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Vecchio 19-04-15, 16:28   #21
Erasmus
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Predefinito Re: Otto Regine d'oro

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[...] Ecco una soluzione C2,
mentre qui ci sono tre soluzioni C4, rispettivamente per una scacchiera 5x5, una 12x12 e una 13x13.
Ma che vuol dire "C2 simmetriche" e "C4 simmetriche"?
--------
Nella scacchiera 8 x 8 (che dici essere "C2 simmetrica" ... ed io non capisco che vuol dire), perché 4 regine sono rosa e quattro bianche?
E ancora: perché nella scacchiera 5 x 5 (che dici "C4 simmetrica", ed io ecc., ecc.) quattro sono bianche e quella in centro è rosa?
In una scacchiera n x n, non devono esserci n regine nessuna delle quali minaccia un'altra?
Che senso ha allora usare due colori (invece di uno solo o di n)?
----------
Curiosità. Nella scacchiera 8 x 8 le otto regine sembrano stare sul perimetro di un rettangolo... ma invece no, non è nemmeno un parallelogramma. I due lati "lunghi" non sono rettilinei.
[Insomma: ci sono due volte tre cerchietti allineati, e questi appaiono su lati opposti.
Negli altri due lati i tre cerchietti non sono esattamente allineati]
–––
__________________
Erasmus
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Vecchio 19-04-15, 16:49   #22
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Predefinito Re: Otto Regine d'oro

Quote:
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Ma che vuol dire "C2 simmetriche" e "C4 simmetriche"?
C2 vuol dire asse binario di simmetria (perpendicolare alla scacchiera).
C4 vuol dire asse di simmetria di ordine 4.
C4-simmetrica vuol dire che se ruoti l'insieme di regine di 90° (prescindendo dal colore delle regine e delle caselle) la nuova disposizione è indistinguibile dalla precedente.
Quote:
Nella scacchiera 8 x 8 (che dici essere "C2 simmetrica" ... ed io non capisco che vuol dire), perché 4 regine sono rosa e quattro bianche?
Il colore delle regine è un accessorio non necessario e non rilevante per il problema, che in effetti può causare perplessità e/o confusione. Sono bianche le regine poste sulle caselle nere, e rosa quelle poste sulle caselle verdi. Nulla di più. Non ricordo perché avevo scelto di disegnarle così, ma può avere senso per evidenziare maggiormente le caratteristiche di simmetria della disposizione.
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Vecchio 19-04-15, 20:37   #23
Erasmus
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Predefinito Re: Otto Regine d'oro

Oops!
Non avevo notato l'URL delle scacchiere (cioè che le avevi disegnate tu).
Bravo: sai disegnare perfino a colori.
------------
Ok. Adesso ho capito cosa voglion dire le tue C2 e C4.

E allora ... perdona la mia pignoleria!

C2, che è una rotazione di π rad attorno all'asse della scacchiera, è una vera "simmetria".
C4, che è una rotazione di π/2 rad attorno all'asse della scacchiera, non è una simmetria.
In generale, una "simmetria" è una trasformazione su un oggetto che, ripetuta sul trasformato, ripristina l'oggetto.
Ossia, detta S una qualsiasi "simmetria" e detta I l'identità, deve essere S·S = S^2 = I.
Per la tua C4, invece, non risulta C4^2 = I (e invece C4^4 = I).
Nel solito piano cartesiano, associando il numero complesso z = x + jy (dove j è l'unità immaginaria) al punto di ascissa x e ordinata y, la tua C2 – cioè la rotazione di π rad attorno all'origine O(0,0) – è semplicemente la moltiplicazione per –1. Si tratta effettivamente di "simmetria" dato che
(–1)·[(–1)·z] = 1·z = z.
Invece la tua C4 – rotazione di π/2 rad – è la moltiplicazione per l'unità immaginaria j. Ed infatti j^4 = 1.
Ovviamente, una (eventuale) tua Cn – rotazione di 1/n di angolo giro – sarebbe la moltiplicazione per
e^(j2π/n) = cos(2π/n) + j sin(2π/n).
––––

---------
P.S.
Ho editato per correggere.
Avevo scritto "tastiere" al posto di "scacchiere"
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Ultima modifica di Erasmus : 22-04-15 17:28.
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Vecchio 20-04-15, 06:50   #24
Mizarino
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Predefinito Re: Otto Regine d'oro

