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Vecchio 11-02-17, 21:09   #1
Mizarino
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Predefinito Equazione di Keplero

E' una equazione che permette di collegare, in un'orbita kepleriana, la posizione occupata dal pianeta lungo l'orbita con il tempo trascorso dall'istante di passaggio dal perielio.

E = M + e sin E

L'equazione, piccola e dall'aspetto innocente, lega fra loro tre entità geometriche:
- La prima è facile da capire per chi abbia dimestichezza con le curve piane: è l'eccentricità e dell'ellisse (da qui in poi mi riferirò solo ad orbite ellittiche, nelle quali l'eccentricità è minore di 1). L'eccentricità è (1-q/a), dove q è la distanza del perielio e a è il semiasse maggiore dell'ellisse.
- La seconda è anche facile da capire, ma suona un po' strana perché è un angolo "virtuale": è la anomalia media M. Rappresenta l'angolo (misurato rispetto al centro dell'ellisse, avendo il perielio sull'asse x) che il pianeta in quell'istante avrebbe percorso, se si fosse mosso lungo l'orbita con velocità angolare costante pari a 2pi/T, dove T è il periodo di rivoluzione. Se ne capisce la rilevanza, perché dalla definizione deriva che è una quantità direttamente proporzionale al tempo trascorso dal perielio.
- La terza è decisamente esoterica, e mi fa rivolgere un doveroso omaggio a Keplero per averla inventata: l'anomalia eccentrica E. Non a caso ho usato il termine "inventata" e non "scoperta" (anche se qualcuno arriccerà il naso), perché lei nell'orbita non c'è. E' una quantità ausiliaria, creata "ad hoc" per facilitare il problema di legare il tempo con la posizione: si tratta dell'angolo al centro, misurato su una circonferenza circoscritta all'ellisse (sempre a partire dal perielio), là dove la perpendicolare all'asse maggiore dell'ellisse, passante per il punto (pianeta) P interseca la circonferenza ausiliaria. E' importante perché da questa si ricavano poi facilmente le coordinate (cartesiane o polari) di P, le formule ci sono e sono abbastanza semplici, per cui, se è nota la posizione del pianeta lungo l'orbita, si ricava E, e dall'equazione di Keplero si ricava direttamente M e quindi il tempo trascorso dal passaggio dal perielio.
Se però il problema è inverso, ovvero, noto il tempo dal perielio (e quindi M), vogliamo risalire alla posizione, occorre risolvere la nominata equazione.

Si tratta di una equazione trascendente, che non ha una soluzione esprimibile con una formula analitica semplice. Deve perciò essere risolta numericamente, ed è questo l'oggetto di questo post.

Ma come mai proprio adesso mi è venuto di scrivere questo pistolotto ?
Il motivo è che pressappoco dal 2000 utilizzavo nei miei programmi una routine per la risoluzione dell'equazione (trovare E note M ed e) e non avevo mai avuto problemi. Improvvisamente, qualche giorno fa, una fottutissima cometa mi crea un casino che non sto a descrivere.
In questi casi l'individuazione del problema, o meglio del baco annidato nel software, può anche essere alquanto laboriosa, ma in fondo il lavoro di indagine logica è parte del divertimento...
In questo caso il baco era una patologia latente, come una malattia genetica rara, dell'algoritmo di risoluzione dell'equazione di Keplero, patologia manifestatasi a seguito di un'uso intensivo (migliaia e migliaia di esecuzioni) dovuto al collaudo di una nuova utilità.
E veniamo al punto: il metodo di risoluzione più comunemente adottato (lo si trova dappertutto in internet) è quello iterativo di Newton-Raphson, ubiquitario nella risoluzione numerica di equazioni algebriche e non.
Per comodità visiva chiamiamo x la nostra variabile E, e scriviamo la nostra equazione nella forma:

f(x) = M + e sin x - x = 0

Scriviamone lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale x°, arrestato alla derivata prima:

f(x) = f(x°) + (x-x°) f'(x°) = 0 ==> (x-x°) = h = - f(x°)/f'(x°)

Se partiamo da un punto iniziale x°, l'equazione suddetta ci consente di determinare un punto x che sarebbe proprio lo zero della funzione, se la derivata fosse costante (ovvero la pendenza della curva uniforme). In genere non lo è, ma sarà più vicino di prima allo zero, per cui lo si fa diventare il nuovo x°, e si ripete la procedura, fin quando la differenza h non scende al di sotto di una prestabilita e molto piccola tolleranza.

