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Vecchio 20-05-16, 13:56   #1611
Erasmus
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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astromauh Visualizza il messaggio
Lascio questa soluzione ad Erasmus.
Erasmus è Erasmus nel web da ben 17 anni.
1° Non c'è altro Erasmus oltre ad Erasmus.
2° Non nominare il nome di Erasnmus invano.
3° ...
...
______________
Ho capito che se uno pesca un solo numero e vince (cioè pesca il numero massimo), prende 2,5 volte la "posta", cioè due volte e mezza il valore che ha pagato per giocare.
Fatta P la "posta", vince 2,5 P.
Ma siccome, come al solito, aspesi si esprime da cani, , non ho capito quanto deve pagare chi, invece di pescare un solo numero (pagando P), ne pesca n.
Se ci sono m numeri (tra cui pescare) tutti diversi (uno dall'altro) chi ne pesca n (con 1 ≤ n ≤ m) ha probabilità n/m di pescare anche il numero massimo.

Supposto – ma chissà se ho indovinato quel che intendeva aspesi– che chi gioca e pesca n numeri paghi nP e se vince riceva 2,5·P (indipendentemente da n), il gioco è iniquo non appena è
m > 2
perché, se uno continua a giocare pescando sempre n numeri a lungo andare paga nP alla giocata ed incassa mediamente (n/m)·2,5·P <nP per giocata.

Non ci vedo – sempreché abbia capito come funziona 'sto gioco – alcuna strategia, dato che il rapporto tra l'incasso medio (n/m)·2,5 P per giocata e il costo nP della singola giocata risulta 2,5/m (indipendentemente da quanto vale n).
––––
__________________
Erasmus
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Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-05-16, 14:20   #1612
astromauh
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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Erasmus Visualizza il messaggio
Sempreché abbia capito come funziona 'sto gioco
Non hai capito questo gioco.

Il concorrente deve cercare di individuare il numero più alto, senza potersi basare molto sulla grandezza di questi numeri che possono spaziare da 1 ad infinito.

Per cui ad esempio se trovi scritto su un bigliettino: "un miliardo di miliardi di miliardi" non puoi sapere se questo numero è più grande o più piccolo degli altri.

Per cui puoi solo confrontare questo numero con quelli che sono già usciti, ma non hai un criterio assoluto per capire qual è il numero più grande.

Nel gioco non ha importanza se ti fermi al primo bigliettino, o arrivi fino all'ultimo.

La posta del gioco è sempre la stessa, e il gioco termina quando dopo aver letto il numero scritto sul bigliettino scommetti che quello è il numero più grande.

Se non scommetti sul primo numero, sicuramente non scommetterai sui numeri successivi se questi sono minori dei numeri già usciti.

Però un numero successivo se è maggiore di tutti i numeri precedenti potrebbe essere il numero maggiore di tutti, e quindi conviene puntare su quel numero.

La tecnica migliore è quella di aprire uno alla volta i primi 3 bigliettini e leggere che numero contengo, e scommettere sul primo bigliettino successivo a questi 3, purché sia maggiore dei precedenti. Per cui se il quarto bigliettino contiene un numero più piccolo del numero massimo già estratto, di sicuro non lo giochi perché sei sicuro di perdere, e prendi quindi un quinto bigliettino, se nemmeno questo numero è maggiore dei precedenti allora estrai un sesto bigliettino.

Se arrivi ad estrarre anche il decimo bigliettino senza aver effettuato la tua puntata, a questo punto devi sceglierlo per forza, anche se il numero non è più alto di quelli usciti prima, per cui perdi.

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astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-05-16, 21:55   #1613
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Incredibile!

Gioco nel gioco:
prendiamo 10 persone a caso, gli facciamo leggere questo testo:

Strategia di ottimizzazione

In un sacchetto ci sono 10 biglietti.
Su ciascuno dei 10 biglietti è scritto un numero intero positivo, di cui tu non hai nessuna idea né del valore, né dell'ordine di grandezza; l'unica cosa che sai è che i numeri sono tutti diversi.

Estrai un biglietto, leggi il numero che vi è scritto sopra e hai due possibilità:
tenerlo (e in tal caso il gioco finisce e quello rimane il numero che hai scelto) o scartarlo (in questo caso non potrai più tornare indietro e sceglierlo) e allora continui ad estrarre un altro biglietto.

Alla fine si controllano i numeri di tutti i biglietti e vinci solo se hai scelto il numero più alto.

