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Vecchio 14-02-17, 10:48   #11
Erasmus
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

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[...] restringo i due fuochi, cioè cerco di avvicinarli e vediamo cosa succede, sapendo che se i fuochi si avvicinano l'eccentrità cambia e tende a 1.
Occhio nino280: "se i fuochi si avvicinano l'eccentrità cala" (e tende a 0 se fuochi tendono entrambi al centro).
Memento! In una ellisse:
• Vertici e fuochi sono allineati col centro e simmetrici rispetto ad esso.
• Detta 2a la distanza tra i vertici (= diametro massimo) e 2c la distanza tra i fuochi, l'eccentrità è e = c/a.
–––
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Erasmus
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Vecchio 14-02-17, 12:15   #12
Mizarino
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Sì, certo.
Io però, iniziando questo thread, più che a Geo (o a Helio, visto che si parla di orbite) pensavo a Gebra, ovvero al metodo più efficiente di trovare la soluzione di quella equazione...
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Vecchio 14-02-17, 13:51   #13
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

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Sì, certo.
Io però, iniziando questo thread, più che a Geo (o a Helio, visto che si parla di orbite) pensavo a Gebra, ovvero al metodo più efficiente di trovare la soluzione di quella equazione...
Ok, perfetto.
Spero che i miei interventi, chiamiamoli pure di "contorno" non abbiano infastidito chi di dovere, cioè che sa la risposta, al tal punto da non rispondere più.
Insomma, se passano due giorni e nessuno risponde, io divago.
Ne ho il diritto.
Ciao
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Vecchio 14-02-17, 14:03   #14
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

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Occhio nino280: "se i fuochi si avvicinano l'eccentrità cala" (e tende a 0 se fuochi tendono entrambi al centro).
Memento! In una ellisse:
• Vertici e fuochi sono allineati col centro e simmetrici rispetto ad esso.
• Detta 2a la distanza tra i vertici (= diametro massimo) e 2c la distanza tra i fuochi, l'eccentrità è e = c/a.
–––
Va bene. OCH.
Ho invertito uno con zero.
Però almeno il tentativo di avvicinare i fuochi era giusto o sbagliato?
Mizarino vuole un'orbita che tende ad una circonferenza, o vuole un'orbita molto schiacciata?
Ciao
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Vecchio 14-02-17, 15:01   #15
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Ho riletto il primo messaggio di Mizarino.
Si tratta evidentemente di orbite molto schiacciate, per il fatto che si parla di comete.
E poi anche verso la fine del messaggio parla di eccentricità elevate.
Allora ho sbagliato tutto. Se voglio fare un tentativo con quella specie di programmino che Mizarino stesso ha linkato, devo allontanare i fuochi.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 14-02-17 15:07.
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Vecchio 16-02-17, 13:47   #16
Mizarino
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Non è singolare il fatto che Erasmus, tanto amante di successioni e serie numeriche, non sia particolarmente attratto dal metodo di soluzione dell'equazione di cui sopra, basato in fondo sulla serie di Taylor ?
Ma forse si tratta della "sindrome da filosofo teoretico": quando qualcosa serve a qualcos'altro, e non è più fine a se stessa, cessa di essere interessante!...
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Vecchio 16-02-17, 18:06   #17
Erasmus
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Quote:
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Non è singolare il fatto che Erasmus, tanto amante di successioni e serie numeriche, non sia particolarmente attratto dal metodo di soluzione dell'equazione di cui sopra, basato in fondo sulla serie di Taylor ?
Ma forse si tratta della "sindrome da filosofo teoretico": quando qualcosa serve a qualcos'altro, e non è più fine a se stessa, cessa di essere interessante!...
Pfui!
Ho visto (e non c 'era granché da aggiungere) come ricavi il 2° termine della successione convergente alla soluzione.
Non sono intervenuto perché avevo altro (purtroppo) da fare.
Chissà perché, poi, non completi il discorso mostrando un termine n-esimo qualsiasi in funzione del precedente (n–1)-esimo.

E trovo davvero ... audace chiamare "serie di Taylor" la somma di questi soli due addendi:
Y = f(x°) + f'(x°)·(x–x°)
che, in fondo, non è che l'equazione esplicita della tangente nel punto di ascissa x =x° alla curva di equazione cartesiana y = f(x).

