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Vecchio 04-12-16, 08:20   #11
Erasmus
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Erasmus
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Vecchio 04-12-16, 09:07   #12
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Predefinito Re: Tagliamo la testa al toro!

Vedo
Quindi dal disegno risulta facile e lampante.
Prendo tre circonferenze di ugual diametro e le allineo.
Nel senso che i centri stanno su una retta.
E questi è il toro cercato.
Pensa che mezzora fa stavo schizzando con una biro cerchi allineati con l'ultimo esterno che mentalmente girava a fare il toro.
E nell'ultimo schizzo avevo messo 4 cerchi, perché avevo intuito che la soluzione era data da rapporti che davano un intero, voglio dire 3,4 o 2. Poi ho visto la tua soluzione con relative immagini.
Ciao
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Vecchio 04-12-16, 15:41   #13
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Bisogna riconoscere (pur non essendo io riuscito a risolvere il quesito di Erasmus, ma ci sono andato vicino, ed almeno una condizione anche se alquanto elementare l'avevo individuata e cioè quella del piano tangente alla circonferenza interna) che la letteratura di questa lemniscata è vastissima.
In due giorni, non ho ancora finito di esaminarle tutte.
Guardate questa specie di pantografo. Si chiama il meccanismo di Watt.
Quindi dopo Bernoulli, Cassini, Gauss, ci si è messo anche Watt.
Per inciso quello che ha detto Gauss, visto che l'ho nominato:
La lunghezza della lemniscata di Bernoulli i cui due punti più distanti dal centro si trovino sui punti -1 e +1 delle ascisse è lunga approssimativamente 2,622. Questa grandezza, scoperta da Carl Gauss, è indicata con il simbolo ϖ

Ultima modifica di nino280 : 04-12-16 15:57.
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Vecchio 04-12-16, 16:08   #14
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Poi sono certo che non è la prima volta che qui nel forum parliamo della lemniscata di Bernoulli.
Ho ora rivisto questa bella animazione:


Me la ricordo benissimo perché
devo averla già postata non so più quanti anni fa, 7? 8? E' un ramo di una lemniscata.
Si vedono tre punti, tre gravi? Uno rosso e due blu.
Il rosso scivola lungo la lemniscata e i blu su due piani inclinati.
Il rosso incontra i blu in contemporaneamente sul suo percorso.
Credo se non vado errato che l'argomento fosse, sempre "innescato" da Erasmus, sulle bachistrocrome, un nome che, fino a che non l'avesse pronunciato Erasmus, io non avevo mai sentito nominare.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 04-12-16 16:23.
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Vecchio 11-12-16, 17:25   #15
Erasmus
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Predefinito Re: Tagliamo la testa al toro!

Quote:
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[...] le bachistrocrome
a) "Brachistocrona" è la curva "a tempo minimo", ossia la curva lungo la quale far scendere per sola gravità un punto materiale da un punto A ad un altro B più basso (e non sulla stessa verticale) nel tempo più breve possibile. Geometricamente si trova che tale curva è un arco di "cicloide".
Faccio l'etimologia di "brachistocrona".
Come in italiano un superlativo si fa col suffisso "-issimo", così in greco antico si faceva col suffisso "istos".
In greco antico βραχυς (pr. brachys – con l'accento slla "ypsilon", accento che non so come si fa a scrvere! – significa "breve", "corto". Il superlativo è bràchystos e significa "brevissimo" (superlativo assoluto) oppure "il più breve" (superlativo relativo).
"Tempo" in greco antico si dice "χρόνος" (pr. "chrònos"),
L'aggettivo qualificativo (femminile) "brachistochrona", (da dare, in latino, al sostantivo "curva") è un neolgismo inventato da Johann Bernoulli (fraello di Jakob, quello della lemniscata) nel proporre ai matematici d'Europa del suo tempo il famoso problema ... che riprendo trascrvendo da Wikipedia.

In fisica matematica, la brachistocrona (dal greco βράχιστος, bràchistos - il più breve, e χρόνος, chronos - tempo) è una traiettoria fra due punti che verifica il principio di Fermat. Costituisce un elemento fondamentale nello studio della meccanica del punto e dell'ottica geometrica.

[...] Consideriamo una massa puntiforme M che si muove in un piano verticale su una guida curva che connette due punti A e B; la massa M è soggetta al campo di gravità. Il tempo che M impiega, con velocità iniziale nulla, per andare da A a B dipende dalla traiettoria, che è determinata dalla forma della guida. Contrariamente a quanto si pensa, il tempo non è minimo se la guida è quella di lunghezza minima fra A e B (cioè rettilinea). La curva che permette alla particella di andare dal punto A al punto B nel minor tempo possibile è una cicloide ed è chiamata "brachistocrona", ossia (curva del) tempo più corto, e la sua determinazione è un esempio classico di problema che si risolve con il calcolo delle variazioni.
La soluzione del problema è quindi una cicloide [...]