Nel nostro caso è facile, per chi ha dimestichezza con le derivate, ricavare che, essendo x = E:

f'(x) = e cos E - 1, per cui si ha:
h = (M + E sin E - E)/(1 - e cos E)

Basta allora inizializzare E con un valore ragionevole, es. proprio M, e ne deriva il semplicissimo codice iterativo (e la chiamo ecc per evitare confusioni alla macchina che non distingue maiuscole da minuscole):

Codice:
tol = 1e-12
E = M
do
     h = (M + ecc * sin(E)) / (1 - ecc * cos(E))
     E = E + h
     if abs(h) < tol then exit loop
loop
Questa è la più comune delle routines di risoluzione dell'equazione di Keplero, che troverete dappertutto in internet. Funziona alla grande, di solito in poche iterazioni (5 o 6 in media) converge sul risultato. Con i PC di oggi, parliamo di microsecondi...
Ma ...
Per eccentricità elevate (maggiori di 0.97), succede talvolta (circa il 3% delle volte) che la routine si avvolge su se stessa e non converge mai, a meno di non ricorrere a degli espedienti aggiuntivi.

E se noi allungassimo la serie di Taylor con uno o due termini aggiuntivi ?...

Ma adesso vado a dormire. Il resto alla prossima puntata...

Ultima modifica di Mizarino : 11-02-17 21:13.
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Vecchio 12-02-17, 09:53   #2
Erasmus
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
E = M + e sin E
[...]
Ieri sera (alle 23:30 circa) ho visto che avevi scritto tu l'ultimo messaggio in "Rudi Mathenatici". E ricordo anche la strana equazione
E = M + e sin E
Ma forse hai aggiunto (o modificato il seguito) più tardi.
Avevo cliccato sul "preferito" Rudi Mathematici per vedere se si era rimesso a funzionare (percHé nel pomeriggio il sito dava "Data Base ERROR").

Fammi capire: Il primo E a sinistra è lo stesso dell'ultimo a destra?
Si intende " E = M + e·sin(E)"?
E' dunque una equazione non esplicitabile rispetto all'angolo E?
[Una siffatta equaziione si risolve per approssimazioni successive]
Qui:
––> http://www.robertobigoni.it/Fisica/N.../EqKepler.html
come "Equazione di Keplero" c'è:
ε + e·sin(ε) = ωt
Ora, se T è il periodo, la velocità angolare media ω è (2π)/T ; e la tua "anomalia media" M è proprio ωt.
Allora ε dovrebbe essere il tuo E ... ma allora non quadra il membro sinistro perché se trasporto e·sin(ε) a destra mi viene un segno sbagliato:
ε = ωt – e·sin(ε) = ωt ––> E = M – e·sin(E)
---------------
Una qualche volta leggerò con attenzione quel che hai scritto, ci penserò e mi sforzerò di capire.

Vediamo intanto se arriva qualcuno più competente di me nelle applicazioni pratiche di meccanica celeste...

Ciao Miza
––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
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Vecchio 12-02-17, 10:36   #3
Mizarino
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Qui:
––> http://www.robertobigoni.it/Fisica/N.../EqKepler.html
come "Equazione di Keplero" c'è:
ε + e·sin(ε) = ωt
Ho visto.
Credo che sia perché lui misura tutto a partire dall'afelio e non dal perielio.
Quindi c'è un offset di pi-greco.
Comunque è la sua ad essere una scelta non convenzionale.

Quote:
E' dunque una equazione non esplicitabile rispetto all'angolo E?
Ho trovato un incomprensibile serio lavoro in cui l'autore dichiara di risolvere l'equazione in forma chiusa (credo significhi esplicita), aggiungendo una dimensione al problema.
Sospetto tuttavia che con il suo metodo (anche dopo averlo capito e tradotto in pratico codice) per risolvere l'equazione occorra qualche minuto anzichè un microsecondo...

