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Vecchio 20-03-15, 10:04   #1
Mizarino
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Predefinito Eclissi

Già che l'eclissi è in corso ...
Nel caso di una eclissi parziale di sole, viene solitamente riportata, per una data località, la percentuale del disco solare eclissata.
In effetti il dato è ingannevole, perché si riferisce alla frazione del diametro coperta, non alla frazione di superficie eclissata, che invece darebbe una misura diretta della riduzione di luminosità.

Se nel Nord-Italia è riportata una percentuale di eclissi del 70%, qual è allora la percentuale di superficie del disco eclissata, se il diametro apparente del disco lunare risulta 1,05 volte il diametro del disco solare ?
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-03-15, 18:17   #2
Erasmus
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Predefinito Re: Eclissi

Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
...l'eclissi ...
[...] eclissi [...]
Grazie Miza!
Vedo che non sei refrattario agli inviti (correttori) del vecchio Erasmus.
---------
Bello il tuo quiz.

So risolverlo, ma – lento come sono (e ormai anch'io impigrito) – ci metterei una giornata a darti il risultato.

Ne parlo allora ... a braccio (come si suol dire).

La "macchia" scura è una figura piana definita da due archi di cerchio che hanno diametro diverso (e naturalmente la stessa corda).

Per stare nel tuo quesito, fatto 1 il diametro del disco "sole" e 1,05 quello del disco "luna", il raggio del sole è 0,5 e quello della luna 0,525. Con diametro solare coperto al massimo 70%, è come se, sulla retta per i centri, a partire dalla posizione di tangenza esterna (nella quale i centri dei due cerchi distano tra loro la somma dei rispettivi raggi, cioè 1,025), il centro della luna si fosse spostato nella direzione del centro del sole di 0,70 , andando a finire a distanza 1,025–0,700 = 0,325 dal centro del sole.
Scrivo allora le equazioni di due cerchi con i centri sull'asse delle ascisse, i centri distanti 0,325 uno dall'altro e i raggi rispettivamente 0,5 e 0,525.
Ciò che interessa sapere sono le ordinate dei due punti di intersezione.

[Per tua o altrui comodità, si può fare in modo che i due punti di intersezione stiano sull'asse delle ordinate.
Metto il sole a sinistra e la luna a destra come ho visto fare in TV mentre parlavano di questa eclissi.
Se Rs =0,5 è il raggio del cerchio "sole" e Xs < 0 è l'ascissa del suo centro, e se Rl = 0,525 è il raggio del cerchio "luna" e Xl > 0 è l'ascissa del sui centro, affinché i due punti di intersezione risultino sull'asse delle ordinate [con ordinate opposte] occorre e basta che sia:
Rs^2 – Xs^2 = 0,25 – Xs^2 = 0,275625 – Xl^2 = Rl^2 – Xl^2;
Xl - Xs = 0,325.

Da qui ti calcoli Xs < 0 e Xl > 0 (che sarebbero di ugual modulo se fosse Rs = Rl).

Dopo di che il modulo dell'ordinata di un punto di intersezione è:
y = √(Rs^2 – Xs^2) [oppure y = √(Rl^2 – Xl^2) ].

Questo y è metà della lunghezza della corda comune.
Da qui risali ai due angoli al centro (nell'uno e nell'altro cerchio).
y/Rs = sin(<mezzo arco del sole>);
y/Rl = sin(<mezzo arco della luna>).

Dagli archi risali alle aree dei rispettivi settori.
Da queste, sottraendo i rispettivi triangoli isosceli con lati due raggi e base la corda comune, trovi le aree dei due segmenti di cerchio.
La somma di queste aree è l'area di sole ... a luminosità soppressa.
[Ripeto: L'area cercata è la somma delle aree di due segmenti di due cerchi di raggio diverso {rispettivamente "solare" e "lunare") e corda comune].
La rapporti a π/4 (che è l'area del disco "sole"), togli a 1 questo rapporto e moltiplichi la differenza per 100.
Il risultato è la percentuale di area solare ancora visibile quando l'eclissi è profonda il 70% del diametro solare.

Lascio che i conticini li faccia un altro.
[Figuriamoci se ti degni di farli tu stesso!
Ah no, pardon: li faresti se te li chiedesse Planezio!]

Ma ... a naso, penso che il rapporto tra le aree non sia molto lontano dal quadrato del rapporto tra lunghezze (dato che la "profondità" di eclissi è notevole].
Ossia: con diametro solare ridotto a circa il 70% [ho letto che qui a Verona il massimo di eclissi sarebbe arrivato alle 10 e 34 con 68% di profondità], facciamo che la luminosità sia ridotta a circa il 50%.
----------
Questa volta non mi sono procurato niente per osservare l'eclissi (che, propriamente parlando, non ho visto!).
Alle 10 e 34 in punto sono però andato in giardino a constatare quanto ridotta fosse la luminosità pur essendo il cielo [qua da me] perfettamente sereno.
-----------------------
Qui da me non c'è stato nemmeno un filo di vento.
Penso che ciò sia dovuto al fatto che questa eclissi era ben lontana dalla totale ed è durata ore (a differenza di quella della fine degli anni '50 – o eravamo già nei '60? Ne ho parlato un paio di settimane fa, tu Miza m'hai corretto la data, ... e non ricordo già più in che anno capitò – che era quasi totale ed è durata minuti invece di ore).