E' conveniente giocare se il premio per la vincita è 2,5 volte il costo della puntata?
E in generale, per n biglietti, quale strategia adotterai per massimizzare la probabilità di vincere?


e gli chiediamo se hanno capito il quiz (attenzione!, non se lo sanno risolvere, ma semplicemente se hanno capito come si svolge il gioco, le regole e cosa si chiede di trovare).Ebbene, scommetto che almeno nove di loro risponderebbero: "Certamente, è tutto chiarissimo, si tratta di un problema di ottimizzazione".
Perché non tutti e dieci? Perché si potrebbe incappare in ... Erasmus ...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-05-16, 02:37   #1614
Erasmus
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
[...] scommetto che almeno nove di loro risponderebbero: "Certamente, è tutto chiarissimo, si tratta di un problema di ottimizzazione".
Perché non tutti e dieci? Perché si potrebbe incappare in ... Erasmus:
Vedi come ti esprimi male?
Dici "9 su 10" ma in realtà stai ipotizzando : «almeno 9 su 10», dal momento che ipotizzi NON che si incapperà [senz'altro] in Erasmus, ma che SI POTREBBE incappare in Erasmus.
Suvvia, ragazzo: riconoscil che è un tuo difetto l'esprimerti male e prometti, da bravo scout, di tentare di emendarti!
-----------------
Mi fido di astromauh che mi rispiega con parole sue il gioco e tengo conto del fatto che, secondo te, astromauh [non essendo Erasmus] ha capito senz'altro.come funziona il tuo gioco.

Vediamo se ho capito.
Pago comunque una sola posta P sia che accetti il primo numero pescato sia che proceda scartando l'ultimo numero pescato e ne peschi un successivo.
Va meglio ora?
---------------
Mi permetto ... una piccola critica!
Che importanza ha che i numeri siano interi e positivi?
NESSUNA (dal momento che devono essere diversi uno da ciascun altro e quindi fra di essi ce n'è uno e uno solo maggiore di tutti gli altri).

[Ma chi t'ha dato la patente?!]
––––––––
Cerco una eventuale strategia.
Non so niente sui numeri, tranne che sono m e ciascuno è diversio da ciascun altro. Quindi:
• Quando pesco il primo numero ho probabilità
p1 = 1/m
di vincere: e se vinco prendo 2,5 volte la posta. Mediamente, se mi fermo al primo numero, prendo un quarto di quanto ho speso.
• Se scarto il primo numero e prendo il secondo ho probabilità 1/2 di perdere di sicuro e probabilità 1/2 che succeda come se pescassi per la prima volta non tra m numeri ma tra m–1.
La probabilità di vincere col secondo numero è
p2 = (1/2)·1/(m–1).
...
Se procedo e mi fermo poi all'n-esima pescata (con n ≤ m), siccome delle n! permutazioni degli n numeri pescati ce ne sono (n–1)! che hanno il massimo loro numero per ultimo, ho probabilità 1/n che succeda come se pescassi per la prima volta tra
m – (n – 1) numeri [invece che tra m]
[e probabilità (n-1)/n di "sballare", cioè di fermarmi con un numero minore di qualcuno già pescato e scartato).
La probabilità di vincere è
pn = (1/n)·[1/(m+1 – n)]
Nel caso m = 10 le probabilità di vincere sono
p1 = 1/(1·10) = 1/10
p2 = 1/(2·9) = 1/18
p3 = 1/(3·8) = 1/24
p4 = 1/(4·7) = 1/28
p5 = 1/(5·6) = 1/30
p6 = 1/(6·5) = 1/30
p7 = 1/(7·4) = 1/28
p8 = 1/(8·3) = 1/24
p9 = 1/(9·2) = 1/18
p10 = 1/1·10) = 1/10

Ergo: non c'è migliore strategia dell'accettare il primo (e unico) numero estratto.
Il gioco è iniquo perché, nel miglore dei comportamenti, si vince mediamente un quarto di quel che si spende.

Adesso spiegatemi dove ho sbagliato
–––
Ciao. ciao
__________________
Erasmus
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Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-05-16, 09:12   #1615
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Dici "9 su 10" ma in realtà stai ipotizzando : «almeno 9 su 10», dal momento che ipotizzi NON che si incapperà [senz'altro] in Erasmus, ma che SI POTREBBE incappare in Erasmus.
???
Leggendo quanto hai espresso e come, rivaluto la logica della "Proposta" dei Giganti

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Che importanza ha che i numeri siano interi e positivi?
Le regole del gioco le faccio io (cioè, il banco). Gli altri non devono eccepire, ma cercare la soluzione.

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Cerco una eventuale strategia.

