Questo sito si serve dei cookie per fornire servizi. Utilizzando questo sito acconsenti all'utilizzo dei cookie - Maggiori Informazioni - Acconsento


Atik
Coelum Astronomia
L'ultimo numero uscito
Leggi Coelum
Ora è gratis!
AstroShop
Lo Shop di Astronomia
Photo-Coelum
Inserisci le tue foto
DVD Hawaiian Starlight
Segui in diretta lo sbarco di Philae sulla Cometa
Skypoint

Vai indietro   Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia > Il Mondo dell'Astronomo dilettante > Rudi Mathematici
Registrazione Regolamento FAQ Lista utenti Calendario Cerca Messaggi odierni Segna come letti

Rispondi
 
Strumenti della discussione Modalità  di visualizzazione
Vecchio 13-06-15, 03:01   #1
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,853
Predefinito "Matrici" in S3" (dedicato ad astromauh)

Caro astromauh ... scrivo per te (e per chiiunque vorrà leggere).

Restiamo comunque nello spazio euclideo (tridimensionale)!
Inoltre, salvo avviso contrario, i numeri considerati sono tutti reali.

Sai già cos'è una matrice quadrata.
Rappresenta un operatore capace di trasformare "linearmente" un vettore in un altro.

Geometricamente, un vettore è ... un qualcosa con un valore e con una direzione.
Per ora, pensando alla posizione di un punto nello spazio cartesiano rispetto all'origine del riferimento, lo indichiamo semplicemente con una terna di numeri, come se fossero le coordinate cartesiane di un punto:
v = (x, y, z).
Sia O il punto di coordinate cartesiane nulle – che scriviamo O(0,0,0) – e P quello generico di coordinate x, y e z – che scriviamo P(x, y, z).
Il vettore v è ben rappresentato dal segmento OP orientato da O a P.
[Nei disegni lo si disegna con una freccia con la coda in O e la punta in P].
Il valore del "qualcosa" è il modulo, rappresentato dalla lunghezza del segmento OP.
Questa (con Pitagora) viene √(x^2 + y^2 + z^2).
indicheremo il modulo del vettore v mettendo tra due sbarre verticali il simbolo del vettore. Riassumendo:
|v| = √(x^2 +y^2 + z^2).
Nel calcolo matriciale, il vettore di solito è una matrice-colonna, cioè di formato 3 x 1.
Codice:
      | x |
v = | y |
      | z |
La trasposta della matrice A (che indicheremo con A*) è la matrice ottenuta scambiando le righe con le colonne.
Allora, per indicare il vettore-colonna v qui sopra, si può usare il trasposto di un vettore riga e scrivere:
v = [x, y, z]*.
---------
Per "scalare" si intende qualcosa senza direzione. Scalare è una distanza, un tempo, un'energia, una tensione elettrica ...
Vettoriale è invece una forza, una "posizione" (di un punto rispetto ad un altro), una velocità istantanea (che è la rapidità con cui un punto mobile cambia posizione al passare del tempo), ecc.

Prodotto scalare
Dati due vettori a = [ax, ay, az]* e b = [bx, by, bz]*, il prodotto scalare dei due vettori (che indico con ab) è la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti, cioè:
ab = ax·bx + ay·by + az·bz.
Ovviamente se uno o entrambi i fattori sono nulli, il prodotto vale 0.
Il prodotto scalare è commutativo e distributivo rispetto alla somma:
ab = ba;
a•(b + c) = ab + ac.

Si dimostra che il prodotto scalare tra due vettori è uguale al prodotto dei loro moduli per il coseno dell'inclinazione di uno sull'altro.
Siccome il coseno di un angolo retto è zero, due vettori (entrambi non nulli) sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è nullo.
Si dice "versore" un vettore di modulo 1.
[Un "versore" è ... un "segna-direzione-e-verso"!]
Dato un vettore v non nullo, il suo versore – che indichiamo con vers(v) – si ottiene dividendone le cmponenti per il modulo.
Per esempio, chi è il versore di v = [3, 4, 12]* ?
Cerchiamo prima il modulo di v:
|v| = √(3^2 + 4^2 + 12^2) = √(9 + 16 + 144) = √(169) = 13.
Allora vers(v) = [3/13, 4/13, 12/13]*.

