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Vecchio 05-12-17, 16:44   #1161
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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nino280 Visualizza il messaggio
Ma ora si vede subito che:
m = h2
n = h2
perché derivano da rette tangenti alla circonferenza.[...]
Non va bene! Dici tutte cose vere, ma qualcuna è conseguenza di qualcosa che ancora non hai detto!
Hai detto che congiungevi E (punto medio di CD) con K (punto di tangenza delle due date circonferenze). Adesso dai per scontato che EK è pure tangente. E' vero: ma da quello che hai detto fino ad ora non si può ancora sapere.

[Ma perché hai stravolto tutti i simboli?
Hai cambiato nome ai punti ... e non solo ai punti.
Ti costava troppo usare i simboli del testo del quiz?
In questo modo si fa una fatica boia a vedere ... "se dici giusto o se dici sciocco"!].

NB: Se si parte, come dice il testo del quiz, avendo già il punto medio del segmento i cui estremi sono i punti di tangenza, Talete va benissimo!
Invece il secondo tuo approccio ha una lacuna logica (dà cioè per vera una proprietà senza averla dimostrata).

Prova a sfruttare meglio la retta tangente alle due circonferenze nel punto in cui esse si toccano!
Allora arrivi al processo logico che ho fatto io per cucinare quesrto quiz!

La dimostrazione di Lagoon è ineccepibile per logica: ma si può trovarne un'altra che non passare per le aree dei tre triangoli in cui lagoon ha scomposto il trapezio rettangolo ACED..

@ nino290, aspesi & Lagoon
[Occhio, nino280! Riprendo ad usare i simbioli del testo del quiz!]

a) [Primo modo]
Calcoliamo la lunghezza del segmento DE.
Dalla figura abbiamo subito AD = p e CE = q; e quindi:
DE^2 = (p+q)^2 – (pq)^2 = 4pqDE =2√(pq),
E siccome M è il punto medio di DE abbiamo:
DM = ME = √(pq).
Infne, sfruttando queste ultime uguaglianze e ... pitagoreggiando un po', si trova:
AM^2 + MC^2 = (p^2 + pq) + (pq + q^2) = (p+q)^2 = AC^2.
Dunque, nel triangolo ACM la somma dei quadrati dei due lati AM e MC uguaglia il quadrato del terzo lato AC.
[Donde la conclusione!]

b) [Secondo modo]

Ignoriamo per un attimo la presenza del punto medio Mdi DE.
Sia P l'interzezione con DE della perpendicolare ad AC in B. Siccome risulta DP= PB e PB = PE, ne seguei:
DP=PE.
Dunque P è il punto medio di DE, coincidente col punto che avevamo chiamato M.
In altre parole la perpendicolare ad AC per il punto medio M di DE passa per B, e quindi MB = DM.
Tracciamo per M la perpendicolare a DE: essa [per il Teorema di Talete ed essendo DM = ME] interseca AC in un punto N tale che AN = NC e quindi:
AN = NC = (p+q)/2.
Sempre per colpa di Talete abbiamo anche MN = (p+q)/2.
Ma allora anche NB = ABAN = p-(p+q)/2 = (p-q)/2.
E infine (con Pitagora):
MB^2 = MN^2 –NB^2 = (p + q)/2]^2 – [(p – q)/2]^2 = pq.
Pertanto MB/AB = √(pq)/p = √(q/p) = q/√(pq) = BC/MB.
Siccome ad aspoesi piacciono moltissimo le funzioni trigonometriche, gli faccio notare che il primo di questi rapporti, cioè:
MB/AB
è la tangente dell'angolo BAM; e l'ultimo rapporto (uguale al primo) , cioè
BC/MB
è la tangente dell'angolo BMC che è complementare dell'angolo BCM.
Dunque, nel triangolo ACM sono complementari gli angoli di vertici rispettivi A e C e quindi è retto il terzo angolo di vertice M.
Senza funzioni trigonometriche, essendo MB perpendicolare ad AC ini B, l'uguaglianza
MB/AB =BC/MBMB^2 = AB·BC
ci richiama alla mente un terema di Euclide dal quale si deduce che nel triangolo ACM l'angolo di vertice M è retto.
–––
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Vecchio 05-12-17, 17:24   #1162
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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[Ma perché hai stravolto tutti i simboli?
Hai cambiato nome ai punti ... e non solo ai punti.
Ti costava troppo usare i simboli del testo del quiz?
In questo modo si fa una fatica boia a vedere ... "se dici giusto o se dici sciocco"!].