Comunque, ora non ricordo più come, perché e quando: ma già altre volte avevamo parlato del metodo di Newton di approssimazione di (almeno) una delle soluzioni dell'equazione
F(x) = 0
quando F(x) è del tipo
F(x) = x - f(x).
Ossia di come risolvere col cosiddetto (modernamente) "metodo punto fisso"una equazione del tipo:
x = f(x).
--------------------------
La tua illazione (che Erasmus sarebbe una specie di filosofo che si occupa di problemi magari anche intewressanti purché la loro soluzione non serva a niente) ... mi pare un tantino "detrattiva" nei riguardi di Erasmus ... che tu sai essere stato un ingegnere (prima di mettersi a fare il profe di matematica e fisica) ...
E sai anche che il cambio di professione gli è stato praticamente imposto dall'imperante "squadrismo "sindacal-sinistrorso (non molto diverso da quello fascista degli anni 20 del secolo scorso) ai tempi post-sessantottini, pena il rischio di finire in una casa di cura per aliemati psichici!
[Ma tu non sai cosa costava vivere a Milano (non in denaro, ma in termini di rinuncia alla libertà individuale) nei primi anni '70; e soprattutto quanto "faticoso" era lavorare nella allora SIT –Siemens. Pensa solo che Erasmus ha dato le dimissioni non appena ha saputo di poter fare "subito" l'insegnante a 160 km di distanza, anche se ciò comportava il passare da una certa retribuzione mensile ad un'altra di valore 1/3 della precedente.

A completare la "beffa" c'e anche che ... Erasmus è passato dal "7° livello" dei metalmeccanici [il massimo, a parte i dirigenti] al "7° livello" dei dipendenti dal Ministero della Pubblica Istruzione impiegati nelle scuole non universitarie [il massimo, ad eccezione di presidi ed ispettori equiparati a "dirigenti"]. Sempre 7* livello, ma a stipendio 1/3.
Ma la TV strombazzava ogni giorno presunte sevizie perpetrate da Confindustria e "padronato" sui poveri metalmeccanici.
Non diceva, però, che anche il metalmeccanico che in pratica non rendeva nulla prendeva sempre di più del "minimo sindacale". Insomma: il sindacato FIOM (quinta colonna del PCI) aveva interesse a stipulare a livello nazionale un contratto a stipendi piuttosto bassi perché poi, a livello delle singole aziende, spuntava facilmente molto di più.
Per esempio (e questo lo so con assoluta certezza per esperienza diretta) lo stipendio medio di un dipendente della FIAT di Torino di qualifica "operaio comune" era un pelo di più del "minimo sindacale nazionale" di un impiegato (sxempre metalmeccanico) di "6° livello" (tipicamente un ingegnere con almeno un anno di esperienza nel suo specifico lavor, ma molto più spesso almeno due anni e mediamente con parecchi anni di esperienza, dato che pochi diventavano di 7° livello – detto una volta "prima categoria speciale" e di solito dopo parecchi anni nel 6° livello – che una volta era detto "Prima Categoria").
Erasmus è entrato in SIT-Siemens nel '63 (dopo un anno e mezzo di naja come "alpino semplice") in "2ª categoria". E' passato il "1ª categoria" nel '65 (esattamente dopo due anni) ed in "1ª categoria speciale" nel '69 (esattamente dopo altri 4 anni). E poco dopo (non ricorda più quando) gli hanno detto che non era più in "1ª speciale" bensì al "7° livello".
Grande riforma quella (voluta dai sindacati) di cambiare nome ai livelli lasciando stare tutto il resto, o addirittura peggiorandolo!
Per esempio, nei contratti nazionali precedenti quello del 1973 (o era invece del 1974?), gli aumenti contrattuali crescevano con la retribuzione corrente (anche se meno che in proporzione). Un impiegato di 1ª categoria, che percepiva più del doppio di un "operaio qualificato", si vedeva arrivare un aumento mensile decisamente maggiore di quello dell'operaio (anche se percentualmente un po' minore).
Invece, nel 1973 (o era il 1974? Comunque l'ultimo contratto nazionale dei metalmeccanici che abbia compreso anche Erasmus) tre mesi prima della scadenza del contratto precedente (quello del 1969, concluso in fretta e furia dopo "Piazza Fontana" – venerdì pomeriggio 12.12.'69 –) sono iniziati scioperi di mezza giornata un giorno sì e uno no per un aumento di 16 mila lire UGUALE PER TUTTI. Ricordo che noi della SIT-Siemens ci abbiamo rimesso circa un terzo di stipendio per tre mesi, ossia un intero stipendio mensile. Ed è stata questa la goccia che ha fatto traboccare il vaso della sopportazione di Erasmus.
-------------
Bye, bye, Miza
[E perdonami ... le esternazioni]
––––
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Ultima modifica di Erasmus : 16-02-17 19:55.
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Vecchio 16-02-17, 19:26   #18
Mizarino
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Eh eh, vedo che provocarti è servito ad evocarti... segno che malgrado gli acciacchi, tieni duro! Ne sono felice e ti abbraccio!