Per trovare l'inclinazione di un vettore su un altro, si divide il loro prodotto scalare per il modulo di ciascuno (ossia per il prodotto dei loro moduli) e si ottiene così il coseno dell'inclinazione (dal quale si ricava l'angolo).
In simboli, l'angolo φ tra i vettori u e v (entrambi non nulli) ...si trova così:
Codice:
                uv
cos(φ) = ––––––––– .
               |u| · |v|
Sia, per esempio:
u = [x, y, z]*; v= [r, s, t]*.
Allora il coseno dell'angolo φ tra le direzioni dei due vettori u e v è:
Codice:
                                    x·r + y·s + z·t
cos(φ) =   –––––––––––––––––––––––––––––––––
              √(x^2 + y^2 + z^2)·√(r^2 + s^2 + t^2)
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale tra due vettori a e b è un terzo vettore. Lo si indica con a x b.
Il prodotto vettoriale p = a x b ha le seguenti proprietà:
a) Se un fattore è nullo, allora è nullo anche il prodotto.
b) Se a e b hanno la stessa direzione (cioè se esiste tra loro un rapporto scalare k per cui a = k·b) allora il prodotto è nullo;
c) Sia OA il segmento orientato da O ad A rappresentativo di a e sia OB il segmento orientato da O a B rappresentativo di b. Allora OA ed OB individuano un parallelogramma.
Il vettore a x b è ortogonale sia ad a che a b ed il suo modulo è pari all'area di questo parallelogramma.
Se φ è l'angolo tra le direzioni di a e di b – diverso da 0 e anche da π, se no il prodotto vettoriale è nullo – quest'area vale il prodotto dei moduli per il seno di φ.
Ossia |a x b| = |a| · |b| · sin(φ).
d) Il verso di a x b è dato dalla cosiddetta "regola del cavatappi" (inventata da Maxwell).
«Il verso è quello di avanzamento di una vite [normale] che girasse come dovrebbe girare il primo fattore per andar a sovrapporsi al secondo attraverso l'angolo minore».
Si capisce allora che il prodotto vettoriale non è commutativo ed invece:
b x a = – (a x b).
[L'inversione dell'ordine dei fattori causa il cambio di verso del prodotto vettoriale].
E' distributivo rispetto alla somma:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c),
La regola pratica per calcolare la terna delle componenti di p = a x b è la seguente:
a) Considerare le componenti in ordine ciclico (quindi, dopo la terza viene la prima).
b) Per sapere una componente del prodotto vettoriale, considera la componente successiva del primo fattore e moltiplicala per quella ancora successiva del secondo fattore; a questo prodotto sottrai il prodotto della componente successiva del secondo fattore per quella ancora successiva del primo fattore.
Sia, per esempio:
a = [ax, ay, az]*;
b = [bx, by, bz]*;
p = a x b = [px, py, pz]*.
Allora si ha:
px = ay·bz–az·by;
py = az·bx–ax·bz;
pz = ax·by–ay·bx.
––––––––––
Detti i, j, k i versori rispettivamente dell'asse delle x, delle y e delle z [detti "versori principali"], ossia:
Codice:
      | 1 |              | 0 |            | 0 |
i =  ! 0 | ,       j = | 1 |     k = | 0 | ,
      | 0 |              | 0 |            | 1 |
ogni vettore è pensabile combinazione lineare dei versori principali. Precisamente:
v = [x, y, z]* = xi + yj + zk.
Allora, evidentemente:
ii = jj = kk = 1;
ij =ji =jk = kj = ki =ik = 0.

Due di questi versori individuano un quadrato di lato 1 e quindi pure di area 1.
Si riconosce allora che:
i x i= j x j= k x k = 0;
i x j= k; j x i = –k;
j x k= i; k x j = –i;
k x i= j; i x k = –j.

Perciò, tanto la regola del prodotto scalare quanto quella del prodotto vettoriale si ricavano semplicemente applicando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
---------------
Seguirà un "post" su particolari matrici.
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 16-06-15 17:17.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-06-15, 03:33   #2
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,853
Predefinito Re: "Matrici" in S3" (dedicato ad astromauh)

Sempre per astromauh e per chiunque volesse leggere ...
–––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 16-06-15 22:50.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Links Sponsorizzati
Astrel Instruments
Vecchio 13-06-15, 06:14   #3
astromauh
Utente Super
 
L'avatar di astromauh
 
Data di registrazione: Sep 2007
Messaggi: 4,002
Predefinito Re: "Matrici" in S3" (dedicato ad astromauh)

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Caro astromauh ... scrivo per te (e per chiiunque vorrà leggere).
Erasmus, ti ringrazio per il post che mi hai dedicato, ma come pretendi che capisca queste cose adesso che ho 60 anni,
visto che non le ho capite quando ne avevo 18?


Quote:

Restiamo comunque nello spazio euclideo (tridimensionale)!
Inoltre, salvo avviso contrario, i numeri considerati sono tutti reali.

Sai già cos'è una matrice quadrata.
Rappresenta un operatore capace di trasformare "linearmente" un vettore in un altro.

Geometricamente, un vettore è ... un qualcosa con un valore e con una direzione.
Per ora, pensando alla posizione di un punto nello spazio cartesiano rispetto all'origine del riferimento, lo indichiamo semplicemente con una terna di numeri, come se fossero le coordinate cartesiane di un punto:
v = (x, y, z).
Sia O il punto di coordinate cartesiane nulle – che scriviamo O(0,0,0) – e P quello generico di coordinate x, y e z – che scriviamo P(x, y, z).
Il vettore v è ben rappresentato dal segmento OP orientato da O a P.
[Nei disegni lo si disegna con una freccia con la coda in O e la punta in P].
Il valore del "qualcosa" è il modulo, rappresentato dalla lunghezza del segmento OP.
Questa (con Pitagora) viene √(x^2 + y^2 + z^2).
indicheremo il modulo del vettore v mettendo tra due sbarre verticali il simbolo del vettore. Riassumendo:
|v| = √(x^2 +y^2 + z^2).
Già questa prima "formula" mi mette in difficoltà.

