viene 8 di questi lati cioè (2^3)√{2 – √{2 + √(2)]} ≈ 3,121445...
Raddoppiamo ancora i lati. Avremo un 32-gono. Ora il nuovo k è √(2 – √(2 + √(2))) e perciò
√(4 – k^2) = √[4 – (2 – √(2 + √(2))] = √(2 + √(2 + √(2))).
Allora il lato del 32-gono è lungo √[2 – √(4 – k^2)] = √(2 – √(2 + √(2 + √(2))))
Il semiperimetro del 32-gono viene 16 di questi lati cioè (2^4)√(2 – √(2 + √(2 + √(2)))}) ≈ 3,136548...
Continuando, si trova sempre che il poligono regolare di 2^(n+1) lati ha un semiperimetro che vale:
Codice:
   (2^n)·√(2 – √(2 + √(2 + √(2 + √(2 + ... + √(2)...)
             1,      2,       3,       4,       5,      ...     n radici quadrate "indentate"
Ovviamente, al crescere di n il semiperimetro s'avvicina sempre di più alla semicirconferenza.
L'inconveniente di questa formula è che quando n è grande dopo il primo 2 si sottrae un numero che è quasi 2 e quindi al crescere di n cala il numero di cifre significative buone che dà la calcolatrice. Pe n che crescesse indefinitamente, con qualsiasi calcolatrice (con numero di cifre significative grande a piacere) ad un certo punto invece di approssimare sempre meglio Pi-greco si trova ZERO. E poco prima, se s è il numero le cifre con cui opera la calcolatrice, si trova sì un numero con s di cifre, ma solo le prime sono davvero cifre giuste (e le successive sono bagliate, peggio che aver arrestato il numero di lati ad un numero ben biù basso).
Ma a questo inconveniente si può porre rimedio (che adesso renderebbe però il discorso troppo lungo).
––
Dicevo che io avevo fatto ben di più!
Infatti avevo trovato un algoritmo che, dopo aver fatto una buona approssimazione di π con questo metodo, dalla memoria dei passi successivi (di ciascun raddoppio dei lati) estrapolava un numero di cifre esatte 61 volte di volte più lungo. Ma il bello era che si poteva prevedere quante erano le sicure cifre esatte (che poi erano tutte quelle estrapolate tranne le ultime 4 che erano incerte).
Eravamo nel 1994.
Allora avevo il computer con la RAM di soli 2 magabyte.
[Era il primo Mac che avevo comprato, che all'inizio aveva la RAM di soli 500 kilobyte ma poi ho potuto espanderla due volte: la prima ad 1 megabyte e la seconda con 2 megabyte]
Anche se teoricamente il metodo da me trovato poteva dare un numero di cifre esatte grande a piacere, in pratica (per la limitatezza della memoria) il massimo di cifre con cui potevo operare era 5429 e quindi nel calcolo di π con la detta formula delle radici quadrate trovavo 89 cifre esatte (che, per evitare il detto inconveniente erano cifre del reciproco 1/π dalle quali estrapolavo 89·61= 5429 cifre teoricamente buone; ma in pratica 5425 cifre esatte e le ultime 4 incerte
Oh! Eravamo nel 1994. Internet non esisteva ancora! Nemmeno la mia "Encyclopaedia Britannica" mi dava tutte quelle cifre di π! Ma io ero sicuro che delle 5429 cifre trovate solo le ultime 4 cifre avrebbero potuto essere sbagliate!, ossia che le prime 5425 cifre erano tutte esatte.
Adesso che da qualche parte si possono trovare un numero ancora maggiore di cifre di Pi-greco, si può controllare che davvero le mie 5425 cifre sono tutte giuste!
[Ho ancora la memoria dei risultati di quel mio programma in "TurboPascal for Mac"(della Borland).
Il risultato era scritto in formato "TextEdit" che si apre ancora anche col computer che ho adesso.
Adesso ne faccio una immagine PNG e poi te la faccio vedere qui.]

–––
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Ultima modifica di Erasmus : 19-02-19 00:25.
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-02-19, 14:57   #1328
astromauh
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

nino280, forse c'è un errore, prova a controllare, questa volta lo prendiamo in castagna.

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astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-02-19, 15:25   #1329
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Ho già controllato le prime 31 e sono giuste.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 18-02-19 15:29.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-02-19, 15:59   #1330
Mizarino
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Io ho controllato le ultime 31 e sono giuste.
Mizarino non in linea   Rispondi citando
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