E allora proseguo. Veniamo al secondo termine (io sono arrivato a sviluppare il metodo fino al quinto, ma in pratica dal quarto in poi il costo diventa maggiore del guadagno):

f(x) = M + e sin x - x = 0

Scriviamone lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale x°, arrestato alla derivata seconda:

f(x) = f(x°) + (x-x°) f'(x°) + 0.5*(x-x°)^2 f"(x°) = 0

Ponendo sempre (x-x°)=h, e chiamando la f(x°) e le due derivate, calcolate nel punto x°, rispettivamente f0, f1 ed f2 abbiamo (e per il momento è solo una semplificazione della notazione:

f0 + f1*h + 0.5*f2*h^2 = 0

E ora qual è il trucco, nel quale sta tutta la bellezza del metodo ?
Non ci sogniamo nemmeno di risolvere per h l'equazione di 2° grado, ma scriviamo:

h*(f1 + f2*h) = -f0, da cui h = -f0/(f1+f2*h/2)

Sembra di esser finiti col mangiarci la coda, e invece no, perché il gioco di prestigio sta nel mettere al posto di quell' "h" al secondo membro (chiamiamolo h1), il valore calcolato con la formula del 1° post, ovvero con la serie arrestata al 1° ordine:

h1=-f0/f1

per cui calcoliamo l'incremento h come h = -f0(f1-f0*f2/(2*f1)), e il codice iterativo diventa:

Codice:
tol = 1e-13
do
      f1=ecc*cos(E)-1: f2=-ecc*sin(E): f0=M-f2-E
      DE=-f0/(f0*f2/(2*f1)-f1)
      E=E+DE
      If abs(DE)<tol then exit do
loop
... e si può continuare con questa strategia ancora e ancora, ma i calcoli all'interno di ogni iterazione si appesantiscono e rendono la cosa poco conveniente.
In realtà il metodo più conveniente (dal punto di vista del tempo occorrente per la convergenza sul risultato) è proprio questo qui sopra, o al massimo (per pochi spiccioli) quello successivo di ordine 3, e la convenienza deriva dal fatto che in ogni iterazione ci sono sempre solo due funzioni trigonometriche da calcolare, e queste sono quelle che maggiormente impegnano la cpu.

Ultima modifica di Mizarino : 17-02-17 12:28.
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Vecchio 16-02-17, 20:45   #19
Erasmus
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

C'è qualcosa che non mi quadra!
Nel particolare "metodo PUNTO FISSO" che è il "metodo di Newton" c'è solo la derivata 1ª. La convergenza, partendo da un opportuno punto iniziale, c'è perché cambia il punto in cui calcolarla ad ogni passo.
Quando sono a cercare il termine (k+1)–esimo, mi serve il valore della funzione F(x) e della sua derivata in x uguale al precedente termine k-esimo della successione.

Faccio un esempio ... terra-terra a scopo didattico ... e Miza dirà che, appunto, scelgo un esempio di nessuna utilità!

Supponiamo di voler risolvere l'equazione
x^3 – 8 = 0
per x reale.
Ma supponiamo di voler farlo con il metodo di Newton (ignorando il fatto che ... si vede subito che la soluzione è x = 2).

