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Vecchio 17-05-08, 10:03   #11
Erasmus
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Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,895
Predefinito Re: Quanto può sporgere una pila di mattoni?

Quote:
sumer Visualizza il messaggio
Ovviamente, ma questo penso fosse sottinteso, è necessario che i mattoni siano perfettamente regolari, omogenei e incomprimibili. ...
Non sottinteso, ma esplicitamente dichiaratonella prima riga del testo
Tel chì:
Quote:
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«Dispongo di un numero grande a piacere di mattoni parallelepidedi, retti, uguali, rigidi e perfetti...
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Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
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Vecchio 17-05-08, 11:26   #12
sumer
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Data di registrazione: Jun 2006
Messaggi: 259
Predefinito Re: Quanto può sporgere una pila di mattoni?

A proposito di 'media' armonica è stato un clamoroso refuso, intendevo 'serie' armonica.
Me ne accorgo solo ora leggendo la tua osservazione (inizialmente non capivo cosa c'entrasse la media). Me ne scuso.
Per il resto chiedo tempo.
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Ad astra per aspera.
sumer non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 19-05-08, 13:17   #13
aleph
Utente Esperto
 
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Data di registrazione: Jul 2005
Ubicazione: Roma
Messaggi: 1,988
Predefinito Re: Quanto può sporgere una pila di mattoni?

Mi è venuta un'idea per affrontare questa faccenda, idea che ha reso molto più semplice tutto il ragionamento. Se è vero che spesso le cose semplici sono anche quelle giuste, allora ho una certa fiducia circa la sua correttezza.

Prendiamo un mattone, sappiamo che il suo baricentro si trova a metà esatta. Ora idealmente mettiamo il secondo mattone SOTTO il primo, con il bordo destro (del secondo mattone) allineato con il baricentro del mattone superiore. Questa costruzione si tiene in equilibrio perché continuiamo a posizionare il mattone successivo comunque in modo da contenere (anche se per un pelo) il baricentro della costruzione superiore, quindi andiamo avanti mettendo un terzo mattone SOTTO i due precedenti con il bordo destro (di questo terzo mattone) subito sotto il baricentro DELLA COSTRUZIONE SUPERIORE. Ma dove si trova il baricentro della "costruzione superiore"?

Il primo mattone aveva il baricentro alla posizione 1/2, il gruppo di due mattoni dovrebbe avere il baricentro in posizione 1/4, il gruppo di 3 mattoni in posizione 1/6 e così via avremmo il baricentro dei gruppi crescenti che si troverebbe a 1/2n.

Siccome la serie 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/2n è una serie divergente, la pila di mattoni andrebbe ad avere l'ultimo mattone spostato indefinitamente verso destra, e il mattone più alto sarebbe ovviamente sporgente di 1/2 rispetto il penultimo..

La cosa non è per niente intuitiva....

Forse dal disegnino allegato si capisce meglio.
Immagini allegate
Tipo di file: jpg Pila mattoni.JPG (11.9 KB, 16 visite)
aleph non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-05-08, 14:48   #14
astromauh
Utente Super
 
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Messaggi: 4,005
Predefinito Re: Quanto può sporgere una pila di mattoni?



Per prima cosa bisogna stabilire cosa succede se manteniamo costante la sporgenza, come suggeriva Erasmus.

Il baricentro totale, è dato dalla media dei baricentri dei singoli mattoni.

In questo caso, dal disegno, si può vedere che la sporgenza totale è uguale alla lunghezza del mattone.

Cosa succede se si utilizza una sporgenza variabile?


(Io, comunque sono fuori gioco, Erasmus mi ha mandato un messaggio privato dove mi ha spiegato la soluzione.)



PS
Domanda per Mizarino, come mai tu riesci ad inserire le immagini direttamente nei post (ad eccezione di quella faccina verde che ride), mentre se ci provo io non funziona?
Bisogna essere autorizzati?
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Ultima modifica di astromauh : 19-05-08 15:22.
astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-05-08, 16:27   #15
Erasmus
Utente Super
 
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Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,895
Predefinito Re: Quanto può sporgere una pila di mattoni?

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
[...]
Per prima cosa bisogna stabilire cosa succede se manteniamo costante la sporgenza, come suggeriva Erasmus.
Eufemisticamente:
«Sei sicuro di non aver frainteso ? »

Senza traslati:
Mai suggerito di mantenere costante la sporgenza né che bisogna stabilire cosa succede in tal caso.

