(10^n – 1)/9

[Erasmus]

Metto per titolo (10^n –1)/9 –dove n è un intero positivo– per intendere un intero rappresentato [nella solita notazione decimale] da n cifre tutte uguali a "1".
a) Dato un numero primo p diverso da 2 e da 5, quanto deve essere n per essere sicuri che l'intero (10^n – 1)/9 è divisibile per p?
b) Sei capace di dimostrare la risposta che hai dato alla domanda a)?
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P.S. [dom. 3 maggio 2015]
In seguito ad una osservazione di Lagoon (più sotto), vedo che occorrerebbe correggere
« ... un numero primo p diverso da 2 e da 5 ...»
con
« ... un numero primo p diverso da 2, da 3 e da 5 ...».

Ma lascio com'è il testo di sopra altrimenti non si capirebbero gli interventi che seguono.

[Lagoon]

n deve essere pari alle cifre del periodo della parte decimale di 1/p

[forse dovresti escludere anche il 3 oltre a 2 e 5]

[Erasmus]

Lagoon

n deve essere pari alle cifre del periodo della parte decimale di 1/p

Ma tu [ancora] non sai di quante cifre è il periodo della divisione 1 : p .
Cioè: si può rispondere giusto senza sapere di quante cifre è il periodo del decimale 1/p.
[Occhio: la domanda a) era, in pratica:
«Dato il numero primo p diverso da 2 e da 5, quante cifre deve avere un numero intero fatto di soli "UNO" per essere certi che esso è divisibile per p?»
Già nella domanda ci sono tutte le informazioni sufficienti alla risposta!
E... se rispondi giusto, vedi che la risposta va bene ancche p = 3.
Non va bene per 2 e per 5 perché non esistono numeri fatti di soli "UNO" divisibili per 2 o per 5.
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[Lagoon]

Dai consideramela mezza giusta

[maucarlino]

Erasmus

Metto per titolo (10^n –1)/9 –dove n è un intero positivo– per intendere un intero rappresentato [nella solita notazione decimale] da n cifre tutte uguali a "1".
a) Dato un numero primo p diverso da 2 e da 5, quanto deve essere n per essere sicuri che l'intero (10^n – 1)/9 è divisibile per p?

b) Sei capace di dimostrare la risposta che hai dato alla domanda a)?


–––

a) n=p-1 se p>5, n=p se p=3

[maucarlino]

Erasmus

Ma tu [ancora] non sai di quante cifre è il periodo della divisione 1 : p .
Cioè: si può rispondere giusto senza sapere di quante cifre è il periodo del decimale 1/p.
[Occhio: la domanda a) era, in pratica:
«Dato il numero primo p diverso da 2 e da 5, quante cifre deve avere un numero intero fatto di soli "UNO" per essere certi che esso è divisibile per p?»
Già nella domanda ci sono tutte le informazioni sufficienti alla risposta!
E... se rispondi giusto, vedi che la risposta va bene ancche p = 3.
Non va bene per 2 e per 5 perché non esistono numeri fatti di soli "UNO" divisibili per 2 o per 5.
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Curioso:

((10^36-1)/9)/37 = 3003003003003003003003003003003003

[Lagoon]

@Erasmus: sarebbe interessante dimostrare perchè se prendi un numero di n cifre pari a 1 con n uguale al periodo dell'inverso di un numero primo p, tale numero è divisibile per p (con p diverso da 2, 3 e 5)

[maucarlino]

maucarlino

Curioso:

((10^36-1)/9)/37 = 3003003003003003003003003003003003

Curioso pure questo:

((10^90-1)/9)/91 = 12210012210012210012210012210012210012210012210012 21001221001221001221001221001221001221

[maucarlino]

maucarlino

Curioso pure questo:

((10^90-1)/9)/91 = 12210012210012210012210012210012210012210012210012 21001221001221001221001221001221001221

Occhio che 91 non è primo...

