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Vecchio 04-04-18, 01:01   #1
Lagoon
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Predefinito Quiz per Erasmus

Erasmus secondo me in questo tipo di problemi ci sguazza

Dati tre punti nello spazio P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) e P3(x3, y3, z3) calcolare il centro della circonferenza che passa per loro 3.

Lagoon non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-04-18, 22:13   #2
nino280
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Predefinito Re: Quiz per Erasmus

In attesa di Erasmus
Io non sono in grado di risolvere questo quiz.
Allora faccio le cose che so fare io.
Naturalmente sapete già come. Con un disegno.
https://s9.postimg.org/498qz6dm7/Tre_Punti_Spazio.png (questo link non si apre)

https://s9.postimg.cc/498qz6dm7/Tre_Punti_Spazio.png

Avendo tre punti non allineati nello spazio disegnare la circonferenza passante per quei tre punti (con il CAD e anche con GeoGebra) il tempo occorrente sono 10 secondi.
C'è il comando: Circonferenza per tre punti.
Eccolo li disegnato.

La circonferenza che vedete è diciamo così sbilenca rispetto ai tre piani cartesiani.
Ne do conferma:
parto con un punto da me scelto a caso di coordinate:
B = 5 ; 6 ; 7
poi siccome non mi voglio sforzare più di tanto mantengo gli stessi valori però scambiandoli di posizione:
C = 6 ; 7 ; 5
D = 7 ; 5 ; 6
e li vedete li in figura.
Come dicevo traccio la circonferenza passante per essi.
E' qui che incominciano le sorprese.
Senza volerlo e non so come il centro di detta circonferenza ha coordinate X 6 ; Y 6 ; Z 6

Non ci posso credere.
Nel senso che quel 6;6;6 mi viene restituito dal sistema.
Allora siccome sono incredulo metto un punto nel disegno di coordinate 6;6;6 e vedo dove va finire. Va a finire in E
Ma ancora non ci credo.
Da E traccio tre segmenti che vanno a B a C e a D (il mio volante)
Vado a leggere la lunghezza dei tre segmenti e sono tutti lunghi radice di 2 cioè 1,414213
Si ora ci credo.
Poi là dove mi dava le coordinate del centro mi da anche valori che sinceramente non capisco:
(6,6,6)+(-0,57735 cos(t)-sin(t);1,1547 cos(t);-0,57735cos(t)+sin(t)
Ripeto, di questa formula non ci capisco un accidente anche se riconosco subito quel 0,577 . . essere la tangente di 30° e quel 1,1547 il suo doppio.
di t non ho idea, che siano i coseni direttori del centro o le coordinate polari, non zo.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 12-04-18 22:42.
nino280 non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 05-04-18, 04:59   #3
nino280
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Predefinito Re: Quiz per Erasmus

Penso tuttavia che questo quiz si possa risolvere con la geometria analitica. Solo io non me la ricordo più.
E immagino come si potrebbe procedere.
Trovare le equazioni delle tre rette con i punti dati a due a due.
Trovare le tre intersezioni di queste tre rette.
Trovare le rette "normali" o perpendicolari alle rette e passanti per un punto a loro esterno.
L'incontro di almeno due di queste normali sarà il circocentro del triangolo ed anche il centro della circonferenza e quindi la soluzione del quiz. Una cosa lunga direi.
Detto questo andrò ancora a lavorare sul mio disegno e dire le cose che non ho ancora detto, per esempio costruire il triangolo per i miei tre punti per conoscerlo meglio (sarà una cosa semplice)
Il bello di tutta la storiella é:
se Erasmus risolverà il quiz letterale, o chi per lui, si potrà inserire i miei valori e verificare la correttezza sia della mia soluzione grafica sia la sua soluzione analitica.
Ciao ci vediamo dopo.