Quote:
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C4, che è una rotazione di π/2 rad attorno all'asse della scacchiera, non è una simmetria.
Non dire stupidaggini, e non invocare i numeri complessi, che evidentemente ti sono stati in questo caso forniti dall'UCAS...
Si ha una simmetria C4 se, per rotazione di 90° attorno ad un asse, la nuova vista dell'oggetto diventa indistinguibile da quella originaria. Questo lo capisce anche un bambino che ignora l'esistenza dei numeri complessi.
Ora, prendi la scacchiera 5x5. Sia la disposizione delle regine a scacchiera ferma, sia la scacchiera con le regine in toto, se ruotate di 90° (una, due o tre volte) diventano indistinguibili dal loro assetto iniziale. L'oggetto possiede un asse di simmetria C4. Non solo. Considerando l'oggetto planare con regine circolari, verrebbe assegnato al gruppo puntuale di simmetria C4h, mentre considerandolo una scacchiera di spessore finito, con regine cilindriche appoggiate sopra, il gruppo sarebbe C4.

Consideriamo questo secondo caso, così da avere il minimo numero di operazioni di simmetria possibili.
Abbiamo la seguente "tavola di moltiplicazione delle operazioni":
Codice:
              I         C4        C4^3       C2

I             I         C4        C4^3       C2

C4          C4       C2        I             C4^3

C4^3     C4^3    I          C2           C4

C2         C2       C4^3    C4            I

Ultima modifica di Mizarino : 20-04-15 07:23.
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Vecchio 20-04-15, 17:05   #25
Erasmus
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Predefinito Re: Otto Regine d'oro

Quote:
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Non dire stupidaggini, e non invocare i numeri complessi, che evidentemente ti sono stati in questo caso forniti dall'UCAS...
Tu piuttosto non t'incazzare, specie quando – rarissimamente, OK – HAI TORTO!

Avevo premesso "Perdonami la pignoleria".
Dunque la mia obiezione era sulla precisa accezione della parola "simmetria".
Constato ora che quella mia pignoleria era opportuna!

a) Non ho detto "stupidaggini".
b) Non ho "invocato" i numeri complessi. Semmai li ho "evocati" per usarli in questo caso (rotazione) in cui – secondo me – il loro impiego è semplice, ELEGANTE e APPROPRIATO.

[Se no ... a cosa serve il cosiddetto "Piano di Gauß"?]

In effetti, ben lontano dal "complicare cose semplici", l'impiego dei numeri complessi nel parlare di rotazioni nel piano SEMPLIFICA i discorsi, dato che riconduce l'operazione "rotazione di vettori" al prodotto tra scalari (recuperando, tra l'altro, la proprietà commutativa che invece non c'è nel calcolo matriciale e, nel caso delle rotazioni, nrvessita del passaggio dalle date matrici alle loro trasposte], con la sola avvertenza che il quadrato dell'unità immaginaria j vale –1.
–––––––––––
Ribadisco:
«Simmetria è una trasformazione su un oggetto tale che, se ripetuta sul trasformato, restituisce l'oggetto di partenza».

Mi rendo conto che non sei certo l'unico che usa la voce "simmetria" con quell'errata accezione (di invarianza rispetto alla rotazione di un n-esimo di angolo giro).
Resto però dell'idea che conviene usare parole distinte per concetti distinti (more cartesiano).
E su questo è inutile discutere oltre.

Ci sono figure geometriche che certe trasformazioni lasciano invariate.
Sono "figure simmetriche" quelle "lasciate invariate" da una trasformazione di "simmetria".
[L'espressione "lasciare invariato" [l'oggetto trasformato] non è mia: l'ho ripresa da un autore di testi di matematica ... molto autrorevole !].

Non conviene parlare di "simmetria" (bensì usare altre parole) per indicare altre forme geometriche "lasciate invariate" da altre trasformazioni.
Ripeto: Considero inutile discutere ulteriormente su ciò!
––––––
Mettiamoci nel piano euclideo.
"Isomtetria" è qualsiasi trasformazione del piano in sé che conserva le distanze tra i punti del piano.
Le isometrie nel piano sono dei seguenti tre tipi (distinti):
a) Traslazione; b) Rotazione; c) Simmetria assiale ortogonale.
[Nel tipo c) esiste una retta "asse di simmetria" e la trasformazione del punto P nel simmetrico P' consiste nello spastarsi da P verso l'asse perpendicolarmente ad esso ed oltrepassarlo della stessa sua distanza da P. Ovviamente, i punti dell'asse sono tutti "punti uniti", ossia coincidenti con i loro rispettivi "simmetrici"].

Stando alla definizione generale di "simmetria", la rotazione di un punto P di π rad attorno ad un punto fisso O è una simmetria perché la sua ripetizione sul punto "ruotato" P' lo riporta sul punto di partenza P. Questa simmetria è detta "Simmetria centrale di centro O". L'unico "punto unito" in ogni rotazione è il "centro di rotazione".