La probabilità di vincere col secondo numero è
p2 = (1/2)·1/(m–1).
Ragazzo (si fa per dire...), se hai difficoltà di comprensione, ti consiglio di leggere gli interventi precedenti degli altri (astromauh ha già dato la soluzione, io ho confermato che è giusta e Mizarino si è complimentato con astromauh)

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio

Nel caso m = 10 le probabilità di vincere sono
p1 = 1/(1·10) = 1/10
p2 = 1/(2·9) = 1/18

Adesso spiegatemi dove ho sbagliato
–––
Ciao. ciao
Sbagliato! Concettualmente.
La probabilità di vincere sarebbe sempre 1/n se non si avesse l'opportunità (informazione) di esaminare i numeri usciti in precedenza (che via via vengono estratti) e di decidere "dopo".
La decisione di fermarsi e scegliere quel numero piuttosto che un altro, si avvale della conoscenza (per confronto) dei numeri precedentemente estratti.

Supponiamo che i numeri siano 3 (invece di 10).
Chiamiamoli A, B e C e sia A>B>C
Le estrazioni possibili sono 3!, cioè:
A - B - C
A - C - B
B - A - C .......... V
B - C - A .......... V
C - A - B .......... V
C - B - A
A caso, avresti 1/3 di probabilità di scegliere il numero più alto.
Invece, se (a priori) scarti il primo numero estratto (vedendo però il suo valore) e scegli poi quello maggiore del primo (se dovesse esserci) tra il secondo e terzo numero estratto, perderesti nei primi due casi e nell'ultimo caso e vinceresti negli altri tre, alzando la probabilità di vincere a 1/2.


Ultima modifica di aspesi : 21-05-16 09:24.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-05-16, 09:40   #1616
astromauh
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
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n/e arrotondato all'intero (per difetto o per eccesso)

1/e
Avevo ragione a voler lasciare il quiz ad Erasmus, il numero e è roba sua.

Ogni tanto spunta fuori 'sto numero e io non ho proprio idea di cosa sia, e nemmeno lo voglio sapere. Questo numero è presente anche su una mia pagina, creata in seguito ad una discussione su Rudi Matematici.


Quote:
Stasera vincerà la Juve per 0 - 1 contro il Milan.
L'avevate capito tutti che era una previsione taroccata?

Ho messo questa previsione in un post quando ho sentito i risultati della partita.

Sembra incredibile, ma ci sono veramente dei miei "colleghi" che fanno delle cose del genere. Qualche tempo fa ne avevo beccato uno. Costui aveva messo un link ad un vecchio articolo del suo blog dicendo che la previsione si era avverata. Era una previsione politica e mi pare che ci fosse di mezzo Di Pietro.

Solo che guardando nella copia cache di Google, la previsione non c'era.

L'aveva aggiunta l'astrologo DOPO che i fatti si erano verificati.

Io avevo "denunciato" la cosa sul mio blog, ma poi l'ho cancellata, per una serie di motivi che non sto a spiegarvi.



PS

@Mizarino, non è CD, è un astrologo romano.
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Ultima modifica di astromauh : 22-05-16 18:51.
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Vecchio 21-05-16, 11:25   #1617
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Non so quanto sia questa probabilità, perché non l'ho calcolata, avendo risolto il quiz con il metodo Montecarlo.

Te lo dico io

Hai 10 bigliettini, scarti il primo numero e prendi il primo degli altri nove, se c'è, che è superiore al primo:
Probabilità(1) = 28,28968254%

Questa è la distribuzione della probabilità, se scarti 0 ... 9 numeri, (%)
0 ----------> 10
1 ----------> 28,29
2 ----------> 36,58
3 ----------> 39,87
4 ----------> 39,83
5 ----------> 37,28
6 ----------> 32,74
7 ----------> 26,53
8 ----------> 18,89
9 ----------> 10

P(1) = 1/10 * (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9)




Stasera Milan - Juventus: qual è la probabilità che i Brocchi saranno Allegri?
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-05-16, 15:34   #1618
Erasmus
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Sapere che il secondo numero è maggiore del primo, aumenta la probabilità che questo numero sia il maggiore di tutti.
Sì. Se prima era 1/m, adesso è 1/(m–1) > 1/m.
Ma questa situazione ha probabilità 1/2 di capitare.
Quindi ti resta la probabilità (1/2)·[1/(m-1)] < 1/m.

Tu dici: «Se il secondo numero è minore del primo peschi un terzo numero».
E io ti dico: che questo sia maggiore di entrambi i precedenti ha probabilità 1/3.
E quindi di nuovo la probabilità di vincere è minore di 1/m
[Per esempio, per m = 10 abbiamo 1/m = 1/10 e (1/3).[1/(10–2)] = 1/24.
Insomma: voi dite che se un numero successivo è maggiorte deli ptrecedenti aumanta la probabilità che sia lui il massimo.
E io dico che è vero: ma siccome che succeda così all'n-esima estrazione ha probabilità 1/n, la probabilità di vincere all'n-esima estrazione è comunque
pn = (1/n)·[1/(m+1 – n)].
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Supponiamo che i numeri siano 3 (invece di 10).
Chiamiamoli A, B e C e sia A>B>C
Le estrazioni possibili sono 3!, cioè:
A - B - C
A - C - B
B - A - C .......... V
B - C - A .......... V
C - A - B .......... V
C - B - A
[Non mi hai detto dove è che sbaglio! ]