Ultima modifica di nino280 : 05-04-18 05:44.
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Vecchio 05-04-18, 05:36   #4
nino280
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Predefinito Re: Quiz per Erasmus

Continua:
https://s17.postimg.cc/mlxnd7eyn/Triangolo_Lambda.png

Allora vado a costruire come precedentemente detto il mio triangolo facendo passare tre rette per i miei punti.
Ecco che le sorprese continuano.
Ricordate che avevo messo tre punti nello spazio che nelle mie intenzioni volevano essere un pochino a caso. Ma caso vuole che il triangolo risultante è un triangolo equilatero.
Il lato è risultato essere 2 (radice di 2 * cos 30) = 2,44949 (ultima cifra arrotondata per eccesso)
E delle rette si può vedere la parte algebrica sulla sinistra in cui si nota un Lambda che moltiplica non so se moltiplica in modo matriciano si va matriciale i valori 1 e 2
Ciao
P.S. Mi sembra un romanzo giallo (poliziesco)
Ultimo indizio per trovare il colpevole.
Sappiamo che per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza ma ci passa anche uno ed uno solo piano.
E allora vai, lo disegno, anche se piani nello spazio ne ho già visti, solo che mi sono domandato come me lo rappresenta algebricamente.
Me lo rappresenta così : x + y + z = 18
Naturalmente penso che non siano altro che la somma delle coordinate del centro della circonferenza nonchè del triangolo.
Le ormai famose x6 ; y6 ; z6

Ultima modifica di nino280 : 12-04-18 23:05.
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Vecchio 05-04-18, 06:59   #5
nino280
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Predefinito Re: Quiz per Erasmus

Ora lo faccio io il quiz. Non ne faccio mai.
Domanda.
La sfera che passa per i tre punti che ho messo nello spazio e sulla circonferenza e ai vertici del triangolo e sul piano che al mercato un topolino mio padre comprò
Si la domanda la sfera che passa per B C D è unica?
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-04-18, 07:48   #6
meta
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Predefinito Re: Quiz per Erasmus

https://www.matematicamente.it/forum...ti-t87428.html

google toglie parecchio gusto ai quiz.
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Vecchio 05-04-18, 15:35   #7
Erasmus
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Predefinito Re: Quiz per Erasmus

Quote:
Lagoon Visualizza il messaggio
Dati tre punti nello spazio A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) C(x3, y3, z3) calcolare il centro della circonferenza che passa per loro tre.
Concettualmente la cosa è molto facile. Ma il ricavare simbolicamente le coordinate del circocentro di un triangolo in funzione delle coordinate dei vertici (in tre dimensioni) risulta piuttosto laborioso.
Conviene, comunque, trovara anzitutto li lati come segmenti orientati (ossia come vettori). Non sapendo come mettere qui la "freccia" sopra una coppia di lettere maiuscole, indico i lati-vettori con le lettere minuscole in grassetto dei vertici opposti e con l'orientamento da un vertice al successivo considerendo i vertici in senso ciclico. Ossia:
a = B → C ;
b = C → A ;
c = A → B .

Ovviamente risulta
a = [(x3 – x2), (y3 – y2), (z3 - z2)];
b = [(x1 – x3), (y1 – y3), (z1 - z3)];
c = [(x2 – x1), (y2 – y1), (z2 - z1)].

Per sapere se un triangolo è isoscele basta provare se si annula o no uno di questi tre prodotti scalari:
[ (ab) . c = 0 ] ∨ [ (bc) · a = 0 ] ∨ [ (c a) · b = 0 ].[*]
[E' equilatero se si annullano tutti tre i prodotti scalari[*]].
Ricordo che se [x, y, z] e [u, v, w] sono due vettori (tridimensionali) il prodotto vettoriale non è commutativo e:
[x, y, z] × [u, v, w] = [(yw – zv), (zu – xw), (xv – yu)].
Le componenti di[x, y, z] × [u, v, w] sono i cofattori della prima riga della matrice
Codice:
| i    j   k |
| x   y   z |
| u   v   w|
Per sapere se è rettangolo basta provare se si annula uno dei prodotti scalari tra due lati-vettori:
a · b = 0 ∨ b · c = 0 ∨ c · a = 0.
Ricordo che il prodotto scalare è la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti (ed è quindi commuttivo).
[x, y, z] · [u, v, w] = xu + yv + zw.
Nel seguito si indicheranno con Xc, Yc e Zc le coordinate del circocentro.
---------------
a) Se per caso il triangolo è equilatero allora il circocentro coincide col baricentro e allora:
[Xc , Yc, Zc] = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3, (z1+x2+z3)/3].
b) Se per caso il triangolo è rettangolo allora il circocentro è il punto medio dell'ipotenusa.
Supponiamo, per esempio, che sia a · b = 0. Allora
[Xc, Yc, Zc] = [(x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2 ]
c) In generale (per triangolo qualsiasi) si può procedere in diversi modi, in particolare in uno dei due seguenti.
d) Con la consueta geometria analitica.
Se fossimo in due dimensioni, nel piano cartesiano il circocentro sarebbe l'intersezione di due dei tre assi (che sono le perpendicolari a ciascun lato per il suo punto medio).
In tre dimensioni il circocentro è l'intersezione di tre piani dei quali uno è lo stesso piano del triangolo e gli altri due sono due dei tre piani rispettivamente perpendicolari ad un lato per il suo punto medio.
e) Con il calcolo vettoriale
Sia P(x, y, z) un punto qualsiasi del piano per i tre dati vertici del triangolo. Allora il segmento orientato da un vertice a P è combinazione lineare dei due lati-vettori di origine quel vertice.
Per esempio
v = A → P = αc + β(–b) = αc – βb
(dove α e β sono due parametri realii dipendenti da P).
Se allora scriviamo la distanza da P dai vertici ed uguagliamo una di esse a ciascuna delle altre due otteniamo due equazioni nelle incognite α e β. Messa la soluzione nell'espressione di [b]v[/V], le componenti di v aggiunte alle coordinate di A danno le coordinate del circocentro.