Concludiamo con un'ultima chicca prima della nanna

((10^100-1)/9)/101 = 11001100110011001100110011001100110011001100110011 001100110011001100110011001100110011001100110011

[Erasmus]

Stavo per intervenire ... per scusarmi con Lagoon (e con tutti).
Ho detto una cosa sbagliata!

Lagoon

[...]
[Forse dovresti escludere anche il 3 oltre a 2 e 5]

Qui ha ragione Lagoon (e senza "forse" ).
Se divido per 9 un numero di n cifre tutte uguali a "NOVE" per averne uno [analogo] con n cifre tutte uguali a "UNO", quest'ultimo non rispetta più la stessa regola per tutti i numeri primi tranne 2 e 5.
[Insomma: 99 è divisibile per 3 ma 11 no!]

maucarlino

a) n=p–1 se p>5, n=p se p=3

Giusto!
Ma nelle mie intenzioni la risposta doveva essere solo n = p – 1.
Invece, questo vale per i numeri con tutte le cifre uguali a 9.
Se poi prendessimo numeri fatti della sola cifra 6, la regola andrebbe bene per ogni numero primo tranne 5 (ossia: anche per p = 2 e per p = 3).
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Per il "Piccolo Teorema di Fermat" (che è detto "piccolo" per distinguerlo dall'Ultimo Teorema di Fermat, ma non è certo "piccolo" per intendere "di poco conto"), dato un qualsiasi intero positivo a ed un qualsiasi numero primo p, risulta sempre:
a^p ≡ a (mod p) (*)
cioè: "a^p è congruo con a (modulo p)"
In altrec parole:
il resto della divisione di a^p per p è lo stesso del resto della divisione di a per p.
Per esempio: 8^5 = 32768; 32768 = 5·6553 + 3; 8 = 1·5 + 3, ossia (scrivendo con la più espressiva notazione del Pascal):
8^5 mod 5 = 8 mod 5 = 3.
Dalla (*) viene subito:
a^p – a ≡ 0 (mod p)
e quindi (raccogliendo un a) anche
a·[a^(p – 1) – 1] ≡ 0 (mod p). (**)
Se poi a NON è congruo con 0 (modulo p), allora è a^(p-1) – 1 che è congruo con 0 (moulo p).
Infine, se si prende a = 10, poiché i fattori primi di 10 sono 2 e 5, si trova che, per ogni primo p tranne 2 e 5, 10^(p – 1) – 1 – che è proprio il numero intero fatto di p – 1 cifre tutte uguali a "NOVE" – è divisibile per p.

In conclusione:
Poiché è 9 = 3^2 (ossia: 9 NON è divisibile per alcun primo tranne 3), dato il numero primo p >5, il numero intero di p–1 cifre tutte uguali a "UNO" è divisibile per p.
[NB: Giusto il rilievo di Lagoon a riguardo del numero di cifre del "periodo" del decimale 1/p.
Infatti, molto spesso il minimo numero intero fatto da cifre tutte uguali a "UNO" e divisibile per il numero primo p > 5 non ha p–1 cifre bensì molte di meno. In generale ha un numero m di cifre pari al numero di cifre del "periodo" del quoziente della divisione 1 : p , (con m che è sempre un divisore di p – 1).
Per esempio, il numero di 15 cifre tutte uguali a 1 è divisibile per 31.
111.111.111.111.111 : 31 = 3584229390681.
Infatti, la divisione 1:31 viene con un periodo di 15 cifre:
1 : 31 = 0,032258064516129032258064516129032258064...
Analogamente:
111 è divisibile per 37 (3 cifre tutte uguali a 1): 111: 37 = 3;
11111 è divisibile per 41 (5 cifre tutte uguali a 1): 11111: 41 = 271
in accordo con:
1 : 37 = 0,027027027027027027... (periodo di 3 cifre)
1 : 41 = 0,024390243902439024... (periodo di 5 cifre).
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