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Vecchio 10-09-13, 22:07   #1
Erasmus
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Predefinito Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

Dimostrare che, se x, y e z sono tre numeri reali positivi e x + y + z = π/2, allora
[tan(x) + tan(y) + tan(z)]^2 ≥ 3.


Converto il quiz in forma geometrica per far piacere a Nino280.
Detti α, β e γ gli angoli interni di un triangolo qualsiasi, dimostrare che
[tan(α/2) + tan(β/2) + tan(γ/2)]^2 ≥ 3.

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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 11-09-13 01:09.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 10-09-13, 22:15   #2
aspesi
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Predefinito Re: Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Detti α, β e γ gli angoli interni di un triangolo qualsiasi, dimostrare che
[tan(α/2) + tan(β/2) + tan(γ/2)]^2 ≥ 3.

--------
Viene esattamente = 3 per il triangolo equilatero

aspesi non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 12-09-13, 09:40   #3
Ivan86
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Predefinito Re: Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

No, non facile Erasmus, ho fatto qualche tentativo ma sembra debba sfruttare una qualche relazione per venirne a capo, come per dire se A > B ed B > C allora A > C.

Per ora posso dirti che da questa: x + y + z = π/2

possibile riscrivendola come: tan(x + y) = tan(π/2 - Z)

ad arrivare ad affermare che vale la relazione:

tan(x) x tan(y) x tan(z) = tan(x) + tan(y) + tan(z)

Poi mi sono detto, attenzione che se io calcolo la tangente di:

tan(x + y + z ) allora calcolo la tan(π/2) che vale infinito !

Ma la tangente di una somma di tre angoli pu essere scritta come:

tan(x + y + z ) = [ tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x) x tan(y) x tan(z) ] / [1 - tan(x) x tan(y) - tan(x) x tan(z) - tan(y) x tan(z) ]

Quindi se questa roba dopo l'uguale vale infinito, significa che il denominatore vale 0 !

Quindi ho trovato anche questa espressione:
tan(x) x tan(y) + tan(x) x tan(z) + tan(y) x tan(z) = 1

Quindi in pratica sono riuscito a dimostrare queste due:

(1) tan(x) x tan(y) + tan(x) x tan(z) + tan(y) x tan(z) = 1

(2) tan(x) x tan(y) x tan(z) = tan(x) + tan(y) + tan(z)

che valgono se: x + y + z = π/2

La (1) pu essere usata per semplificare il doppio prodotto che si scrive dopo aver svolto il quadrato della tua espressione:
[tan(x) + tan(y) + tan(z)]^2 ≥ 3

Ottenendo:

tan(x)^2 + tan(y)^2 + tan(z)^2 ≥ 1

Ma qui mi sono bloccato !

Ivan
Ivan86 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-09-13, 09:52   #4
Ivan86
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Predefinito Re: Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

A dire la verit, se in questa espressione:

tan(x)^2 + tan(y)^2 + tan(z)^2 ≥ 1


io sostituisco x con π/2 - y - z ottengo:

tan(π/2 - y - z)^2 + tan(y)^2 + tan(z)^2 ≥ 1

Questo non so se basta a dimostrare ma da qui si intuisce che pu solo che essere vera.

Se y e z sono reali positivi, allora i tre addendi a sinistra di " "possono essere visti in due gruppi, il primo addendo ed il secondo+terzo.

Quando cresce il primo, il secondo+terzo diminuisce e viceversa, quindi il risultato sar sicuramente un valore superiore a 1.


basta come dimostrazione ? :d

Ivan
Ivan86 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-09-13, 15:36   #5
Erasmus
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Predefinito Re: Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

Quote:
Ivan86 Visualizza il messaggio
vale la relazione:
tan(x) x tan(y) x tan(z) = tan(x) + tan(y) + tan(z)

Sorry, l'uguaglianza non pu essere una identit per x + y + z = π/2.
Per esempio, se i tre angoli sono uguali, allora ciascuno vale π/6 (cio un terzo di angolo retto), la tangente di ciascuno vale 1/√(3) (minore di 1) e quindi (in questo caso):
tan(x) tan (y) tan(z) = [tan(π/6)]^3 = [1/√(3)]^3 = 1/[3√(3)] = √(3)/9;
tan(x) + tan(y) + tan(z) = 3tan(π/6) 3[1/√(3)] = √(3).
Invece, l'identit vale se la somma degli angoli un angolo piatto.
Infatti, ponendo (per comodit di scrittura)
u = tan(x); v = tan(y); w = tan(z)
in generale tan(x + y + z) = (u + v + w uvw)/[1 (uv + vw + wu)];
x + y + z = π => (implica) u + v + w uvw = 0.
Quote:
Ivan86 Visualizza il messaggio
A dire la verit, se in questa espressione:
tan(x)^2 + tan(y)^2 + tan(z)^2 ≥ 1 [...]
Se x + y + z un angolo retto, questa disuguaglianza equivale a quella da diomostrare!
[Vedi sotto la verifica].
Non puoi partire col portala come premessa (cio come dato gi accettato)!