E' superfluo usare proprio la distanza invece del suo quadrato.
Abbiamo in generale [esplicitamente].
AP^2 = [α(x2–x1)+β(x3–x1)]^2 + [α(y2–y1)+β(y3–y1)]^2 + [α(z2–z1)+β(z3–z1)]^2;
BP^2 = [(α–1)(x2–x1)+β(x3–x1)]^2 + [(α–1)(y2–y1)+β(y3–y1)]^2 + [(α–1)(z2–z1)+β(z3–z1)]^2;
CP^2 = [α(x2–x1)+(β–1)(x3–x1)]^2 + [α(y2–y11)+(β–1)(y3–y1)]^2 + [α(z2–z1)+(β–1)(z3–z1)]^2.

Beh: credo di aver soddisfatto le richieste di Lagoon! [/code]
Ciao ciao
–––––

--------
P. S. [Editando]
1) Ho corretto un fottìo di "errori" di battitura e/o ... "errori di sbaglio" .

2) Ricordo che , calcolando dapprima le lunghezze a, b e c dei lati del triangolo e posta S la sua area, il raggio R del cerchio circoscritto vale
Codice:
       abc                                     a·b·c                                                           a·b·c                             
R = –––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––------------------------------------––––.
        4S      √[2(ab)^2 +2(bc)^2 +2(ca)^2 – (a^4 +b^4 +c^4)]     √[(a+b+c)(-a+b+c)(a–b+c)(a+b–c)]
In queste uguaglianze, ovviamente:
a = √[x3 – x2)^2 + (y3 – y2)^2 +*(z3 – z2)^2];
b = √[x1 – x3)^2 + (y1 – y3)^2 +*(z1 – z3)^2];
c = √[x2 – x1)^2 + (y2– y1)^2 +*(z2 – z1)^2].