Porta pazienza, Miza, se ritorno sull'isometria piana "rotazione".

NB. Per comodità di scrittura, scriverò un vettore bidimensionale come matrice-riga (cioè di formato 1 x 2) anziché come matrice-colonna (cioè di formato 2 x 1). Pertanto, scriverò la trasposta della consueta matrice quadrata (che, in generale, se non è degenere rappresenta una "affinità"); e nella trasformazione di un vettore la matrice quadrata seguirà il vettore-riga invece di precedere il vettore-colonna.

Non vedo affatto complicazioni nel precisare cosa si intende per "rotazione centrale" nel piano cartesiano di ascisse x e ordinate y.
La rotazione del vettorev= [x, y] dell'angolo φ (in verso antiorario rispetto all'origine O[0, 0]) è ottenuta con la matrice:
Codice:
           |   cos(φ)    sin(φ) |
R(φ) = |                          |.
           | – sin(φ)   cos(φ) |
v' = [x', y'] = v·R(φ) = [x·cos(φ) – y·sin(φ), x·sin(φ) + y·cos(φ)].

Se si associa ad ogni vettore v = [x, y] il numero complesso z = x + jy (dove j è l'unità immaginaria), questa stessa rotazione si ottiene moltiplicando z per il numero complesso
e^(jφ) = cos(φ) + jsin(φ).
Infatti:
z' = [cos(φ) + jsin(φ)]·(x + jy) = x·cos(φ) + x·jsin(φ) +jy·cos(φ) + jy·jsin(φ) =
= x·cos(φ) – y·sin(φ) + j[x·sin(φ) +y·cos(φ)] = [x' + jy'].

Vedi allora quanto SEMPLICE (e stringato!) è l'uso del fattore j (unità immaginaria) per indicare la rotazione di π/2 rad [e come il fatto che quattro di queste rotazioni di seguito producano l'identità è ben espresso da j^4 = 1 (anziché da [R(π/2]^4 = R(2π) = I (matrice identità)].
Quote:
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Si ha una simmetria C4 se, per rotazione di 90° attorno ad un asse, la nuova vista dell'oggetto diventa indistinguibile da quella originaria.
Perché mi vuoi insegnare quello che sai bene che io conosco già?
Quote:
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Questo lo capisce anche un bambino che ignora l'esistenza dei numeri complessi.
Non fare il sofista!
Lo so che sei bravissimo anche in quest'arte!
La mia obiezione "pignolesca" riguarda il vocabolario (improprio) che tu insisti nell'usare, non i concetti.
Ripeto: conviene usare parole distinte per concetti distinti (more cartesiano). O no?
Quote:
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Consideriamo questo secondo caso, così da avere il minimo numero di operazioni di simmetria possibili.
Abbiamo la seguente "tavola di moltiplicazione delle operazioni":
Codice:
              I         C4        C4^3       C2

I             I         C4        C4^3       C2

C4          C4       C2        I             C4^3

C4^3     C4^3    I          C2           C4

C2         C2       C4^3    C4            I
Bella la tavola, .. ma C4 è una rotazione e non una simmetria!

Visto che io non ho autorevolezza e le mie precisazioni per te sono stupidaggini, spero che almeno troverai autorevole Lucio Lombardo Radice (che come matematico non è il top, ma come innovatore della didattica della matematica ha avuto un gradissimo merito riconosciuto universalmente).
[Sono andato a cercare apposta i suoi testi, (adottati a Verona da me per primo in senso assoluto nell'a. s. 1975/76, divenuti poi – nei due decenni successivi – "comunissimi") intitolati "Il Metodo Matematico".
Ti mostro una mezza "pagina 4" e la "pagina 5" del Volume 2, capitolo 1 «Gruppi, Semigruppi, Gruppi Ciclici»].
Guàrdatele per bene, Miza, queste due figure!

E diffida, qualche volta, del barbaro inglese dove troppo spesso non è rispettato il principio "parole distinte per concetti distinti".
[Già altre volte avevamo rilevato un po' di confusione nel linguaggio della statistica, ti ricordi?]
{V., per esempio, l'abuso della parola "sequence" ... per non parlare di "sentence" [che può significare "verdetto", ("sentenza" di un tribunale) ma anche semplicemente "frase", "proposizione"], di "issue" [che può voler dire tutto e di più a seconda del contesto] o di "get" [che io tradurrei col generico "cosare"]
–––
Ciao, ciao.