Che vuol dire la V a destra? Che il giocatore vince?
Ma se il numero massimo è C, se capita C–– > A ––> B il giocatore perde, mica vince!
Riesamino ciascuno dei 6 casi con la vostra strategia (che scarta a priori il primo numero.
1 A ––> B. Mi fermo perché B è maggiore di A ... ma perdo!
2 A ––> C . Mi fermo perché C è maggiore di A e vinco. OK
3 B ––> A. Proseguo perché A è minore di B e vinco. OK
4 B ––> C Mi fermo perché C è maggiore di A e vinco. OK
5 C ––> A Proseguo perché A è minore di C e perdo
6 C ––> B Proseguo perché B è minore di C e perdo.

E va beh: ci sono 3 casi su 6 in cui vinco, quindi la strategia di pescare almeno una seconda volta e, se viene un numero minore del precedente, una terza volta porta la probabilità di vincere ad 1/2 (mentre è 1/3 se accetto comunque il primo numero).

Non mi hai detto dove sbagliavo.
Credevi di avermelo detto ... perché (come al solito) ti esprimi male!
Dovevi dirmi:
«Sbagli perché esamini non il numero di volte che vinci sulle m! possibili permutazioni, ma quante volte vinci fermandiìosi all'n-esima estrazione. Invece, scartando a priori k estrazioni e ricordandone gli esiti, ci sono casi in cui ti fermi alla k+1 esima estrazione e altri alla k+h-esima, con h > 1; quindi i casi in cui vinci sono di più di quelli in cui vinceresti fermandoti alla k+1-esima estrazione»

Ecco: non ho rsolto il quiz della strategia perché aspesi si era estresso male (come al solito); ed allora si sa che astromauh, in quanto strolico, capisce lo stesso (e magari non capirebbe se aspesi si esprimesse meglio) mentre Erasmus (che è razionale ma ha poca immaginazione – disse l'Illustrissimo!) no.

Provo con 4 numeri.
... Fatto!
Se non ho commesso qualche "errore di sbaglio", allora:
• se a priori scarto [solo] il primo numero estratto, ho 9 casi su 24 in cui vinco, (p = 3/8).
• se a priori scarto sia il primo che il secondo (pesco cioè almeno tre volte) ho 10 casi su 24 in cui vinco (p = 5/12).
• se tengo il primo o ne scarto 3 vinco n 4 casi su 24 (p = 1/6).

@ aspesi
Ho fatto i conti giusti nel caso di 4 numeri (per esempio A < B < C < D) ?
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Ultima modifica di Erasmus : 21-05-16 15:43.
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Vecchio 21-05-16, 17:02   #1619
aspesi
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Eh, no, non ci casco.
E' l'alibi della maggior parte di coloro che non riescono a risolvere un problema (me ne servo talvolta anch'io ): quello di dire che è spiegato male, non si capisce, è di dubbia interpretazione...
Quello di esprimermi male non sarà mai un mio complesso : penserò sempre che è il mio interlocutore ad avere carenze di intuito.

Quote:
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Ma se il numero massimo è C,
Sei incredibile!
Stravolgi anche quello che uno scrive.
Perché mai supponi che il numero massimo possa essere C se avevo premesso:
Quote:
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Supponiamo che i numeri siano 3 (invece di 10).
Chiamiamoli A, B e C e sia A>B>C
Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Provo con 4 numeri.
... Fatto!

Ho fatto i conti giusti nel caso di 4 numeri (per esempio A < B < C < D) ?
––––––
No.
Con 4 numeri i casi possibili sono 24.
Scegliendo il primo la probabilità di vincere (cioè che sia il numero massimo) è ovviamente 1/4.
Scartando la prima estrazione, la probabilità diventa 11/24
Scartando i primi due numeri, la probabilità è 5/12
Scartando tre numeri (e quindi scegliendo il quarto), si ritorna a 1/4.

----------------

Hai guardato qui?
Quote:
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Te lo dico io

Hai 10 bigliettini, scarti il primo numero e prendi il primo degli altri nove, se c'è, che è superiore al primo:
Probabilità(1) = 28,28968254%

P(1) = 1/10 * (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9)
Possibile che non scopri qual è il numero di bigliettini da scartare per massimizzare la probabilità nel caso si abbiano n biglietti totali?
E qual è la probabilità di scegliere il numero più alto con nel sacchetto n numeri tendente all'infinito?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 22-05-16, 09:06   #1620
astromauh
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Stasera vincerà la Juve per 0 - 1 contro il Milan.
Non ha notato nessuno la mia previsione?

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