Già Galilei aveva notato che una sfera arriva prima rotolando lungo un arco di cerchio piuttosto che sulla corda del cerchio, anche se essa è più corta.

Il problema fu però proposto per la prima volta in forma ufficiale da Johann Bernoulli nel 1697. Nella sua introduzione egli accennava al fatto che esso fosse difficoltoso anche per quei matematici che avevano ampliato la matematica con dei teoremi "che (essi dicono) non erano conosciuti da nessuno", con evidente allusione e sfida a Newton, che era schierato contro di lui nella disputa Newton-Leibniz. Il problema circolò in tutta Europa e dopo poco tempo arrivarono
• la risposta di Leibniz,
• la risposta di de l'Hôpital,
[* V. nota d Erasmus]
• e una risposta dall'Inghilterra non firmata
[** V. nota d Erasmus]
Bernoulli riconobbe subito Newton come l'autore. [...]
In seguito anche Alexis Fontaine des Bertins e Jakob, fratello rivale di Johann, risolsero il problema.

[*] Probabilmente la soluzione di de l'Hôpital era in realtà di Jakob Bernoulli il quale aveva fatto un contratto con de l'Hôpital col quale Jakob vendeva a de l'Hôpital, a pagamento forfettario annuo, le sue scoperte di matematica e si impegnava a non dire che erano sue. Ma ad un certo punto Jakob ruppe il contratto, rivendicando di essere lui l'autore dei migliori teoremi attribuiti ufficialmente a de l'Hopital (senza, per altro, essere creduto!)
[**] Tutte risposie giuste, e tutte fatte con dverso procedimento. [Ma io non le consco (tranne quella d Jakob Bernoulli)! ]
Anch'io molto tempo fa ho risolto autonomamente il problema, applicando un'idea di Fermat sulla propagazione della luce. Ho poi scoperto che il mio procedimento è proprio quello di Jakob Bernoulli! ]

b) La "Lemniscata di Bernoulli" (che questa volta è Jakob) è invece chiamata (in latino con aggettivo derivato dal greco) "curva isochrona", intendendo (in analogia con il significato di "brachistochrona") la curva che ho già chiamata [copiando dallo stesso Jakob Bernoulli) "curva descensus aequabilis" (cioè ... "di discesa uguagliabile") nel senso che il grave che scende su quel percorso (supposto senza attrito) impiega lo stesso tempo che impiega ad arrivare nello stesso punto scendendo su una traiettoria rettilinea (ossia lungo la corda di quell'arco di curva ... come mostra la figura che hai Messo tu, la stessa che avevi già messo ai tempi della prima discussione su questa curva).
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Ultima modifica di Erasmus : 14-12-16 17:19.
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Vecchio 01-01-17, 17:57   #16
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Predefinito Re: Tagliamo la testa al toro!

https://s29.postimg.org/4l8g6tryf/Le...ta_Sezione.png

Continuo a rifare questo disegno fino a che non lo riterrò giusto e chiaro.
Ora si nota un segmento in più. Il segmento L K
Dato un toro con la circonferenza generatrice di raggio 2 e l'asse di rotazione distante 4, visto che il diametro interno del toro è anche 4 facendo il teorema di Pitagora fra OK^2 - L 0^2 ottengo L K ^2
6^2- 2^2 = 36 - 4 = 32 Radice di 32 = LK = 5,656854249
Questa lunghezza è la lunghezza massima della lemniscata dall'origine.
Ho poi trovato nel mio vagabondare in rete che se divido questa lunghezza per la radice di 2 ottengo il valore della lunghezza del fuoco, naturalmente sempre preso dall'origine.
Faccio questa operazione e trovo:
5,656854249/rad2 = 4
E' per me una sorpresa, trovare il fuoco proprio nel centro delle circonferenza generatrice.
E non so se questo capita sempre oppure è un caso. Dovrei fare almeno un altro caso.
Tengo buono il concetto che poi in realtà dovrebbe essere quello che definisce la proprietà della lemniscata di Bernoulli, e sarebbe:
La lemniscata di Bernoulli (vado senza leggere) è il luogo dei punti in cui il prodotto delle distanze di un punto dai due fuochi è costante.
E tale prodotto è anche il quadrato della distanza di uno di essi dall'origine. Cioè distanza dei fuochi diviso 2
Avevamo allora semi distanza = 4 ed il suo quadrato 16
16 è il famoso dividendo che preso un divisore ed ottenuto un quoziente mi rappresentano le circonferenze che devo intersecare a due a due.
Nel disegno si vedono due di queste circonferenze precisamente i e j si incontrano nel punto U della lemniscata ed anche nel simmetrico nel ramo inferiore che non ho marcato con la lettera.
Per inciso ho voluto prendere il raggio i = 5,656854 ma senza un motivo particolare mentre facendo il rapporto con 16, j è = 2,82843
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 01-01-17 18:39.
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Vecchio 03-01-17, 19:17   #17
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Predefinito Re: Tagliamo la testa al toro!

