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Vecchio 24-12-16, 09:10   #1741
aspesi
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Questo messaggio, solo per essere promosso anch'io da utente esperto a super prima di Natale



Non c'entra con i quiz

il bacio del Cristo Redentore del Monbarone a sorella luna


Ultima modifica di aspesi : 16-01-17 08:04.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 03-03-17, 13:17   #1742
aspesi
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Uno sfizio

Come è noto, con i 90 numeri del lotto si possono formare 43.949.268 cinquine delle quali la prima è 1 2 3 4 5 mentre l’ultima è 86 87 88 89 90.
Ciascuna cinquina è caratterizzata da una determinata somma. A esempio la cinquina
1 2 3 4 5 ha come somma 15 mentre l’ultima 86 87 88 89 90 è di somma 440. E' evidente che alcune somme sono ripetute, ovvero in corrispondenza di ogni somma da 15 a 440 c’è un ben definito numero di cinquine.

Problema: è possibile calcolare direttamente (senza un programma che le conti) il numero di cinquine che hanno un prefissato valore della somma?

Innanzi tutto occorre precisare che le cinquine di somma 15 sono in numero uguale a quelle di somma 440, quelle di somma 16 sono in numero uguale a quelle di somma 439, quelle di somma 17 sono in numero uguale a quelle di somma 438, e così via fino a somma 227 che sono in numero uguale a quelle di somma 228.
Ne segue che è sufficiente trovare solo le formule che danno il numero di cinquine per valori della somma s da 15 a 227; volendo calcolare il numero delle cinquine che hanno una somma s ≥228 basta trovare quelle che hanno come somma il complemento di s a 455 ovvero 455-s.

Il problema (non certo facile) è quindi la scomposizione della somma s (il cui minimo per il lotto è 15, cioè 1+2+3+4+5) in cinque parti (intere e diverse fra loro, tutte comprese fra 1 e 90) ed è certamente fuori dalla mia portata (se Erasmus o altri ci vogliono provare...)
Però, con l'ausilio delle formule presenti nell'OEIS Enciclopedia Sequenze dei Numeri Interi, sono riuscito a risolverlo.

Per le somme da 15 a 100, ho utilizzato la formula:
(a(s) = numero delle cinquine possibili la cui somma è s):

a(s) = Arrotonda_all'unità{ [ (s-10)^4 + 10*[(s-10)^3 + (s-10)^2 ] - 75*(s-10) - 45*(s-10) * (-1)^(s-10) ] /2880 }


che è però valida solo se la somma s è compresa fra 15 e 100, perché calcola le partizioni di cinque numeri diversi da 1 in su senza un limite superiore, mentre al lotto i numeri si fermano a 90, non esiste il 91, ..., ecc...

somma = 15 ------> 1 cinquina
somma = 16 ------> 1 cinquina
somma = 17 ------> 2 cinquine
somma = 18 ------> 3 cinquine
somma = 19 ------> 5 cinquine
somma = 20 ------> 7 cinquine
somma = 21 ------> 10 cinquine
somma = 22 ------> 13 cinquine
somma = 23 ------> 18 cinquine
somma = 24 ------> 23 cinquine
somma = 25 ------> 30 cinquine
..................................................
somma = 95 ------> 20282 cinquine
somma = 96 ------> 21224 cinquine
somma = 97 ------> 22204 cinquine
somma = 98 ------> 23212 cinquine
somma = 99 ------> 24260 cinquine
somma = 100 ------> 25337 cinquine

OEIS è una miniera per queste informazioni, e, se interessa, ho trovato anche la correzione da applicare per trovare il numero delle cinquine con somma tra 101 e 187 e l'ulteriore correzione se la somma è compresa fra 188 e 227.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 03-03-17, 21:51   #1743
Erasmus
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
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[b]Innanzi tutto occorre precisare che le cinquine di somma 15 sono in numero uguale a quelle di somma 440, quelle di somma 16 sono in numero uguale a quelle di somma 439, quelle di somma 17 sono in numero uguale a quelle di somma 438, e così via fino a somma 227 che sono in numero uguale a quelle di somma 228.
Mi paiono tutte precisazioni superflue se si considerano le cinquine scritte con le componenti in ordine crescente,
(come [1, 2, 3, 4, 5] e [86, 87, 88, 89, 90]).
Forse sbaglio ma mi pare che da somma 15 ci sia solo la [1, 2, 3, 4, 5] e da somma 440 solo la [86, 87, 88, 89, 90].
La somma è sempre 5 volte il numero cenrale.
Considero la cinquina:
[m, m+1, m+2, m+3, m+4], dove 1 < m < 44.
La somma è 5m+10.
Cerco quante cinquine ci sono con qesta somma.
Faccio prima l'esempio con m = 7 (con somma 45)
[7, 8, 9, 10, 11].
[6, 8, 9, 10, 12]; [6, 7, 9, 11, 12].
[5, 8, 9, 10, 13]; [5, 7, 9, 11, 13]; [5, 6, 9, 12, 13].
[4, 8, 9, 10, 14]; [4, 7, 9, 11, 14]; [4, 6, 9, 12, 14]; [4, 5, 9, 13, 14].
...
[1, 8, 9, 10, 17]; [1, 7, 9, 11, 17]; [1, 6, 9, 12, 17]; [1, 5, 9, 13, 17]; [1, 4, 9, 14, 17];
[1, 3, 9, 15, 17]; [1, 2, 9, 16, 17].
Sono 1+2+3+4+5+6+7 = 7·8/2 = 28.