Un ragionamento giusto quello che fai dopo, (anche se l'hai espresso poco chiaramente) ragionando su come variano le tre tangenti nel caso in cui la somma dei tre argomenti valga π/2.
Comunque, la cosa da tener presente (e che anche tu hai considerato) ... la seguente:
x + y + z = π/2 <=> (equivale) z = π/2 (x + y) => (implica) tan(z) = tan[π/2 (x + y)] = 1/tan(x+y).
Siccome tan(x + y) = [tan(x) + tan(y)]/[1 tan(x) tan(y)], puoi eliminare una variabile ricavando:
tan(x) + tan(y) + tan(z) = tan(x) + tan(y) + [1 tan(x)tan(y)]/[tan(x) + tan(y)].
Per comodit di scrittura, lasciami porre
u = tan(x);
v = tan(y);
w = tan(z).
Allora trovo
w = (1 uv)/(u + v) > wu + wv = 1 uv > uv + vw + wu = 1.
Con questa condizione abbiamo:
(u + v + w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + 2(uv + vw + wu) = u^2 + v^2 + w^2 + 2.
Pertanto, la disuguaglianza (u + v + w)^2 ≥ 3 da provare diventa
u^2 + v^2 + w^2 + 2 ≥ 3
che (sottraendo 2 ad entrambi i membri) equivale a quella da te data per accettata:
u^2 + v^2 + w^2 ≥ 1.
========

La dimostrazione richiesta dal quiz si pu fare in almeno tre modi ben diversi.
a) Con un ragionamento che prescinde da calcoli, cio onsiderando che la derivata della tangente, [per argomento positivo minore di π/2], positiva e crescente.
[E' in fondo il tuo ragionamento, Ivan, anche se non lo dici esplicitamente].

b) Eliminando (nel modo appena visto) una variabile, per cui la disuguaglianza da provare
[u + v + (1 u v)/(u + v)]^2 ≥ 3,
e usando il calcolo differenziale per la ricerca degli estremanti della funzione
F(u, v) = [u + v + (1 u v)/(u + v)]^2
(arrivando a concludere che il punto con u = v = 1/√(3) il [solo] punto di minimo assoluto e questo minimo vale 3).

c) Eliminando come sopra una variabile e provando che, se il valore di (u + v + w)^2 fosse minore di 3, allora u, v e w non potrebbero essere tutti simultaneamente reali (come invece sono per ipotesi).

NB: in b) e in c), dato che tan(x), tan(y) e tan(z) sono comunque positivi, conviene ridursi a provare che, se w = (1 uv)/(u + v), allora
u + v + w ≤ √(3).

Interessante (dal punto di vista didattico ... per la sola didattica dell'algebretta delle equazioni\disequazioni) il modo c).
Infatti ... pedissequamente rigoroso e, una volta accettato che, se (x + y) e z sono complementari, allora
tan(z) = 1/tan(x+y) = [1 tan(x)tan(y)]/[tan(x) + tan(y)],
con le posizioni di comodo
u = tan(x);
v = tan(y);
w = tan(z) = (1 uv)/(u + v),
procede senza pi trigonometria e senza calcolo differenziale.