Se fossimo su un piano, la lunghezza del segmento OP sarebbe data da √(x^2 +y^2).

Ma questa lunghezza non dovrebbe rimanere invariata per qualsiasi valore di z?

Invece dalla tua formula si deduce che se si cambia il valore di z cambia chiaramente anche il risultato OP.

E quindi non ho capito nulla, ed è inutile continuare nella lettura.

Stamattina mi ero svegliato con il proposito di smettere di fumare, ma il tuo post mi ha innervosito al punto che ho già fumato sette sigarette nel giro di pochi minuti.



PS

Va bene, adesso ho capito!

Il mio errore consisteva nell'immaginare un quadrato di lato x e y che ruota su un suo lato.

Mentre in realtà dovrei immaginare un cubo che ha una faccia di lato x e y, e una profondità z. In questo caso OP è uguale a √(x^2 +y^2) solo se si trova sulla faccia x e y, ma è maggiore al variare di z.

Sono traviato dall'astrologia... Sono abituato a rappresentare delle posizioni che sono tridimensionali in uno spazio bidimensionale.

Le sigarette fumate però, nel frattempo sono diventate 9.
__________________
www.Astrionline.it
Astromauh <a href=http://www.trekportal.it/coelestis/images/icons/icon10.gif target=_blank>http://www.trekportal.it/coelestis/i...ons/icon10.gif</a>

Ultima modifica di astromauh : 13-06-15 06:43.
astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-06-15, 16:12   #4
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,853
Predefinito Re: "Matrici" in S3" (dedicato ad astromauh)

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Quote:
|v| = √(x^2 +y^2 + z^2).
Già questa prima "formula" mi mette in difficoltà.
–––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-06-15, 16:19   #5
astromauh
Utente Super
 
L'avatar di astromauh
 
Data di registrazione: Sep 2007
Messaggi: 4,002
Predefinito Re: "Matrici" in S3" (dedicato ad astromauh)

OK, bello, grazie.
__________________
www.Astrionline.it
Astromauh <a href=http://www.trekportal.it/coelestis/images/icons/icon10.gif target=_blank>http://www.trekportal.it/coelestis/i...ons/icon10.gif</a>
astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-06-15, 18:06   #6
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,853
Predefinito Re: "Matrici" in S3" (dedicato ad astromauh)

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
[...] Le sigarette fumate però, nel frattempo sono diventate 9.
Ti capisco ... ma ti disapprovo!

L'ultima sigaretta che ho fumato l'ho fumata nel pomeriggio avanzato (verso le 19) di mercoledì 11 marzo [2015, of course].
Era successo che ... da giorni e giorni stavo male. Il lunedì ero tornato dal medico (dopo che esami clinici specifici dicevano che non avevo niente!).
«Forse – disse il medico – potrebbe essere una specie di influenza virale che si manifesta dopo incubazione di giorni, ma non dà febbre e non lascia alcun segno agli esami clinici del tipo di quelli appena fatti». E mi prescrisse cortisone ed antibioitici.
Ii mercoledì pomeriggio mi pareva di stare benone e pensavo: «Se domani mattina mi sento bene, interrompo l'assunzione di cortisone e antibiotici».
Ma avevo ancora una specie di prurito nel profondo dei bronchi: e un continuo stimolo a tentare di espettorare qualcosa. Macché: non veniva su niente!
Dopo fumata una mezza sigaretta ed un ennesimo disperato tentativo di "raschiarmi" i bronchi ... toh che mi son sentito col respiro affannoso come se avessi fatto una corsa al massimo delle possibilità!
Per farla breve: ho passato le 14 ore successive senza dormire (in attesa del medico che sarebbe stato chiamato l'indomani mattina) e ansimando appunto come se avessi appena concluso gli 800 m ad ostacoli!
Verso le 9 della mattina dopo arriva il medico... «Lei respira con un polmone solo!», ... pronto soccorso, diagnosi "pneumotorace", ricovero, il "tre-quarti" piantato nel torace ... e addio per sempre al fumare!
Sono ormai tre mesi tondi che non fumo. Ma il desiderio resta fortissimo, ... ed è dura resistere.
Ma non è come l'astinenza da stupefacenti! E' solo una ... terribile, spasmodica BRAMA !
Non ci sono affatto "crisi di astinenza" ...
--------
Astromauh: ho un figlio di 50 anni, un fratello (del '28) e due sorelle (una del '33 e l'altra del '35). Sessant'anni fa già facevo gli esami di maturità. I sessantenni per me sono ancora ragazzetti!