In generale m(m+1)/2 . [Forse!]
–––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 03-03-17, 22:14   #1744
aspesi
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Faccio prima l'esempio con m = 7 (con somma 45)
[7, 8, 9, 10, 11].
[6, 8, 9, 10, 12]; [6, 7, 9, 11, 12].
[5, 8, 9, 10, 13]; [5, 7, 9, 11, 13]; [5, 6, 9, 12, 13].
[4, 8, 9, 10, 14]; [4, 7, 9, 11, 14]; [4, 6, 9, 12, 14]; [4, 5, 9, 13, 14].
...
[1, 8, 9, 10, 17]; [1, 7, 9, 11, 17]; [1, 6, 9, 12, 17]; [1, 5, 9, 13, 17]; [1, 4, 9, 14, 17];
[1, 3, 9, 15, 17]; [1, 2, 9, 16, 17].
Sono 1+2+3+4+5+6+7 = 7·8/2 = 28.

In generale m(m+1)/2 . [Forse!]
–––
Purtroppo, no...

Con somma = 45 ci sono ben 674 cinquine

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-03-17, 10:02   #1745
aspesi
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[b]
Per le somme da 15 a 100, ho utilizzato la formula:
(a(s) = numero delle cinquine possibili la cui somma è s):

a(s) = Arrotonda_all'unità{ [ (s-10)^4 + 10*[(s-10)^3 + (s-10)^2 ] - 75*(s-10) - 45*(s-10) * (-1)^(s-10) ] /2880 }


che è però valida solo se la somma s è compresa fra 15 e 100, perché calcola le partizioni di cinque numeri diversi da 1 in su senza un limite superiore, mentre al lotto i numeri si fermano a 90, non esiste il 91, ..., ecc...

Questa formula, che ho riarrangiato per renderla utilizzabile al lotto, è di Washington Bomfim, un professore di una piccola università in Brasile, e l'ho trovata qui:

https://oeis.org/A001401

a(n) = round(((n+5)^4+10*((n+5)^3+(n+5)^2)-75*(n+5)-45*(n+5)*(-1)^(n+5))/2880). - Washington Bomfim, Jul 03 2012

Applicandola oltre somma 100, darebbe valori in eccesso, errati nel caso del lotto.
Infatti:
somma = 101 ------> 26455 cinquine, compresa l'impossibile 1 2 3 4 91
somma = 102 ------> 27604 cinquine, comprese le impossibili 1 2 3 5 91 e 1 2 3 4 92
ecc...

Il numero di cinquine che devono essere sottratte (per somme da 101 a 187) è il seguente:
1 2 4 7 12 18 27 38 53 ....
fino a 121468 per s=187

che corrisponde alla sequenza OEIS A002621
https://oeis.org/A002621

con formula:
a(n)=floor((n+1)*(9*(-1)^n + n^3 + 21*n^2 + 145*n + 350)/576 + 1/2)
di Tani Akinari, che si definisce, bontà sua, un "amateur mathematician"

Questa formula, adattata al problema, diventa:

=INT((s-100)*(9*(-1)^(s-1)+(s-101)^3+21*(s-101)^2+145*(s-101)+350)/576+1/2)


e, come detto, per somme delle cinquine comprese fra 101 e 187, va considerata assieme alla precedente formula con il segno negativo, cioè sottraendone i valori.

somma = 101 ------> 26454 cinquine
somma = 102 ------> 27602 cinquine
somma = 103 ------> 28792 cinquine
somma = 104 ------> 30013 cinquine
somma = 105 ------> 31277 cinquine
somma = 106 ------> 32573 cinquine
somma = 107 ------> 33913 cinquine
somma = 108 ------> 35286 cinquine
somma = 109 ------> 36703 cinquine
somma = 110 ------> 38154 cinquine
somma = 111 ------> 39650 cinquine
..................................................
somma = 182 ------> 224665 cinquine
somma = 183 ------> 227540 cinquine
somma = 184 ------> 230378 cinquine
somma = 185 ------> 233188 cinquine
somma = 186 ------> 235957 cinquine
somma = 187 ------> 238694 cinquine

Ma non è finita...

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Vecchio 05-03-17, 10:53   #1746
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Potresti scrivere alla Sisal proponendo un nuovo gioco: scommettere sulla somma!
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-03-17, 11:20   #1747
aspesi
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Potresti scrivere alla Sisal proponendo un nuovo gioco: scommettere sulla somma!
Perché, no?
Bisognerebbe tarare bene le vincite a seconda delle probabilità delle varie somme...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 22-03-17, 16:55   #1748
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Ma non è finita...

Concludo con l'ultima formula, da utilizzare unitamente alle due formule precedenti (con il segno positivo, cioè sommandone i valori), per l'ultima parte, relativa alla somma delle cinquine da 188 a 227:

=INT((s-187)*(9*(-1)^s+(s-188)^3+17*(s-188)^2+95*(s-188)+184)/288+1/2)

somma = 188 ------> 241386 cinquine
somma = 189 ------> 244041 cinquine
somma = 190 ------> 246648 cinquine
somma = 191 ------> 249214 cinquine
somma = 192 ------> 251728 cinquine
somma = 193 ------> 254197 cinquine
somma = 194 ------> 256611 cinquine
somma = 195 ------> 258977 cinquine
..................................................

aspesi non in linea   Rispondi citando
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