-----------------------------------------------------------

Quote:
aleph Visualizza il messaggio
[...]
Prendiamo un mattone, sappiamo che il suo baricentro si trova a metà esatta. Ora idealmente mettiamo il secondo mattone SOTTO il primo, con il bordo destro (del secondo mattone) allineato con il baricentro del mattone superiore. Questa costruzione si tiene in equilibrio perché continuiamo a posizionare il mattone successivo comunque in modo da contenere (anche se per un pelo) il baricentro della costruzione superiore, quindi andiamo avanti mettendo un terzo mattone SOTTO i due precedenti con il bordo destro (di questo terzo mattone) subito sotto il baricentro DELLA COSTRUZIONE SUPERIORE. Ma dove si trova il baricentro della "costruzione superiore"?

Il primo mattone aveva il baricentro alla posizione 1/2, il gruppo di due mattoni dovrebbe avere il baricentro in posizione 1/4, il gruppo di 3 mattoni in posizione 1/6 e così via avremmo il baricentro dei gruppi crescenti che si troverebbe a 1/2n.

Siccome la serie 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/2n è una serie divergente, la pila di mattoni andrebbe ad avere l'ultimo mattone spostato indefinitamente verso destra, e il mattone più alto sarebbe ovviamente sporgente di 1/2 rispetto il penultimo...
[...]
Proprio così, aleph

Ma tu ... le leggi le risposte altrui o sei come Petrarca che non leggeva Dante per non esserne influenzato?

Per esempio: avevo scritto, in una risposta, che alla fine si costruirà la pila dal basso verso l'alto, ma che la sporgenza del mattone superiore rispetto ad uno qualsiasi dei mattoni sottostanti si viene a sapere contando dall'alto verso il basso.

Allora, detta L la lunghezza dello spigolo orizzontale più lungo, per erigere una pila di N mattoni a sporgenza massima del superiore dall'inferiore, poso un primo mattone sul piano orizzontale di base, poi un secondo mattone sporgente di [1/(N–1)]*(L/2), poi un terzo mattone sporgente dal secondo di [1/(N–2)]*(L/2) – ... e su, su ... – il penultimo mattone sporgente dal terzultimo di (1/2)*(L/2) e l'ultimo sporgente dal penultimo di 1*(L/2).

Si indichi con H(n) la serie armonica: H(n) = 1+1/2+1/3+ ... +1/n.

La serie armonica, per n sempre più grande, ha ("asintoticamente") un andamento logaritmico.
E' noto infatti che:

Limite per n tendente all'infinito di H(n) – ln(n) = costante di Eulero-Mascheroni (detta "gamma minuscolo") =
= 0.57721 56649...

Costante di Eulero-Mascheroni

D'altra parte, per x uguale ad n intero positivo molto grande, la derivata di y= ln(x), che è 1/x, diventa 1/n: il che significa che l'aumento di ln(x) tra x=n–1 e x=n, cioè ln(n) – ln(n–1), tende ad uguagliare l'aumento della serie armonica H(n) – H(n–1) = 1/n.

__________________
Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 19-05-08 21:30.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-02-15, 15:00   #16
Makkio
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Predefinito Re: Quanto può sporgere una pila di mattoni?

Ciao a tutti
Spero non vi dispiaccia se riporto in auge questo vecchio problema.
Risolvendo degli esercizi durante la preparazione di un esame mi è capitato proprio questo qui. L'ho risolto (almeno secondo me...) ma ho alcuni dubbi che mi permangono.
In primis: ho stimato la differenza fra il baricentro del (N+1) mattone rispetto alla pila dei precedenti N mattoni, ottenendo (L/2)*[1/(N+1)]. Quindi si, la serie diverge, la pila si sposta indefinitamente e ha lo stesso andamento di una serie armonica, ma piu lentamente rispetto a quello che leggo qui e che ho letto altrove, perche io il baricentro l'ho calcolato facendo la media pesata (...o no?)
In secondo luogo, sul libro è riportata questa frase a commento del problema:
Quote:
Martin Gardner afferma che: "usando 52 carte da gioco con la prima carta posizionata sul bordo del tavolo, la massima sporgenza che si raggiunge è di poco meno di 2.25 volte la lunghezza di una carta"
Ora, maggiorando la somma parziale della serie appena calcolata con l'integrale di 1/x=ln(x) calcolato fra 0 e 52, a me viene 1.97 circa. Qualcuno sa suggerirmi il perchè?
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Makkio non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 05-02-15, 18:24   #17
nino280
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Predefinito Re: Quanto può sporgere una pila di mattoni?