Considero la funzione
F(x) = x^3 – 8.
Siccome F(1) = –7 < 0 e F(3) = 19 > 0, sono sicuro che c'è una soluzione maggiore di 1 e minore di 3.
Il metodo di Newton mi permette dii trovare una successione x(0), x(1), x(2), ... x(k), ... che al tendere di k a +∞ converge alla soluzione.

Parto con x(0) = 3. Questo valore, sulla retta delle ascisse, è maggiore della soluzione perché tra 1 e 3 la derivata prima di F(x) è sempre positiva e F(3) > 0.
Faccio la derivata in x=3 di F(x) e trovo F'[x(o)] = 3·3^2 = 27.
L'equazione della tangente alla curva di equazione cartesiana Y = x^3 – 8 nel punto di ascissa x(0) =3 è
Y = 19 + 27(x–3).
La retta con questa equazione incontra l'asse delle ascisse in x = 3 – 19/27 = 62/27.
Siccome F(62/27) è positivo, la soluzione è a sinistra di 62/27, che assumo come x(1).

Adesso scrivo la tangente alla curva y = F(x) nel punto di ascissa x(1) = 62/27:
Y = [(62/27)^3 – 8] + 3·[(62/27)^2]·(x – 62/27).
E chiamo x(2) l'ascissa del punto di intersezione di questa retta con l'asse delle ascisse.
Continuo sempre allo stesso modo trovando, in generale:
Codice:
                      F[x(k)]  
F'[x(k)] = –––––––––––––
                   x(k) – x(k+1)
da cui
Codice:
                         F[x(k)]
x(k+1) = x(k) – –––––––––   (per ogni k naturale).
                         F'[x(k)]
–––
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Ultima modifica di Erasmus : 17-02-17 14:55.
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Vecchio 17-02-17, 11:28   #20
Erasmus
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Riassumo il "metodo di Newton" per la ricerca delle soluzioni di F(x) = 0.
Si cerca di individuare (per tentativi) un intervallo in cui ci stia una soluzione e la derivata sia monotona.
Si costruisce una successione convergente alla soluzione che sta in quell'intervallo.

Ripeterò come si fa ancora sul banale esempio F(x) = x^3 – 8.
Ex novo scriverò almeno i primi 5 o 6 termini della successione.

Si parte con un valore iniziale x(0) scelto ... a buon senso.
I successivi termini sono ricorrentemente definiti come segue:
Codice:
Per ogni k naturale:
                          F[x(k)]
x(k+1) = x(k) – ––––––––
                          F'[x(k)]
dove F'[x(k)] è la derivata di F(x) in x = x(k).
.
Nell'esempio F(x) = x^3 – 8 è F'(x) = 3x^2. Parto con x(0) = 3 e quindi ricavo:
x(1) = x(0) – [x(0)^3 –8]/[3·x(0)^2] =3 – [3^3 – 8]/(3 3^2) = 62/27 ≈ 2,29629629629630
x(2) = x(1) – [x(1)^3 –8]/[3·x(1)^2] = 62/27 – [(62/27)^3 –8]/[3·(62/27)^2] ≈ 2,03658740252566
x(3) = x(2) – [x(2)^3 –8]/[3·x(2)^2] ... ≈ 2,00065335854831
x(4) = x(3) – [x(3)^3 –8]/[3·x(3)^2] ... ≈ 2,00000021334577
x(5) = x(4) – [x(4)^3 –8]/[3·x(4)^2] ... ≈ 2,00000000000002
x(6) = x(5) – [x(5)^3 –8]/[3·x(5)^2] ... ≈ 2,00000000000000

Ho fatto i calcoli con la "Calcolatrice" del mio "MacBook Pro" che lavora con 15 cifre decimali.
I termini a partire da x(6) vengono tutti uguali a 2 perché per ogni intero k>5 viene:
x(k) = 2 – 0/12
––––––––––––

Vecchi ricordi ...
Nel 1993, quando avevo il mio secondo Macintosh (con hard-disk da 30 MegaByte e memoria dinamica di un solo MegaByte) ho fatto alcuni programmi con opportuna visualizzazione animata da mostrare ai miei allievi di Fisica (che nel frattempo avevano anche un po' di laboratorio di informatica essendo partito da qualche anno il Piano Nazionale di introduzione all'Informatica).
Naturalmente io programmavo in Pascal e preferibilmente non sull'Olivetti IBM-compatibile della scuola bensì sul mio Mac (che mi portavo in classe per mostrare qualcosa di didattico agli allievi).