[Ieri ho letto dei necrologi affissi presso la fermata dell'autobus non lontano dalla quale ho parcheggiato l'auto. Erano tutti di "vecchi", diciamo "morti per cause naturali". Uno aveva la mia età, gli altri solo qualche anno di più.
Bisogna pure lasciare il posto ad altri, no?
Ho cinque nipoti[ni], la più grande ha finito ieri la IV ginnasio (= 1ª superiore).
Probabilmente farò in tempo a vedere (e godere) anche un sesto nipotino.
Meglio di così ... raramente va!].
––––––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 13-06-15 21:38.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Links Sponsorizzati
Telescopi Artesky
Vecchio 13-06-15, 20:06   #7
astromauh
Utente Super
 
L'avatar di astromauh
 
Data di registrazione: Sep 2007
Messaggi: 4,002
Predefinito Re: "Matrici" in S3" (dedicato ad astromauh)

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
E' solo una ... terribile, spasmodica BRAMA !
E' un buon segno, evidentemente hai superato bene lo pneumotorace.
__________________
www.Astrionline.it
Astromauh <a href=http://www.trekportal.it/coelestis/images/icons/icon10.gif target=_blank>http://www.trekportal.it/coelestis/i...ons/icon10.gif</a>
astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-06-15, 12:48   #8
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,853
Predefinito Re: "Matrici" in S3" (dedicato ad astromauh)

Torno alle "matrici".
Riscrivo la matrice di rotazione Rn(φ), col significato di "rotazione dell'angolo φ attorno alla retta per l'origine orientata come il versore di componenti α, β e γ.
Codice:
n = [α,  β,  γ]* con α^2 + β^2 + γ^2 = 1;

             | (α^2)·[1 – cos(φ)] + cos(φ),   αβ·[1 – cos(φ)] – γ·sin(φ),      αγ·[1 – cos(φ)] + β·sin(φ) |    
Rn(φ) = |  αβ·[1 – cos(φ)] + γ·sin(φ),    (β^2)·[1 – cos(φ)] + cos(φ),    βγ·[1 – cos(φ)] – α·sin(φ)  | .
             |  αγ·[1 – cos(φ)] – β·sin(φ),     βγ·[1 – cos(φ)] + α·sin(φ),   (γ^2)·[1 – cos(φ)] + cos(φ) |
Per una rotazione di π rad (cioè di mezzo giro) attorno alla retta per i punti O(0, 0, 0) e P(1, 1, 1) abbiamo:
cos(φ) = –1;
α = β = γ = √(3)/3 ––> α^2 = β^2 = γ^2 = αβ = αγ = βγ = 1/3.
Con ciò, la matrice di rotazione diventa quella matrice M incontrata in ––> questo quiz, (# 1579), cioè:
Codice:
       | –1/3,   2/3     2/3 |
M = |   2/3   –1/3    2/3 |
       |   2/3     2/3  –1/3 |
Una rotazione è una particolare "congruenza" (o ISOMETRIA). L'ISOMETRIA è una trasformazione dello spazio che lascia inalterate le distanze.
[Se P' è il trasformato di P e Q' è il trasformato di Q, allora il segmento P'Q' è lungo come il segmento PQ].
Se la matrice M realizza una isometria, allora la sua trasposta M* coincide con la sua inversa M^(–1).
Ciò significa che M·M* = I, ossia:
a) Ogni riga è un versore (e quindi il prodotto scalare di ogni vettore-riga per sé stesso fa 1);
b) Ogni riga è ortogonale ad ogni altra (e quindi il prodotto scalare di una riga per un'altra fa 0).
Idem dicasi per le colonne (come è immediato se si scambiano fra loro la matrice e la sua trasposta).

Se poi M è anche simmetrica (ossia coincide con la propria trasposta), allora coincide anche con la propria inversa.
Ciò significa M·M =I.
[La matrice M di sopra è un esempio di ciò].

Una trasformazione che, se ripetuta, fa tornare alla situazione di partenza si dice SIMMETRIA.
Questo è sempre il caso di matrici A tali che A·A = I (di cui le isometrie simmetriche sono un caso particolare).

Una rotazione di mezzo giro è una simmetria perché, se ripetuta, riproduce l'identità.
Il seno di mezzo giro è nullo, e il coseno vale –1. Una rotazione di mezzo giro è allora sempre del tipo:
Codice:
           |  2·α^2 – 1,        2·αβ,               2·αγ  |
R(π) = |  2·αβ,            2·β^2 – 1,           2·βγ  |
           |  2·αγ,               2·βγ,          2·γ^2 – 1 |
[Verificare per esercizio che R(π)· R(π) = I (qualunque siano α, β e γ, purché sia α^2 + β^2 + γ^2 = 1)]
-------------

Sia R(φ) una matrice di rotazione.
Se metto φ = 0 ... non ruota nulla e trovoi R(0) = I (identità).
Se cambio φ in –φ, la matrice diventa la trasposta, ossia (trattandosi di isometria) la inversa.
Quindi R(φ)·R(–φ) = I.
Consideriamo due rotazioni successive, di angoli φ e ψ, attorno alla stessa retta. Il risultato è la rotazione dell'angolo somma φ+ψ.
Quindi R(φ)·R(ψ) = R(φ+ψ).

Rispetto all'angolo di rotazione, questa matrice si comporta come la funzione esponenziale rispetto al suo argomento.
[NB: Per comodità, scrivo exp(x) invece di e^x per la consueta funzione esponenziale di base "e"].
exp(0) = 1; exp(x)·exp(–x) = 1; exp(x+y) = exp(x)·exp(y).