Probabilmente perché il calcolo va fatto con 51 carte perché la prima non si conta, non la si fa sporgere.
Da vecchi libri ho trovato che la sporgenza per 51 carte è:
2,25940659073334 quindi poco + di 2,25 e non poco meno.
Ciao
Ops! Se hai fatto il calcolo con 52 invece che 51 il tuo calcolo è ancora + sfavorevole.

Ultima modifica di nino280 : 05-02-15 18:32.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-02-15, 20:42   #18
Makkio
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Messaggi: 76
Predefinito Re: Quanto può sporgere una pila di mattoni?

ok ma l'errore dove sta?
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Vecchio 05-02-15, 22:02   #19
nino280
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Predefinito Re: Quanto può sporgere una pila di mattoni?

Perché la somma di una serie armonica non è esattamente uguale al logaritmo naturale di N, ma è circa uguale.
Per esempio per un mazzo di 100 carte la sporgenza è 2,58868875882 e se faccio il ln 100 /2 = 2,302585093

Trovo strano che la differenza fra 52 e 100 carte fra l'atteso ed il logaritmo sia nei due casi = 0,28 circa, più precisamente 0,283818 e 0,286102

La serie armonica diverge ma possiamo ricavare delle ottime approssimazioni della somma dei primi termini che ci risparmiano il lavoro di somma. Abbiamo per esempio che:
Come puoi vedere nella formula c'è la tilde di circa.
Poi io ho trovato costante la differenza fra due valori cioè 0,28 ma poi ho letto di una costante di Eulero - Mascherano = 0,577 e rotti forse perché l' ho diviso per due. Insomma si dovrebbe capire che sto tirando un po' ad indovinare, perché non è poi un argomento che conosco o che ho affrontato altre volte.
Ma a quest' ora è ancora presto, stanotte arriva Erasmus e mette a posto il tutto.
Ciao
Hurca! Non mi ero accorto che è già tardi adesso. Vado a nanna.

Ultima modifica di nino280 : 06-02-15 20:27.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-02-15, 22:05   #20
Erasmus
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Predefinito Re: Quanto può sporgere una pila di mattoni?

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[...] costante di Eulero - Mascherano = 0,577 e rotti
«Costante γ di Eulero-Mascheroni», prego!
Codice:
       γ = lim [H(n) – ln(n)]
           n––>∞

                      n
 dove  H(n) =  1/k
                     k=1
Veramente, questa costante è solo di Eulero di cui Mascheroni era un grandissimo cultore (tanto da scrivere un saggio [in latino] sul calcolo integrale intitolato «Adnotationes ad calculum integrale Euler» , [cioè: «Note sul calcolo integrale di Eulero»].
Mascheroni ha calcolato le prime 32 cifre decimali di γ (sbagliandone però un paio]. Le prime 18 erano già state calcolate dal "cannibale" Eulero 9 anni prima].
----------
Ben prima che ci fosse Internet (dove ora puoi trovare le prime 200 cifre decimali di γ) ho scritto (per Mathesis) un articoletto sul come approssimare con ottima accuratezza H(n), ossia la somma dei reciproci degli interi da 1 a n. Il metodo sfruttava la conoscenza di un numero di cifre ... a volontà della costante γ ottenbibile da un apposito algoritmo (di cui avevo fatto un programmino in Pascal col quale ho calcolato le prime 100 cifre di γ).
Ho anche fatto un programmino che calcolava γ con la migliore accuratezza possibile senza speciali procedure (ossia in floating point di 80 bit per numero ... cosa allora possibile sul mio Mac ma non sui più comuni PC cosiddetti "IBM compatibili") sfruttando la connessione di questa costante con la serie nota come "zeta di Riemann"
ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s) + ... + 1/n^s + ...

Se davvero sei interessato alla "Costante γ di Eulero Mascheroni" ti posso spedire per e.mail ( ... se lo trovo ancora!) quel mio "paper" sul come approssimare H(n) con estrema accuratezza attraverso il [previo] calcolo della costante γ (ovviamente senza fare davvero la somma dei reciproci degli interi da 1 a n).
Ma non credo che il tuo interesse arrivi a tanto! In effetti quell'articolo era abbastanza ... noioso!
–––––––––
__________________
Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 07-02-15 03:18.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
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