In particolare ricordo di aver fatto un programma che mostrava il moto planetario rispettando le tre leggi di Kepler (nell'ipotesi di Sole fermo ... e ignorando ovviamente l'interazione con altri corpi celesti):
1 L'orbita di un pianeta è periodica, piana ed ellittica; ed il sole occupa un fuoco.
2 Il raggio vettore Sole-pianeta spazzola aree uguali in tempi uguali. (Ossia: La velocità areale è costante).
3 Per ogni pianeta il quadrato del periodo T è proporzioinale al cubo della semisomma a delle distanze massima e minima del pianeta dal Sole.

Per realizzare la corretta simulazione del moto planetario non ho certo usato l'equazione di Keplero presentata qui da Mizarino (nel messaggio #1 di apertura di questo thread). [Equazione mai vista prima di leggerla qua].

Ho sfruttato opportunamente la costanza della "velocità areale".
Il programma inizialmente chiedeva il diametro massimo 2a ed il diametro minimo 2b dell'ellisse in numero di pixel (indicando il massimo da non superare, che non ricordo più, ma mettiamo che sia stato 480 pixel in orizzontale e 360 pixel in verticale).
Letti questi due dati, venivano numerati tutti i pixel del diametro maggiore a partire dal centro, ed i relativi numeri interi (mezzi positivi e mezzi negativi) intrpretati come ascisse. Poteva così essere disegnata l'ellisse-orbita (approssimando ad interi le ordinate dei suoi punti). Ed il Sole veniva disegnato in un fuoco con un pallino ... grossetto.
L'ascissa massima dell'ellisse veniva elevata all'esponente 3/2 e il risultato moltiplicato per una costante (piccolina) per avere il periodo come numero di secondi.
[La simulazione andava con periodo massimo di un minuto abbondante per le orbite di diametro maggiore pari (quasi) alla larghezza dello schermo].
Per ogni pixel del diametro maggiore, cioè per una miriade di ascisse discretizzate con la distanza tra un pixel ed il successivo, veniva calcolata e registata l'area del settore di ellisse individuato dal fuoco-Sole, dal vertice-perielio e dal punto su una mezza ellisse con quella ascissa. Calcolate e registrate tutte le differenze tra un'area e la successiva, durante lo svolgimento del programma ciascuna veniva divisa per l'area dell'ellisse e moltiplicata per il periodo di rivoluzione. Si aveva così il tempo ∆t che doveva passare tra un punto con una certa ascissa ed il punto con la prossiva ascissa.

Allora, iniziando con un pallino –più piccolo di quello del sole – disegnato in perielio, si poteva procedere un passo alla volta cancellando il pallino appena disegnato e disegnando il successivo in corrispondenza della prossima ascissa (che altro non era se non l'indice di un array di extended rappresentanti gli incrementi di area). L'ascissa andava prima da quella del perielio a quella dell'afelio ... ed il punto corrispondente era su una mezza ellisse – per esempio con ordinata positiva – ); occorreva che il nuovo pallino fosse disegnato dopo un intervallo di tempo proporzionale all'incremento di area del relativo settore di ellisse.
Se ∆S era l'incremento di area, S l'area totale dell'elliise e T il periodo, l'intervallo di tempo era
t = T·(∆S/S).
Poi si procedeva sull'altra mezza ellisse contando le differenze di area a rovescio, dall'ultima alla prima (dall'afelio al perielio).

Ricordo che una mattina arrivò di sorpresa un ispettore (che mi disse poi d'essere stato pure lui insegnante di Fisica) e che trovò la simulazione molto simpatica. Si complimentò anche con me ... ma credeva che io avessi solo il merito "didattico" di mostrare quella iistruttiva simulazione. Credeva infatti che il computer fosse della scuola e che io stessi adoperando un programma acquistato ad hoc (fatto apposta da qualche software house per essere venduto alle scuole).

––––-
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Ultima modifica di Erasmus : 17-02-17 15:06.
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