Insomma:
Metto k il valore della somma delle tre tangenti ottenendo [dato che w = (1 uv)/(u + v) ]:
u + v + (1 uv)/[u + v) = k,
da cui (essendo u +v ≠ 0):
u^2 + v^2 + uv ku kv + 1 = 0.
Ordino l'equazione rispetto ad una delle due variabili (non conta quale essendo l'equazione simmetrica):
v^2 (k u)v [ku (u^2 +1)] = 0.
Risolvo l'eq. di 2 grado in v ottenendo:
v = (k u)/2 √[(k u)^2 + 4(ku u^2 1)] }/2 (*)
L'espressione sotto radice quadrata, semplificata ed opportunamente organizzata, d:
k^2 + u^2 2ku + 4ku 4u^2 4 =
= 3u^2 + 2ku (4 k^2) = {raccolgo 3 e poi aggiungo e tolgo (k/3)^2}
= 3[u^2 2(k/3) u + (k/3)^2 + 4/3 (k^2)/3 (k/3)^2] =
= 3(u k/3)^2 4[1 (k^2)/3]. (**)
Se u = 1/√(3) e k = √(3) allora l'espressione sotto radice nulla.
Ma se k minore di √(3), essendo allora
4[1 (k^2)/3] < 0,
siccome (con u reale) 3 (u k/3)^2 non mai positivo, l'espressione (**), che quella sotto radice quadrata nella (*) [che d il valore di v per assegnati u e k], negativa; e in conclusione:
Per u reale, se fosse k < √3 non potrebbe essere reale v (e viceversa).

------
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 15-09-13 20:32.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-09-13, 23:59   #6
Erasmus
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Predefinito Re: Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

Il quiz in questione si pu proporre, equivalentemente, nella forma seguente:

Siano a, b e c le lunghezze dei lati di un triangolo qualsiasi.
Dimostrare che, allora:

. . . .
[2(ab + bc + ca) (a^2 + b^2 + c^2)]^2
≥ 3.
. . . (*)
2[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] (a^4 + b^4 + c^4)


Infatti ... [V. Figura]
Siano α, β e γ le ampiezze degli angoli (di vertici rispettivi A, B e C) opposti rispettivamente ai lati di lunghezza a, b e c;
Sia r il raggio del cerchio inscritto (di centro I);
Sia p = (a+b+c)/2 il semiperimetro;
Sia S = r p = √[p(p a)(p b)(p c)] l'area.
L'incentro I l'intersezione delle tre bisettrici e dista r da ciascun lato.
Siano ancora:
L il punto di contatto del cerchio inscritto col lato BC di lunghezza a;
M il punto di contatto del cerchio inscritto col lato CA di lunghezza b;
N il punto di contatto del cerchio inscritto col lato AB di lunghezza c.
Tra i 6 segmenti di estremi un vertice e un punto di tangenza si trova subito:
AM = AN (di lunghezza per ora incognita, diciamo x);
BN = BL (di lunghezza per ora incognita, diciamo y);
CL = CM (di lunghezza per ora incognita, diciamo z);
Con ci abbiamo:
x + y = c
y + z = a
z + x = b
Da cui (sottraendo la prima equazione alla seconda e facendo sistema con la terza)
z x = a c;
z + x = b.
Da qui, sommando, si ha: 2z = a c + b = (a + b + c) 2c = 2p 2c > z = p c.
Analogamente si trova: x = p a; y = p b.

Riassumendo:
IL = IM = IN = r;
AM = AN = p a = (a + b + c)/2;
BN = BL = p b = ( a b + c)/2;
CL = CM = p c = ( a + b c)/2.
e quindi:
tan(α/2) = r/(p a);
tan(β/2) = r/(p b);
tan(γ/2) = r/(p c);

La disuguaglianza da provare
[tan(α/2) + tan(β/2) + tan(γ/2)]^2 ≥ 3
diventa dunque
[r/(p a) + r/(p b) + r/(p c)]^2 ≥ 3
ossia:
Codice:

r^2  [(p  b)(p  c) + (p  c)(p  a) + (p  a)(p  b)]^2
  ≥ 3   (**)
               [(pa)(pb)(pc)]^2
Confrontando le due espressioni dell'area S, cio
S = r p = √[p (p a)(p b)(p c)]
si ricava:
Codice:
          (p  a)(p  b)(p  c)
r^2 = .
                     p
Con ci la (**) diventa:
Codice:
[(p  b)(p  c) + (p  c)(p  a) + (p  a)(p  b)]^2
  ≥ 3   (***)
             p(p  a)(p  b)(p  c)
Se infine si rimette (a + b + c)/2 al posto di p e poi si svolgono i prodotti indicati si trova:
(p b)(p c) + (p c)(p a) + (p a)(p b) = [2(ab + bc + ca) (a^2 + b^2 + c^2)]/4;
p(p a)(p b)(p c) = [2[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] (a^4 + b^4 + c^4)]/16
per cui la (***) diventa la (*).

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Ultima modifica di Erasmus : 13-09-13 09:10.
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Vecchio 13-09-13, 10:38   #7
Ivan86
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Predefinito Re: Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio

Sorry, l'uguaglianza non pu essere una identit per x + y + z = π/2.
Hai ragione, e dire che bastava provarla per verificare che non fosse valida!