Un forte vento improvviso accompagnato da un rapido oscuramento del sole ... penso che fosse ben più terrificante (per gli antichi) dell'aria ferma durante un debole e lento eclissarsi del sole.
–––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 20-03-15 18:57.
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Vecchio 20-03-15, 18:21   #3
aleph
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Predefinito Re: Eclissi

Non sapevo questa cosa che la percentale dell'eclissi è riferita al diametro solare occultato, ero convinto che si riferisse alla superficie...
Grazie per l'informazione Miza! Il tuo contributo è come al solito interessante..

Quindi un eclissi bella evidente in cui il lembo lunare però non raggiunge seppure di pochissimo il centro del disco solare viene classificata come allo 0%.. strano!

p.s. non so rispondere al tuo quiz..
aleph non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-03-15, 18:40   #4
Erasmus
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Predefinito Re: Eclissi

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Quindi un'eclissi bella evidente in cui il lembo lunare però non raggiunge seppure di pochissimo il centro del disco solare viene classificata come allo 0%.

Io ho capito "percentuale di diametro coperto".
Quindi l'eclissi che ipotizzi tu (con la luna che va quasi a coprire il centro del sole) sarebbe classificata quasi 50%, non 0%.
–––
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Erasmus
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Vecchio 20-03-15, 19:38   #5
Mizarino
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Predefinito Re: Eclissi

Quote:
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Quindi un eclissi bella evidente in cui il lembo lunare però non raggiunge seppure di pochissimo il centro del disco solare viene classificata come allo 0%.. strano!
Ha ragione Erasmus, che ha capito bene. Col lembo lunare al centro esatto del Sole l'eclissi è detta del 50%.
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-03-15, 22:38   #6
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Predefinito Re: Eclissi

Anch'io non so risolvere questo problema.

Forse saprei trovare il risultato con sufficiente approssimazione se avessi un planimetro, facendo in scala le figure dei due cerchi.

A occhio direi che per 0,7 D del sole, la superficie nascosta potrebbe essere poco più della metà, facciamo il 55%...

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Vecchio 20-03-15, 22:52   #7
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* R sta per il raggio; * indica la secante o corda (linea tratteggiata); * s sta per la lunghezza dell'arco; * (theta) sta per l'angolo; * d per l'altezza della porzione triangolare; * h è la saetta, ovvero l'altezza del segmento circolare verde.


L'area di un settore circolare è data dalla formula che vedete di sopra.
Se io adopero due volte questa formula prendendo la seconda volta il settore della luna maggiorata di 0,05 di diametro che penetra dall'altra parte della linea tratteggiata (che gli venga una saetta, come si chiama?) sommo e sottraggo e trovo il risultato. O no?
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 20-03-15 23:03.
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Vecchio 21-03-15, 04:36   #8
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Io gli integrali non li so fare, ma per chi li sa fare dovrebbe essere un gioco da ragazzi fare due integrali dei due settori che ho indicato nel messaggio precedente.
Oppure ne basterebbe una sola disponendo le due curve così:
https://encrypted-tbn1.gstatic.com/i...R7P6KcRTnq-lMX

in cui f(x) ha raggio 0.5
g(x) raggio 0.525
la distanza a-b è 0.7
ciao

Ultima modifica di nino280 : 21-03-15 05:17.
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Vecchio 21-03-15, 15:34   #9
Mizarino
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Non c'è bisogno degli integrali, che sarebbero solo una complicazione.
E' utile invece la trigonometria.
L'area del segmento circolare si trova sottraendo l'area del triangolo dall'area del settore circolare.
In un cerchio di raggio unitario:
- l'area del cerchio è Pi
- ne segue che l'area del settore circolare di ampiezza theta è theta/2
- l'altezza del triangolo è cos(theta/2)
- l'area del triangolo è sin(theta/2)*cos(theta/2)

cosi' l'area del segmento circolare è:

theta/2 - sin(theta/2)*cos(theta/2)
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Vecchio 21-03-15, 19:14   #10
Mizarino
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Predefinito Re: Eclissi

@Erasmus
Ok. Mi pare corretto, anche se a mio parere viene un pelo più semplice se metti il centro del Sole nell'origine e ne fai unitario il raggio. Poi trovi l'ascissa (e non le ordinate) dei due punti di intersezione...
Nel caso specifico, salvo un mio errore di sbaglio, dovrebbe venire che la percentuale di superficie oscurata in corrispondenza del 70% del diametro coperto è del 62,65%
Mizarino non in linea   Rispondi citando
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