Supponiamo, però, che la base non sia "e" ma sia b.
[NB. b deve essere un numero positivo diverso da 1].
Posso sempre ricondurmi alla base "e" osservando che
b^x = [e^ ln(b)]^x.
Se ora pongo k = ln(b), vedo che a^x viene del tipo e^(kx).

Si potrà fare qualcosa di analogo per una matrice di rotazione ?

La risposta è positiva.

E la cosa si dimostra anche facilmente se si ricorda che la funzione esponenziale si può sviluppare in serie di potenze:
exp(kx) = 1 + kx + [(kx)^2]/2! + [(kx)^3]/3! + ... + [(kx)^n]/n! + ...

Ora, se prendo una matrice Ax –ossia una matrice ottenuta moltiplicando per x tutti gli elementi della matrice A), posso costruire con essa una serie analoga [che chiamo Esp(Ax), con la E maiuscola per ricordarmi che si tratta di una matrice], cioè:
Exp(Ax) = I + Ax + [(Ax)^2]/2! + [(Ax)^3]/3! + ... + [(Ax)^n]/n! + ...

Si dimostra (facilmente!) che la rotazione [di angolo φ] attorno ad una retta per l'origine con la direzione di un certo versore è l'esponenziale della matrice Gφ, dove G è la matrice che fa il prodotto vettoriale del dato versore col vettore da trasformare.

Proprio così! [La dimostrazione, facile ed elegante, in una prossima puntata].

Un controllo immediato della cosa si può fare ragionando come segue.
Se ho la funzione y = exp(kx), osservo che k è la sua derivata in x = 0.
Precisamente:
Codice:
d                                                d
–– exp(kx) = k·exp(kx) –––> k = ––– exp(kx)   in x = 0.
dx                                              dx
Se la matrice M dipende dalla variabile φ, la sua derivata dM/dφ è la matrice che ha per elementi le derivate degli elementi di M.

Ricordiamo che:
• la derivata di una costante è 0;
• la derivata di cos(φ) è –sin(φ) [che vale 0 in φ = 0] ;
• la derivata di sin(φ) è cos(φ) [che vale 1 in φ = 0].
Allora la derivata in φ = 0 della matrice di rotazione viene:
Codice:
 | (α^2)·[0 + sin(0)] –sin(0),   αβ·[0 + sin(0)] – γ·cos(0),      αγ·[0 + sin(0)] + β·cos(0) |    
 |  αβ·[0 + sin(0)] + γ·cos(0),   (β^2)·[0 + sin(0)] – sin(0),    βγ·[0 + sin(0)] – α·cos(0) |  =
 |  αγ·[0 + sin(0)] – βcos(0),     βγ·[0 + sin(0)] + α·cos(0),   (γ^2)·[0 + sin(0)] – sin(0) |  

      |  0,  –γ,   β |
  =  |  γ,   0,  –α | =  G.
      | –β,   α,   0 |
E' anche da notare che:
G^2 = P – I; [Verificare per esercizio!]
P·G = G·P = N (= matrice nulla, con tutti gli elementi uguali a 0); [Verificare per esercizio!]

Tenendo conto di ciò si trova subito:
G^3 = (G^2)·G = (P – I)·G = – G;
G^4 = (G^3)·G = –G·G = – G^2 = I – P;
G^5 ^ (G^4)·G = (I – P)·G = G – N = G.
G^6 = (G^5)·G = G^2;
G^7 = (G^6)·G = G^3;
...
G^n = G^(n mod 4).

Nelle potenze di G, a parte G^0 che vale I, c'è dunque una periodicità di ordine 4 [che ricorda le potenze dell'unità immaginaria j]. Infatti, per ogni n intero positivo abbiamo:
Codice:
G^(4n+1) = G^1 = G;                        j^(4n +1)  =  j;
G^(4n+2) = G^2 =  P – I;                  j^(4n +2) = –1;
G^(4n+3) = G^3 = –G;                      j^(4n +3) =  –j;                 
G^(4n) = G^4 = I – P,                       j^4n  =  1.
–––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 19-06-15 18:58.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-06-15, 17:51   #9
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,853
Cool Re: "Matrici" in S3" (dedicato ad astromauh)

Nel paragrafo precedente si è visto, tra l'altro, che il sistema lineare:
Codice:
•    x + y – z = 1;            | 1    1   –1 |   | x |    |  1 |
•    x – y + z = 7;  ==>   ! 1   –1    1 ! · | y | = |  7 |
•  3x + y – z = 9.            | 3     1  –1 |   | z |     | 9  |
è indeterminato perché la terza equazione non dice nulla di nuovo rispetto alle prime due in quanto è stata ricavata da queste sommando membro a membro il doppio della prima alla seconda.
Allora ho meno informazioni di incognite. Le soluzioni sono infinite, il sistema è indeterminato.