Non sono una cima con formule, però:
vedo che la formula in coordinate cartesiane della Lemniscata di Bernoulli è:
(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)
Devo ora rimettere il solito disegno
https://s27.postimg.org/pi3o3y7j7/Modifica_m.png


Se ho fatto tutto giusto vado a leggere le coordinate di un punto della lemniscata del disegno e le metto nella formula.
Come si vede il segmento n è la mia x
ed il segmento m è la y
leggo i valori e trovo
x = 1.5
y = 1,32288
per a si intende il fuoco che nel caso specifico è 4
vado a sostituire i valori nella formula che non riscrivo più se no mi stanco:
(1,5^2 + 1,32288^2)^2 = 2*4^2*(1,5^2 - 1,32288^2)
4^2 = 32*0.5 (facendo i conti)
16 = 16
Ottimo non ci avrei mai creduto
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 14-01-17 10:33.
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Vecchio 08-01-17, 13:44   #18
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https://s28.postimg.org/cms05tay5/Lemniscata_R_3.png

Giorni fa mi ero chiesto se il fatto che il fuoco della lemniscata di Bernoulli cadesse proprio nel centro della circonferenza generatrice del toro, non fosse stato un caso.
Non potevo saperlo, avendo io in vita mia disegnato solo una lemniscata, ce ne sarebbero volute almeno 2 ,intendo disegnate. Ecco la seconda.
L'altra era di raggio 2 questa è di raggio 3
Sì, il fuoco cade in detto centro, marcato con la lettera B nel disegno e con circonferenza tratteggiata.
In più ho marcato l'angolo Alfa anch'esso costante per tutti i tori e di conseguenza per tutte le lemniscate.
Non ho cercato i punti questa volta, ma ho già mostrato che funziona il sistema per intersezione di circonferenze.
Ciao
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Vecchio 12-01-17, 15:04   #19
Erasmus
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Predefinito Re: Tagliamo la testa al toro!

Ho tentato di inviare un messaggio privato a
aspesi; Mizarino; nino280; astromauh; ANDTREAtom

Il messaggio non è parttito per questo errore !!!!
«I seguenti utrenti non sono stati trovati:
aspesi; Mizarino; nino280; astromauh; ANDREAtom
-----------
Allora, al diavolo la privacy, il messaggio lo metto qua.
-----------------
A: aspesi: Mizarino: nino280: astromauh: ANDREAtom:


il 29.12.2016 h avuto un infarto e sono stramazzato per terra malamente.
Mi sono svegliato 26 ore dopo in "rianimazione" - cardiologia - Ospedale Borgo Trento VR

Mi dicono che sono vivo "per il rotto della cuffia".

Sono a casa da ieri sera.

Sono in carrozzina, anche perché, tra l'altro, nella caduta mi sono rottp un malleolo della caviglia sinistra e ora ho un pesante stivale di gesso!

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Ciao a tutti e sinceri auguri ... a me per primo e a tutti voi.
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Ultima modifica di Erasmus : 07-06-17 08:33.
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Vecchio 12-01-17, 15:44   #20
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Predefinito Re: Tagliamo la testa al toro!

Grazie a Dio sei ora ancora con noi anche a scornaci come al solito se proprio lo vogliamo.
Io ora non voglio fare l'indovino del momento, non è il caso, qualcosa avevo sospettato. Quindici giorni senza che postavi sono troppi, e mi dicevo, sarà successo qualcosa ad Erasmus, tanto è vero che tre giorni fa, e credo che qualcuno lo può confermare, avevo scritto proprio in questa discussione del toro ; Erasmus, che cosa è successo?
Ma io sai che sono strano, non so per quale motivo ho cancellato il messaggio.
Ora, l'importante che stai meglio.
Ciao
Una confessione, tutti i giorni cliccavo sul tuo avatar per controllare se eri intervenuto nel forum, a volte fino 10 volte al giorno, ma il contatore era fermo al giorno 28, fino a ieri quando ho visto che il contatore si era spostato, ho avuto un grande sollievo.
Il malleolo? E che importa. Tanto non scrivi con i piedi.
Ultima cosa scherzosa ho persino pensato che qualche mio scritto o qualche mio errore di sbaglio ti avessero fatto tanto male appunto da farti star male, ed allora mi sentivo in colpa. Ripeto, Auguri, Sinceri che torni quelli del 27 Dicembre.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
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