3) Non sarebbe male nemmeno portare il triangolo nel piano z = 0 mediante opportune affinità isometriche, calcolare quindi le coordinate del circocentro dell'ottenuto truìiangolo e poi riportare il triangolo e(col suo circocentro) dove stava con le affinità invewrse (e nell'ordine inverso.
Indico schematicamente il processo.
a) Calcolare un vettore perpendicolare al triangolo facendo il prodotto vettoriale di due lati-vettori.
Per esempio
p = b × c =[x1 – x3, y1 – y3, z1 – z3] × [x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1] = [px, py, pz].
b) Calcolare il versore perpendicolare al piano dell'asse z e del detto vettore p perpendicolare al triangolo.
Ossia: v = [px, py, pz] × [0, 0, 1] = [py, –px, 0];
vers(v) = n =[α, β, γ] {che nel caso presente vale [α, β, γ] =[1/√(px^2 + py^2)] [px, –py, 0]}.
c) Eseguire la rotazione attorno ad ndell'amgolo φ di inclinazione di p sull'asse z , cioè dell'angolo
φ = arccos[pz/√[px^2 + py^2 + pz^2]).
Questa rotazione è data dalla matrice:
Codice:
             | α^2 [i – cos(φ)]+cos(φ),   αβ[1 – cos(φ)] – γsin(φ),   αγ[1 – cos(φ)] +  βsin(φ) |
Rn(φ) = | βα[1 – cos(φ)] + γsin(φ),   β^2 [i – cos(φ)]+cos(φ),   βγ[1 – cos(φ)] –  αsin(φ) |.
             | γα[1 – cos(φ)] –  βsin(φ),  γβ[1 – cos(φ)] +  αsin(φ),  γ^2 [1 – cos(φ)]+cos(φ) |
Per eseguire la rotazione del triangolo si moltiplichi Rn(φ) per la seguente matrice quadrata nella quale le tre colonne sono le coordinate dei vertici:
Codice:
      | x1,  x2,  x3 |
T = | y1,  y2,  y3 |
      | z1,  z2,  z3 |
ottenendo una matrice del tipo:
Codice:
       | u1,  u2,  u3 |
T' = | v1,  y2,  v3 |
      | w1,  w2, w3 |
In questa,, siccome il nuovo triangolo T' è in un piano parallelo a quello degli assi x e y, la terza coordinata dei nuovi vertici deve venire la stessa (cioè: la terza riga del prodotto deve avere le componenti uguali: w1 = w2 = w3 ).
Ignorando questa terza comune coordinata (diciamola w) , si trovi il circocentro del nuovo triangolo T' (per esempio scrivendo le equazioni di due assi e trovando l'intersezione di questi).
Siano dunque [Uc, Vc, Wc] – dove Wc deve essere uguale a w – le coordinate del circocentro di T'.
Eseguendo la rotazione inversa della precedente si trovano le coordinate [Xc Yc, Zc] del circocentro del triangolo originario T. Ossia – osservando che Rn(–φ) si ottiene da Rn(φ) semplicemente cambiando sin(φ) in –sin(φ) – :
Codice:
| Xc |       | α^2 [i – cos(φ)]+cos(φ),   αβ[1 – cos(φ)] + γsin(φ),   αγ[1 – cos(φ)] -  βsin(φ) |   | Uc |
| Yc |  =   | βα[1 – cos(φ)] – γsin(φ),   β^2 [i – cos(φ)]+cos(φ),   βγ[1 – cos(φ)] + αsin(φ) | · | Vc |
| Zc |       | γα[1 – cos(φ)] + βsin(φ),  γβ[1 – cos(φ)] –  αsin(φ),  γ^2 [1 – cos(φ)]+cos(φ) |   | Wc |
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Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 27-06-18 21:41.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-04-18, 17:06   #8
Lagoon
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Predefinito Re: Quiz per Erasmus

Precisissimo Erasmus!
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Io avevo pensato di risolvere il problema in maniera analoga.
Dati i tre punti P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) e P3(x3, y3, z3) calcolo il piano che li contiene: z=ax+by+c.

Sistemino di 3 equazioni in 3 incognite (a, b e c).

Il centro della circonferenza appartiene a questo piano quindi: C((z-by-c)/a, y, z) .

Impongo a questo punto che:

OP1 = OP2 e
OP2 = OP3

E risolvo in z e y.

Grazie!

Lagoon non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-04-18, 16:13   #9
nino280
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Predefinito Re: Quiz per Erasmus

Sono veramente sfortunato.
L'altra volta avevo preso a caso i primi tre numeri che mi venivano in mente ed erano stati il 5 il 6 e il 7.
Siccome per mettere tre punti nello spazio le coordinate devono essere 9 io avevo fatto ruotare quei tre punti.
Per mia somma sorpresa avevo disegnato (sempre nello spazio un triangolo equilatero ed il centro del circocentro di tale triangolo aveva coordinate 6;6;6. Va boh chiuso.
Ora cambio strategia cioè cambio i tre numeri e prendo 10 ; 15 ; 20 e come l'altra volta faccio ruotare, e assumo:
A = x=10 ; y=15 ; z=20
B = x=15 ; y=10 ; z=20
C = x=20 ; y=15 ; z=10
e vado a disegnare sia il triangolo che la circonferenza (il circocentro) passante per il triangolo, ma ecco la solita sorpresa:
https://s7.postimg.cc/43eazld8r/Nuova_Sorpresa.png