P.S. @Nino: C'è anche su Geogebra (solo la grafica):
https://www.geogebra.org/m/FtZTVymn

Ultima modifica di Mizarino : 12-02-17 10:43.
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Vecchio 12-02-17, 15:41   #4
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
P.S. @Nino: C'è anche su Geogebra (solo la grafica):
https://www.geogebra.org/m/FtZTVymn
Anche io ho visto e gli ho dato una occhiataccia cinque minuti fa.
Per me è l'arabo più estremo che ci possa essere.
Ho comunque provato a giocherellare con quella specie di animazione, e cioè ho provato ad aumentare la massa della stella e si vede come il pianeta deve correre più forte per non finirci dentro (al sole)
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-02-17, 16:21   #5
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Questa equazione me la ricordo era nel primo libro di calcoli astronomici che comprai nel 1988. Mi ricordo dei calcoli iterativi però è un ricordo molto vago.
Dovrebbe trovarsi all'interno del programma del mio vecchio sito, dovrei guardarci.

E' da un po' che non mi faccio vedere da queste parti,
un saluto a tutti voi.

__________________
www.Astrionline.it
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Ultima modifica di astromauh : 13-02-17 02:02.
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Vecchio 13-02-17, 08:39   #6
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

https://s11.postimg.org/6f3aqfbtf/Anomalie.png

Se spunto quei quadratini "seconda legge di Keplero" oppure "anomalie" ecc. ecc. e poi do il via con start, il link indicato da Mizarino prende la forma che vedete e tutti quei vettori fanno un giro completo.
Da notare che vengono fuori un sacco di ANOMALIE
Ciao
Ho anche messo in evidenza tutta la parte algebrica, (se ne intravede una piccola parte, per vederla tutta bisogna andare giù col cursore nel link originale)
nino280 non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 13-02-17, 09:31   #7
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Solo per chi non avesse tanta dimestichezza con GeoGebra e volesse ricavare più informazioni dal link iniziale segnalato da Mizarino:
1)Nella riga in alto dove c'è scritto GeoGebra cliccare sui tre puntini verticali.
2) si apre una finestra, cliccare "apri con GeoGebra."
3) sempre alla estrema destra ci sono 3 barrette orizzontali, cliccare.
4) Poi "Visualizza".
5) Spuntare "Algebra".
E poi andate avanti da soli.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-02-17, 10:20   #8
Mizarino
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Ho visto, ma riguardo tutti quei numeri il senso lor m'è oscuro.
Poi come si fa (se si può) a cambiare l'eccentricità dell'ellisse ?
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-02-17, 09:28   #9
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Ho fatto un tentativo ieri sera. Fallito.
Lì in quel disegno ho visto che "e" è circa 0,6 (non ricordo le altre cifre dopo la virgola) ma credo che quello che lo ha fatto voleva dimostrare come varia il tempo in funzione delle masse in gioco, ed infatti puoi agire sulle masse.
Mi viene in mente però verso la fine del secolo scorso, ero in un ufficio che tentavo di imparare il CAD 3D.
E si sentiva parlare ed anche facevano capolino i CAD parametrici.
Nel senso che se tu avevi fatto un disegno, diciamo molto spesso e complicato, poi ti accorgevi che volevi variare un elemento al quale elemento era legati molti altri oggetti, non dovevi disegnare tutto da capo, ma bastava modificare quell'unico elemento che tutto il disegno si aggiornava ne teneva cioè conto.
Non credo che GeoGebra sia così evoluto.
Tra l'altro ammetto di non conoscerlo ancora come vorrei. Intendo Geo. Per esempio ho visto che proprio in questo esempio si fa largo uso di formule, cosa che io non so ancora fare. Non so ne dove ne come si inseriscono formule. E sappiamo quanto sia importante questa cosa.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-02-17, 09:45   #10
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Predefinito Re: Equazione di Keplero

Parlo brevemente del tentativo che ho fatto.
Sempre parlando di quel disegno, si notano i due fuochi dell'ellisse.
Allora ho pensato, restringo i due fuochi, cioè cerco di avvicinarli e vediamo cosa succede, sapendo che se i fuochi si avvicinano l'eccentrità cambia e tende a 1.
Ne è venuto fuori uno sgorbio perché io ero convinto che il disegno fosse stato eseguito in 2D ed invece è in 3D. Ed allora ho rinunciato.
Non è mica detto che non ci riprovi.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
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