Supponiamo di sostituire la terza equazione:
3x + y – z = 9
con quest'altra:
3x + y – z = 8.
Il primo membro è lo stesso: è ancora il doppio dsel primo membro della prima equazione più il secondo membro della seconda equazione. Il secondo membro ... non più! Adesso è la somma dei secondi membri delle prime due equazioni.
Evidentemente, 3x + y - z non può fare ad un tempo sia 9 che 8.
L'equazione 3x + y - z = 8 contraddice le informazioni contenute nelle rime due.
In tali condizioni è impossibile sapere quando valgono x, y e z. Il sistema diventa impossibile.
Da un punto di vista formale, se la matrice dei coefficienti è singolare (cioè: le sue righe sono linearmente dipendenti) il sistema "NON è determinato". Allora i casi sono due:
a) Sostituendo una colonna qualsiasi con la colonna dei termini noti le righe restano linearmente dipendenti. Allora il sistema è indeterminato.
a) Sostituendo una colonna con la colonna dei termini noti succede che, si ottengono tante matrici distinte quante sono le colonne distinte. Se almeno una di queste matrici ha le righe NON linearmente dipendenti, allora il sistema è IMPOSSIBILE.
==============================================

Avevo detto che forse era meglio che non avessi parlato dei determinanti.
Oggi ho cambiato idea!

Determinanti
Il determinante di una matrice quadrata M, diciamolo det(M) è un numero che (concettualmente) dipende da tutti gli elementi di M.
Dopo spiego cos'è il "cofattore" (o "complemento algebrico") di un elemento di una matrice quadrata.
Supposto di saperlo, ... siccome ogni elemento ha il suo "cofattore", data una linea (riga o colonna) di una matrice quadrata, posso fare il prodotto scalare tra il vettore costituito da quella linea ed il vettore costituito dai "cofattori" degli elementi di quella linea.
Succede che, per il modo con cui sono definiti i "cofattori", questo prodotto scalare non dipende dalla linea scelta (è sempre lo stesso). Il DETERMINANTE della matrice è proprio lui!.

Nella matrice quadrata A (di formato n x n, indichiamo con a(r, s) l'elemento che sta all'ncrocio tra la riga r-esima e la colonna s-esima (con r ed s compresi tra 1 ed n inclusi).
Inoltre diciamo che a(r, s) è di classe pari se r +è s è un numero pari; e diciamo che è di classe dispari se r-s è un numero dispari.
Ovviamente, camminando su una linea si alternano elementi do classe parim ad elementi di classe dispari.

a) Se la matrice è di formato 1 x 1, ossia è costituita da un solo elemento , per definizione il determinante è quell'unico numero:
A = [a(1, 1)] ==> det(A) = a(1, 1).
b) Se è n > 1, allora, considerato un suo elemento a(r, s), cancelliamo la riga r-esima e la colonna s-esima [che si incrociano nell'elemento a(r, s)]. Ci resta una matrice quadrata di formato (n–1) x (n–1). Diciamola A(r, s) e chiamiamola "minore complementare di a(r, s)".
Supponiamo di essere capaci di fare il determinante delle matrici di formato (n–1) x (n–1).
Il cofattore dell'elemento a(r, s) è
det[A(r, s)]
se a(r, s) è di classe pari, altrimenti (se cioè è di classe dispari)
–det[A(r,s).
c) Si dimostra [... con la pazienza dei certosini! ] che il prodotto scalare di una qualsiasi linea (riga o colonna) per il vettore dei cofattori dei suoi elementi non dipende dalla linea scelta. E' questo il determinante della matrice.

Siccome so cos'è il determinante di matrici 1 x 1, allora so fare anche quelli di matrici 2 x 2, cioè del tipo
| a(1, 1), a(1, 2) |
| a(2, 1), a(2, 2) |
perché in esse
• il cofattore di a(1, 1) è a(2, 2) e il cofattore di a(2, 2) è a (1, 1):
• il cofattore di a(1, 2) è –a(2, 1) e il cofattore di a(2, 1) è –a(1, 2);
e pertanto il determinante di tali matrici è ... "la differenza dei prodotti in croce", ossia:
a(1, 1)·a(2, 2) – a(1, 2)·a(2, 1).

Adesso che ho imparato a fare il determinante di matrici di formato 2 x 2 posso fare quello di matrici di formato 3 x 3 perché i minori complementari degli elementi di una linea sono matrici di formato 2 x 2.

Per induzione arrivo a saper fare il determinante di matrici quadrate di qualsiasi formato.

Riassumendo, data la matrice A di formato n x n, detti a(r, s):
• il minore complementare di a(r, s) è la matrice A(r, s) che si ottiene cancellando da A la riga r-esima e la colonna s-esima.
• il cofattore (o complemento algebrico) dell'elemento a(r, s) è il numero:
c(r, s) = [(–1)^(r+s)]·det[A(r, s)];
• Il determinante di A è la somma dei prodotti degli elementi di una linea qualsiasi per i rispettivi cofattori. Ossia:
– Prendendo la riga r-esima det(A) = <somma, per s da 1 a n, di a(r, s)·c(r, s)>.
– Prendendo la colonna s-esima det(A) = <somma, per r da 1 a n, di a(r, s)·c(r, s)>.