Eppure questi sono i passaggi e non riesco a capire dove sbaglio:

x + y = ∏/2 - z
2x + 2y = ∏ - 2z
tan(2x + 2y) = tan(∏ - 2z)
tan(2x + 2y) = - tan(2z)
[ tan(2x) + tan(2y) ] / [ 1 - tan(2x) x tan(2y) ] = - tan(2z)
tan(2x) + tan(2y) = - tan(2z) + tan(2x) x tan(2y) x tan(2z)
tan(2x) + tan(2y) + tan(2z) = tan(2x) x tan(2y) x tan(2z)

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
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Lo so lo so... ci provato

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Un ragionamento giusto quello che fai dopo
meno male !

Ivan
Ivan86 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-09-13, 12:02   #8
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Predefinito Re: Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

Quote:
Ivan86 Visualizza il messaggio
[...] non riesco a capire dove sbaglio:
x + y = ∏/2 - z
2x + 2y = ∏ - 2z
tan(2x + 2y) = tan(∏ - 2z)
tan(2x + 2y) = - tan(2z)
[ tan(2x) + tan(2y) ] / [ 1 - tan(2x) x tan(2y) ] = - tan(2z)
tan(2x) + tan(2y) = - tan(2z) + tan(2x) x tan(2y) x tan(2z)
tan(2x) + tan(2y) + tan(2z) = tan(2x) x tan(2y) x tan(2z)
L'ultima uguaglianza giusta. Ma vedi che gli argomenti non sono x, y e z bens 2x, 2y e 2z (cio il loro doppio).
Vedi anche che avevo gi evidenziato che, se la somma degli argomenti vale π (cio un angolo piatto, come la somma degli angoli d'un triangolo qualsiasi), allora la somma delle [loro] tangenti uguale al prodotto delle [loro] tangenti.
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Ultima modifica di Erasmus : 14-09-13 17:01.
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Vecchio 13-09-13, 13:51   #9
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Predefinito Re: Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

Avevo provato a fare l'esercizio su carta, poi a distanza di ore avevo ricopiato qualche passo qui sul forum

Avevo ad un certo punto scritto:
X= 2x
Y= 2y
Z= 2z

quando ho ricopiato mi sono dimenticato che X != x

Ciao !
Ivan86 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-09-13, 23:01   #10
Erasmus
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Predefinito Re: Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

Quote:
Ivan86 Visualizza il messaggio
[Poi] mi sono dimenticato che X = 2x
O.K. Succede agli "umani" ... si tratta (come ha inventato Nino280) di tipici "errori di sbaglio".

Ma ... sei riuscito a leggere [e seguire] la dimostrazione che procede senza trigonometria e senza calcolo differenziale?

E che ne dici dell'equivalenza tra
[tan(α/2) + tan(β/2) + tan(γ/2)]^2 ≥ 3. . . .(1)
e
. . . .[2(ab + bc + ca) (a^2 + b^2 + c^2)]^2
≥ 3.
. . . .(2)
2[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] (a^4 + b^4 + c^4)

quando α, β e γ sono gli angoli opposti [rispettivamente] ai lati a, b e c di un triangolo qualsiasi?

La (2) a me sembra ... molto elegante!
In essa il denominatore si decompone [notoriamente] nel prodotto di 4 trinomi di 1 grado:
2[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] (a^4 + b^4 + c^4) =(a + b + c)(a + b + c)(a b + c)(a + b - c) = <16 volte il quadrato dell'area>.
Ma anche il numeratore si pu decomporre analogamente! Precisamente dato che a, b e c sono senz'altro positivi nel prodotto:
[(√a + √b + √c)(√a + √b + √c)(√a √b + √c)(√a + √b √c)]^2
Supponi, adesso, di togliere l'elevazione al quadrato (cio quel "^2" in fondo all'espressione) e di schiaffarla su ogni lettera di ogni parentesi (come .. se l'esponente "2" fosse "distributivo" rispetto a tutte lei lettere invece che rispetto a tutti i fattori).
Ottieni allora proprio il denominatore.
[√(a^2) + √(b^2) + √(c^2)][√(a^2) + √(b^2) + √(c^2)][√(a^2) √(b^2) + √(c^2)][√(a^2) + √(b^2) √(c^2)]=
= (a + b + c)(a + b + c)(a b + c)(a + b - c) = 2[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] (a^4 + b^4 + c^4).
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Ultima modifica di Erasmus : 14-11-13 13:56.
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