In verità non sono io che stravolgo nomi e simboli.
Quando disegno tutta la nomenclatura mi viene imposta diciamo d'ufficio dal sistema (si direbbe quasi di default) certamente ho poi la possibilità di cliccare su quello che lui mi ha imposto e rinominarlo. Ma non sempre lo faccio, pigrizia? Be forse si.
Per i punti e i segmenti lui parte da a e va fino a z lettere maiuscole per i punti. Noterete che ci sono segmenti con indice tipo f1, k1 il motivo e che evidentemente ho disegnato tutti i segmenti fino alla z, dopo di che lui ricomincia da capo con a1, b1, ecc.
Ciao
Credo che quando il sistema mi etichetta i segmenti esclude le lettere x y z che si riserva per gli assi cartesiani.

Ultima modifica di nino280 : 06-12-17 17:08.
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Vecchio 05-12-17, 17:51   #1163
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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Non va bene! Dici tutte cose vere, ma qualcuna è conseguenza di qualcosa che ancora non hai detto!
Hai detto che congiungevi E (punto medio di CD) con K (punto di tangenza delle due date circonferenze). Adesso dai per scontato che EK è pure tangente. E' vero: ma da quello che hai detto fino ad ora non si può ancora sapere.

Non che non ci abbia pensato a questa cosa.
Condizione necessaria e sufficiente affinché il segmento che io ho chiamato con h2 sia tangente alle due circonferenze e che sia anche"normale" all'ascissa ( visto che disegno sempre su assi cartesiani). Mentre disegnavo il dubbio mi rimaneva latente.
Ecco perché di norma alla fine dei conti faccio una verifica e questa volta era quella di sommare i due semi angoli che mi doveva dare 90°. Dopo di che aspettandomi 90 e lui mi da 90 io lascio perdere ed il dubbio che mi portavo dietro sparisce.
Comunque quello dici è da considerare.
Ho già in mente di fare un disegnino partendo al contrario.
Traccio prima la tangente poi i cerchi e vado avanti cioè all'indietro come i gamberi o un film alla rovescio.
Vediamo cosa ne viene fuori. Subito su due piedi posso anticipare che se traccio una retta e su questa retta ci sistemo due circonferenze anche di raggio diverse la tangente alle due circonferenze non può non essere normale alla nostra retta, ma questo è persino banale.
Ciao
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Vecchio 05-12-17, 19:26   #1164
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Allora ho rifatto tutto il disegno diciamo alla gambero e cercando anche di rispettare gli indici di Erasmus.
Ho ragionato per Absurdum come ha fatto Euclide per il più grande dei numeri primi, non so se si dice così, ma fa lo stesso.
Ho immaginato che l'assunto del fatto che l'angolo in M sia 90°sia vero.
Ma è meglio che metta il disegno se no nemmeno io so di cosa sto parlando:
https://s17.postimg.org/akus7gsgf/Absurdum.png



e sono partito da un unico cerchio centrale.
Ho messo un punto a piacere su questa circonferenza c di nome M
Dal centro circonferenza traccio un segmento G M e da M la normale al raggio G M
Congiungevo A con M e C con M
Da A e da C traccio due parallele a GM fino ad incontrare la retta D E ( in verità se parlo di retta nel disegno è perché è nel sottofondo, nascosta.
Ma io in verità ho adoperato un'altra funzione ed è quella che dai punti A e C traccio le perpendicolari a D E ma è poi la stessa cosa.
Ma ora non c'è più bisogno che mi dilungo a spiegare passo passo.
Sono arrivato alla fine al disegno cioè alla tesi iniziale, le ultime entità che ho tracciato sono le due circonferenze, la grande e la piccola che si baciavano nel punto B e in più D M = M E è venuto da solo senza che io lo forzassi.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 07-12-17 21:24.
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Vecchio 06-12-17, 12:46   #1165
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Allora concludo, anzi non concludo perché magari c'è ancora da dire su questo quiz, diciamo mi faccio un bel corollario.
Date due circonferenze ( anche di raggio diverso) tracciata la tangente alle due circonferenze, il punto medio del segmento che unisce la tangente con le circonferenze stacca 4 segmenti uguali appunto fra il punto medio e i punti di intersezione o contatto. Naturalmente le tangenti è chiaro che diventano poi 4 che poi diventano 3 perché due sono coincidenti.
Ma scopro che due segmenti stanno sulla stessa retta e sono anche uguali perché altrimenti il punto medio non sarebbe il punto medio.
Gli altri due segmenti oltre a essere uguali sono anche coincidenti, allora il corollario appena enunciato è già da cambiare perché i segmenti sono 3 e non 4.
Di più questo segmento diciamo comune, è anche normale alla retta che unisce meglio dire al segmento che i unisce i centri delle circonferenze. ( C'è sempre questo dualismo retta - segmento).
I tornitori questo segmento lo chiamano "Interasse" non me lo devo mai scordare che io sono un tornitore.
Ciao
Dimenticavo il terzo segmento oltre a essere uguale, coincidente, normale all'interasse, passa pure per il punto di contatto delle circonferenze. Ma questo era evidente, non c'era bisogno di scriverlo dopo la quantità industriale di disegni che ho già postato.