Torniamo alle matrici di formato 3 x 3.
Data la matrice
Codice:
       | a(1, 1),  a(1, 2),  a(1, 3) |
M = | a(2, 1),  a(2, 2),  a(2, 3) |,
       | a(3, 1),  a(3, 2),  a(3, 3) |
proviamo a fare il determinante scegliendo la prima colonna.

[NB: a(1, 1) e a (3, 1) sono di classe pari mentre a (2, 1) è di classe dispari].

del(M) = a(1,1)·det[A(1, 1)] – a(2, 1)·det[A(2, 1) + a(3, 1)·detA(3, 1)] =
= a(1, 1)·[a(2, 2)·a(3, 3) – a(2, 3)·a(3, 2)] +
–a(2, 1)·[a(1, 2)·a(3, 3) – a(1, 3)·a(3, 2)] +
+a(3, 1)·[a(1, 2)·a(2, 3) – a(1, 3)·a(2, 2)].

Elencando prima i prodotti in ciui non si è cambiato il segno (e sfruttando la proprietà commutativa della somma e del prodotto) possiamo scrivere :
det(M)=
= a(1, 1)·a(2, 2)·a(3, 3) + a(1, 2)·a(2, 3)·a(3, 1) + a(1, 3)·a(2, 1)·a(3, 2)+
– a(3, 1)·a(2, 2)·a(1, 3) – a(3, 2)·a(2, 3)·a(1, 1) – a(3, 3)·a(2, 1)·a(1, 2).

Questa scrittura è quello che si calcola seconda la cosiddetta "Regola di Sarrus" :
• Ripetere accanto alla matrice 3 x 3 la 1ª e la 2ª colonna (ottenendo una matrice 3 x 5).
• Sommare i 3 prodotti che hanno per fattori rispettivamente i 3 elementi delle 3 linee oblique discendenti da sinistra a destra e sottrarre i 3 prodotti che hanno per fattori rispettivamente i 3 elementi delle 3 linee oblique aascendenti da sinistra a destra.

Esempio:
Codice:
       | a   b   c  |          | a   b   c  | a  b
M = | x   y   z  |;  ––>  | x   y   z  | x  y  ––> det(M) =ayw +bzu +c x v –uyc –vza –wxb.
       | u   v  w  |           ! u  v   w | u  v
-----------
(Continua ...)
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 19-06-15 18:49.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-06-15, 18:21   #10
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 5,853
Predefinito Re: "Matrici" in S3" (dedicato ad astromauh)

(Continua dal "post" precedente)

Nozioni e teoremi importanti sui determinanti

1) Si dimostra che se una matrice è singolare (ha cioè righe e colonne linearmente dipendenti) allora ha nullo il determinante; e viceversa. Stringatamente, per ogni matrice M quadrata:
<righe linearmente dipendenti > equivale <colonne linearmente dipendenti> equivale det(M) = 0.

2) Determinante del prodotto di matrici
Siano A e B due matrici quadrate di uguale formato.
Si dimostra che
det(A·B) = det(A)·det(B) (e perciò det(B·A) = det(A·B) anche quando B·A ≠ A·B).

3) Ortogonalità.
Immaginiamo di sbagliare a calcolare il determinante perché, presa una linea, invece di moltiplicarne gli elementi per i propri cofattori, li moltiplichiamo per i cofattori di una linea parallela.
Si dimostra che facendo così al posto del determinante si trova 0. In altre parole, ogni linea è ortogonale al vettore dei cofattori degli elementi di un'altra linea parallela.

4) Matrice aggiunta
Di ogni elemento a(r, s) di una matrice quadrata M calcoliamo il cofattore:
<cofattore di a(r, s)> = [(–1)^(r+s)]·det[A(r, s)].
Con questi cofattori possiamo costruire una matrice dello stesso formato di M piazzando c(r, s) al posto di a(r, s).
Consideriamo infine la trasposta di questa matrice, qualla cioè che nel posto (r, s) ha il cofattore c(s, r).
Quest'ultima matrice si chiama "matrice aggiunta". Indichiamo con C(M) la matrice aggiunta della matrice M.
L'importante proprietà di C(M) è che ogni sua m-esima colonna è il vettore dei cofattori della corrispondente m-esima riga di M.
Esempio:
Codice:
       | a   b   c  |                   |   yw – zv,   –bw + cv,     bz – cy |
M = | x   y   z  |  ––> C(M) = | –xw + zu,    aw – cu,   –az + cx |.
       | u   v  w  |                   !    xv – yu,  – av + bu,     ay - bx |
E' facile riconoscere che, siccome l'm-esima colonna di C(M) è il vettore dei cofattori della riga m-esima di M, il prodotto di una matrice quadrata M per la propria matrice aggiunta è una matrice diagonale in cui gli elementi della diagonale principale valgono tutti det(M) e gli altri elementi sono tutti nulli.
Infatti, facendo il prodotto M·C(M), quando una riga m-esima di M moltiplica la colonna m-esima di C(M) [che è il vettore dei cofattori dei suoi elementi] produce il determinante; e produce 0 quandomoltiplica un'altra colonna (che abbiamo visto essere ortogonale).