P. S.
Editato per aggiustare un link scritto male.
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Ultima modifica di Erasmus : 22-04-15 17:51.
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Vecchio 20-04-15, 17:35   #26
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Bella la tavola, .. ma C4 è una rotazione e non una simmetria!
C4 non è "una simmetria".
C4 è tre cose diverse:
1) Un asse di simmetria di ordine 4.
2) Una operazione di simmetria, che lascia indistinguibile l'oggetto dopo una rotazione di 90°.
3) La sigla identificatrice (*) del gruppo di simmetria che ha per operazioni quelle indicate nella tavola di moltiplicazione che ho postato sopra.

Se Lombardo Radice non è d'accordo su questa notazione, io me ne sbatto.
I matematici son bravi a fare i discorsi astratti, ma poi magari fanno fatica a vedere quali sono gli elementi di simmetria in un antiprisma quadrato...

... E adesso mi dirai che "antiprisma quadrato" non è un termine del linguaggio geometrico corretto...

P.S. (*) Nella notazione di Schoenflies.

Ultima modifica di Mizarino : 20-04-15 18:19.
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Vecchio 21-04-15, 01:45   #27
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Zero ...
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[...] In generale, una "simmetria" è una trasformazione su un oggetto che, ripetuta sul trasformato, ripristina l'oggetto. Ossia, detta S una qualsiasi "simmetria" e detta I l'identità, deve essere S·S = S^2 = I.
uno ...
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C4, che è una rotazione di π/2 rad attorno all'asse della scacchiera, non è una simmetria.
Non dire stupidaggini [...]
Si ha una simmetria C4 se, per rotazione di 90° attorno ad un asse, la nuova vista dell'oggetto diventa indistinguibile da quella originaria.
due...
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[...] Consideriamo questo secondo caso, così da avere il minimo numero di operazioni di simmetria possibili.
Abbiamo la seguente "tavola di moltiplicazione delle operazioni":
Codice:
              I         C4        C4^3       C2

I             I         C4        C4^3       C2

C4          C4       C2        I             C4^3

C4^3     C4^3    I          C2           C4

C2         C2       C4^3    C4            I
Bella la tavola, .. ma C4 è una rotazione e non una simmetria!
e tre!
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Bella la tavola, .. ma C4 è una rotazione e non una simmetria!
C4 non è "una simmetria".
Che potrei dirti? Mettiti d'accordo con te stesso!
Comunque, come si dice: «Carta canta e villan dorme!»
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C4 è tre cose diverse:
1) Un asse di simmetria di ordine 4.
2) Una operazione di simmetria, che lascia indistinguibile l'oggetto dopo una rotazione di 90°.
3) La sigla identificatrice (*) del gruppo di simmetria che ha per operazioni quelle indicate nella tavola di moltiplicazione che ho postato sopra.
(*) Nella notazione di Schoenflies
[NB. Ho aggiunto io il colore "blu" alla parola "simmetria" (quando usata – secondo me – in un significato improproio)]
Ancora "come si dice": «Errare humanum est, perseverare diabolicum (seu alienum!
========================================
Quote:
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Se Lombardo Radice non è d'accordo su questa notazione, io me ne sbatto.
Di questo ero certo ancor prima di risponderti!
Caro Miza ... ormai ci conosciamo da più di 6 anni.
Tu sei capace di autocritica, una volta mi hai detto "Tu mi sopravvaluti ...".
Quel che non accetti è che sia un altro a criticare qualche tua affermazioni, ma non tanto a riguardo del contenuto quanto proprio della forma con cui ti esprimi.

[Ricordo in particolare due ... "polemiche" tra me e te [in cui ci sono rimasto molto male ]: a) [A proposito del sembrare la luna – già alta in cielo – "voltata verso l'alto" anche al tramonto, pur essendo i raggi del sole "orizzontali"] il tuo rifiuto categorico di ammettere di aver usato in modo piuttosto confuso la voce "terminatore" (com me che ancora non sapevo che significasse!); b) [a proposito del moto della Luna rispetto alla Terra] il non voler ammettere che, parlando di "rotazione della Terra", oppure di "rotazione della Luna", è superfluo (se non addirittura sbagliato in un contesto in cui si parla pure del "moto di rivoluzione") aggiungere "su sé stessa, dato che l'asse di rotazione, in quanto luogo dei punti "fermi" dipende dal riferimento (anche quando questo è inerziale). E mi dicevo: ma guarda che capa-tosta!
=======================
Che tu replichi o no, (e, se replichi, qualsiasi cosa mi dca), su questo argomento io non interverrò più.
Ciao, ciao

–––
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Vecchio 21-04-15, 06:29   #28
Mizarino
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http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry

http://en.wikipedia.org/wiki/Rotational_symmetry

http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetr... le_of_Man.svg

Ultima modifica di Mizarino : 21-04-15 08:52.
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