Ultima modifica di nino280 : 06-12-17 13:13.
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Vecchio 07-12-17, 17:39   #1166
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Lo dicevo che non era finita.
Fra una partita di tennis e l'altra, tornato a casa ricomincio a disegnare e postare.
Si stava parlando di una tangente a due circonferenze e io avevo fatto un disegno in proposito, anzi + di uno.
Non sapendo di cosa parlare, mi metto a fare della trigonometria elementarissima:
che angolo ha la nostra tangente?
Allora ecco il solito disegnino:
https://s8.postimg.org/q0frntnc5/Tangente_Tangente.png



Prolungo il segmento k1 e da C faccio partire una parallela ad AB (l'ascissa) che è ancora il nostro vecchio interasse.
Questi si incrociano nel punto L
E vado a rilevare l'angolo quella specie di n che io non so chiamare in greco = 14,47751°
Intanto che ci sono rilevo anche i supplementari e complementari che circolano nei d'intorni.
Per assurdo, avrei potuto rilevare l'inclinazione della tangente ancor prima di averla tracciata. Perché? Perché se osserviamo il triangolo I E K che mi ero servito per la costruzione, è fortemente simile al triangolo che ho ora tracciato D C L
Ma di tanto in tanto mi cimento anche a fare qualche conticino anche io.
Trovo che il segmenti n1 = 4 (sarebbe poi la differenza dei raggi delle due circonferenze, cioè 10 - 6 = 4)
L'ipotenusa C L è il nostro vecchio interasse cioè 16
allora l'arcoseno = 4/16 = 0,25 = 14,47751°
Ma anche se parto dal triangolo I E K ottengo:
I K = 2 ; I E = 8
Arcoseno = 2/8 = 0,25 = 14, . . . °
Allora non è fortemente simile, è simile.
Ciao
P.S. Non sono riuscito a farmi restituire l'angolo del triangolo piccolo I E K , ma mi ha dato il supplementare. Poco importa perché 180 - 165,52249° = 14,47751.
Questo messaggio ho dovuto scriverlo per tre volte perché avevo problemi con il forum, e si sa che la seconda o la terza versione non è mai bella come la prima.

Ultima modifica di nino280 : 07-12-17 21:29.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 03-02-18, 23:26   #1167
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Un quiz di algebra molto facile che mi pare "simpatico".

Risolvere le seguenti due equazioni di 3° grado sapendo che esse hanno una soluzione in comune:
a) x^3 - 133x + 468 = 0;
b) x^3 – 127v + 546 = 0.

–––––––
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Erasmus
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Vecchio 04-02-18, 13:38   #1168
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
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Un quiz di algebra molto facile che mi pare "simpatico".

Risolvere le seguenti due equazioni di 3° grado sapendo che esse hanno una soluzione in comune:
a) x^3 - 133x + 468 = 0;
b) x^3 – 127v + 546 = 0.

–––––––
a) +4 ; +9 ; -13

b) +6 ; +7 ; -13

Che tristezza... tornare bambini (per le nozioni che servono), ma purtroppo SOLO con i tuoi quiz

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-02-18, 15:37   #1169
Lagoon
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Bravi Nino, mi hai preceduto.

Comunque, dalla condizione del quiz:

x^3-133x+468=x^3-127x+546

x1=-78/6=-13

La prima equazione diventa quindi: (x+13)(x^2-13x+36)=0
Mentre la seconda: (x+13)(x^2-13x+42)=0

Lagoon non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-02-18, 20:42   #1170
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
a) +4 ; +9 ; -13
b) +6 ; +7 ; -13
Non dici se hai sfruttato o no il fatto che si sa che una soluzione è comune.
Mi aspettavo che avresti messa per prima la soluzione comune x = – 13.
Infatti, se penso che x sia la soluzione comune, ossia lo stersso numero in entrambe le equazioni, allora x è soluzione anche della differenza membro a membro cioè:
Codice:
 – x^3 + 133x – 468 = 0
+ x^3  – 127x + 546 = 0
––––––––––––––––––––––
    0     +   6x  +  78 = 0  ––> x = –78/6 = – 13.
[Così penso che abbia fatto Lagoon]
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Che tristezza... tornare bambini [...]
Questa non l'ho capita.
Le nozioni implicate nel quiz si studiano al secondo anno delle "supoeriori".
Anche ai miei tempi. Infatti le equazioni di grado suoeriore al 1° si iniziava a studiarle (come concetti generali) in 5ª Ginnasio ... e jn quell'anno ci si soffermava poi nello studio completo delle equazioni di 2° grado e dei sistemi di equazioni di secondo grado.
Un programma analogo (in merito all'algebra) c'era in 2ª liceo scientifico quando insegnavo io matematica in 1ª e 2ª liceo scientifico (un solo annio scolastico: 1983/'84).
Giovincelli gi allievi a questo livello di studi (sui 15/16 anni) , ma no proprio bambini.
–––
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
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