5) Matrice inversa.
B è la matrice inversa di A se e solo se A·B = I (identità).
Allora anche B·A = I.

Siccome det(I) = 1, se B è la matrice inversa di A allora
det(B)·det(A) = det(I) = 1.
Se è det(A) = 0, la matrice inversa di A non esiste perché si cadrebbe nell'assurdo:
det(inversa di A)· det(A) = det(inversa di A)·0 = 1.
[Non esiste numero che moltiplicato per 0 dia 1 ––> non esiste det(inversa di A) se det(A) = 0].
Se det(M) ≠ 0, l'inversa di M si ottiene dividendo per det(M) ogni elemento della sua aggiunta C(M).
Codice:
                                            1
M^(–1) = <inversa di M> = –––––– C(M)
                                         det(M)
Esempio:
Codice:
       | 2  3  4 |
M = | 1  6  4 |; det(M) = 2·6·6 + 3·4·2 + 4·1·6 – 2·6·4 – 6·4·2 – 6·1·3 = 6.
       ! 2  6  6 | 

           |12  6  –12 |                      1    |12   6 –12 |     |  2      1      –2 |
C(M) = | 2   4   –4 | ;   M^(–1) = ––– · | 2   4  –4 |  = |1/3    2/3  –2/3 |;
           !–6  –6    9 |                      6    !–6  –6   9 |     | –1     –1    3/2 |
Verifica
                  | 2  3  4 |   |  2      1       –2 |    | 4+1–4,   2+2–4,  –4–2+6 |     ! 1  0   0 |
M·M^(–1) = | 1  6  4 |· |1/3    2/3  –2/3 | = | 2+2–4,   1+4 4,   –2–4+6 | = | 0  1   0 | = I
                   |2   6  6 |  | –1     –1    3/2 |    |  4+2–6,  2+4–6,  –4–4+9 |     | 0  0   1 |
6) Soluzione dei sistemi lineari e "Medodo di Cramer"
Detti: v il vettore delle incognite [x, y, z]*, b = [bx, by, bz]* il vettore dei termini noti ed M la matrice dei coefficienti , il sistema lineare diventa:
v=b
che, se det(M) ≠ 0, è risolto direttamente da
v=M^(–1) ·b.
Se si esamina per bene il prodotto M^(–1) ·b, si trova la ben nota "regola di Cramer" per la soluzione dei sistemi lineari. Eccola (in due punti):
a) Si dicano Mx, My, Mz le matrici ottenute da M sostituendovi rispettivamente la 1ª colonna, la 2ª colonna, la 3ª colonna con la colonna dei termini noti b.
b) Allora le componenti del vettore soluzione sono:
x = det(Mx)/det(M); y = det(My)/det(M); z = det(Mz)/det(M).

7) Accelerare il calcolo dei determinanti. Matrici triangolari
Da come è definito il determinante di una matrice quadrata si capisce che se M è di formato n x n, allora det(M) è concettualmente la somma di n! addendi ciascuno dei quali è il prodotto di n elementi di M (scelti in modo che mai due di essi appartengano alla stessa riga o alla stessa colonna).
Al crescere di n il numero di operazioni da fare cresce sbalorditivamente ... a meno che non ci siano molti elementi nulli, i quali annullano tutti gli addendi in cui figurano come fattori (e quindi rendono inutile il calcolo di tali addendi).
Se si somma ad una linea (riga o colonna) una combinazione lineare delle altre linee parallele, pensando di sviluppare il determinante proiprio scegliendo quella linea e riflettendo sulla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, si capisce che il determinante non cambia (perché è come sommare al determinante della matrixce quelli di altre matrici "singolari", ossia con determinante nullo). Si può scegliere allora una combinazione lineare di righe (o di colonne) tale che, aggiunta ad una riga (o ad una colonna) ne porti a zero almeno un elemento pur lasciando inalterato il deterrminante. Ripetendo opportunamente un tale giochino si può trasformare la data matrice in un'altra che ha lo stesso determinante ma anche molti elementi nulli. In particolare si può arrivare ad una matrice "triangolasre" ossia con gli elememti a(r, s) nulli ogni volta che è r > s [matrice triangolare inferiore] oppure ogni volta che è r < s [matrice triangolare superiore].
Il determinante di una matrice triangolare risulta il prodotto degli elementi della diagonale principale (quella in cui sono uguali gli indici di riga e di colonna).
------------

Ci sarebbe da dire ancora ... almeno qualcosa su "autovettori, autovalori e diagonalizzazione".
Ma io mi sono stufato e quindi faccio grazia ad astromauh che già si è stufato da giorni e chissà se mai leggerà queste mie "ciance"
––––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 26-06-15 16:50.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Rispondi


Links Sponsorizzati
Geoptik

Strumenti della discussione
Modalità  di visualizzazione

Regole di scrittura
Tu non puoi inserire i messaggi
Tu non puoi rispondere ai messaggi
Tu non puoi inviare gli allegati
Tu non puoi modificare i tuoi messaggi

codice vB è Attivo
smilies è Attivo
[IMG] il codice è Attivo
Il codice HTML è Disattivato


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 20:47.


Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it