Senza volerlo ho ora disegnato un triangolo rettangolo i lati sono:
AB = 5 rad 2 = 7,07107
AC = 10 rad 2 = 14,14213
BC = 12,24745
mentre il raggio della circonferenza che circoscrive è ancora 5 rad di 2 cioè 7,0710678.
In più con notevoli sforzi da parte mia faccio finta di non conoscere il raggio della circonferenza ne tantomeno le coordinate del centro.
Premetto che io conosco già le coordinate del centro che sono anche questa volta un unico numero:
x = 15 ; y = 15 ; z = 15
Allora lavoro nello spazio mettendoci piani e contropiani, rette perpendicolari su rette perpendicolari punti medi vari (molti elementi di questi li ho nascosti) per arrivare a tracciare due assi del triangolo che intersecandosi mi avrebbero dato il centro del circocentro.
Dulcis un fundo ottenevo quei punti I ed E (naturalmente ne avevo anche un terzo mi pare fosse un D, quello iniziale in cui ho fatto finta di non conoscere)
Ebbene tutti questi punti avevano o hanno coordinate:
x = 15
y = 15
z = 15
Ciao
PS. E' superfluo dire che il circocentro di triangolo rettangolo come si vede in figura, giace sull'ipotenusa.
Qualcuno potrebbe dire: ti sei preso come l'alta volta un triangolo comodo, il rettangolo, che col senno di poi è evidente che il circocentro sta a metà ipotenusa, ma io sono convinto che il procedimento sia valido per tutti i triangoli. E' chiaro che 10 è metà di 20 quindi un triangolo anche di 30° ( Anche se non tanto immediata la cosa, visto che avevo lati di 7,07107)
Nulla mi vieta di provare con per esempio un 23 al posto di 20 o un 17 al posto di 15. Ora come ora non ne ho voglia.

Ultima modifica di nino280 : 12-04-18 23:11.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-04-18, 21:33   #10
Erasmus
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Predefinito Re: Quiz per Erasmus

Se tutte le sfortune fossero come questa che dic i... che pacchia!
––––––––––––
Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[...] ecco la solita sorpresa [...]
a) Ma non è una sorpresa!. Supponi di avere un solo punto P di coordinate [x, y, z] = [a, b, c]. Ora considera il segmento OP orientato dall'origine O[0, 0, 0] al termine P[a.b.c).
b) Se giri questo vettore di un terzo di angolo giro attorno alla retta per O[0, 0, 0] e U[1. 1, 1], lui va a finire messo rispetto all'asse delle y (o all'asse delle z a seconda del verso in cui lo giri) come era messo rispetto all'asse x. Ossia: va a finire in un punto di coordinate [b, c. a] o [c, a, b] (a seconda del verso di rotazione).
––––––––––
Per vedere meglio, immagina di infilzare un cubo lungo un sua diagonale, ossia con un asse per due vertici opposti. Se lo giri attorno a questo asse di un terzo di angolo giro ... se non ha le facce di colore diverso si ripresenta come se non l'avessi girato! Cioè: come se il punto di coordinate [a, b, c] si fosse spostato nel punto di coordinate [b, c, a] o [c, a, b] (a seconda del verso di rotazione).
––––––––––––
Più ... pignolescamente, ricordando che la distanza tra i punti P(xP, yP, zP) e Q(xQ, yQ, zQ) è,
PQ = √[xQ – xP)^2 + (yQ – yP)^2 + (zQ – zP)^2]
le lunghesse dei lati del triangolo ABC i cui vertici abbiano coordinate rispettive
A(a, b, c)
B(b, c, a)
C(c, a, b)
sono:
AB = √[(b–a)^2 + (c–b)^2 + (a–c)^2];
BC = √[(c–b)^2 + (a–c)^2 + (b–a)^2];
CA = √[(a–c)^2 + (b–a)^2 + (c–b)^2].
E siccome la somma è commutativa ti viene comunque AB = BC = CA.
In un triangolo equilatero le mediane, gli assi, le bisettrici e le altezze coincidoino.
Quindi coincidono Baricentro. Circocentro, Incentro e Ortocentro.
[Diciamolo allora tout-court "centro" del tringolo equilatero].
Il baricentro è sempre il più facile da trovare!
Le sue coordinate sono un terzo della somma delle corrispondenti coordinate dei vertici.
Ovviamente, il baricentro G del triangolo di vertici
A(a, b, c); B(b, c, a) e C(c, a, b) è il punto di coordinate
[xG, yG, zG] = [(a+b+c)/3, (b+c+a)/3, (c+a+b)/3]. ... e siccome la somma è commutativa , ecc. ecc. ecc.
–––
__________________
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Ultima modifica di Erasmus : 09-04-18 20:42.
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