Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[aspesi]

astromauh

Allora li scrivo qui per tutti.

Per risolvere questo quiz non è necessario disegnare il triangolo (con i dati del problema, cioè le 2 altezze che si conoscono, e risolvere per tentativi in modo che la terza altezza abbia di lunghezza un numero intero).
Basta conoscere le formule e fare qualche considerazione sulla proprietà dei triangoli.



Il tuo intuito però non è male
(l'altezza cercata che ad occhio direi che potrebbe valere qualcosa come 10, 11, 12, 13, 14 unità)

[nino280]

astromauh

Avevo dato dei suggerimenti a nino280, ma non credo che li abbia apprezzati, perché non mi ha risposti ne bi, ne ba.

Allora li scrivo qui per tutti.

Credimi.
Non ti ho snobbato. Diamine.
Li ho letti, (i tuoi suggerimenti in 32 secondi, e come tu dovevi andare, non ho capito dove, a controllare la marmitta del motorino, io stavo preparando la borsa per una partita di torneo. Sono rientrato, or ora.
Io non ho ancora capito se sono i quiz che disturbano la mia attività di tennista oppure è il tennis che mi disturba la mia attività in geometria.
Ciao

[Erasmus]

aspesi

C'è un triangolo con 3 altezze le cui lunghezze sono rappresentate da numeri interi.
Due di queste altezze misurano rispettivamente 9 e 29 u.

Quali valori può assumere la terza?

Oltre all'ovvio valore 9 u (*) (nel caso di un triangolo isoscele) la terza altezza può essere assegnata quasi ad arbitrio (cioè col solo rispetto della geometria).

Allego un "paperino" che spiega come cosrtruire un triangolo di assegnate altezze H, h e k.
Insomma: se H = 29 e h = 9, allora k può assumere un valore intero quasi a piacere. Basta non cascare in condizioni impossibili per la geometria eucliea!

–––


P.S. [Domenica 21 ottobre h 20:11]
(*) Ho ccrretto (editando), sopprimendo la "corbelleria" che avevo detto! Avevo scritto "gli ovvi valori 9 u e 29 u (nel caso di un triangolo isoscele)". Ma un triangolo isoscele con altezze 29 u, 29, u e 9 u non esiste!
Se una altezza è 9 u e le altre due sono uguali, necessariamente sono minori di 18 u.

[aspesi]

Erasmus

Allego un "paperino" che spiega come cosrtruire un triangolo di assegnate altezze H, h e k.
Insomma: se H = 29 e h = 9, allora k può assumere un valore intero quasi a piacere.

Non proprio quasi a piacere...

Erasmus

Basta non cacare in condizioni impossibili per la geometria euclidea!
–––

Esattamente!
Solo che tu non hai indicato qual è il range delle condizioni possibili per la geo metria euclidea

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nino280: non metto in dubbio i tuoi risultati, che però contrastano con i miei... forse perché hai preso in considerazione triangoli ottusangoli... io trovo che la terza altezza potrebbe essere qualsiasi intero fra 7 e 13

[aspesi]

nino280

I cui valori del triangolo sono:
DH = 30,36445
AH = 20,24177
AD = 12,55813
Naturalmente le altezze 6 9 29
Ciao

Se, come sappiamo, l'area di un triangolo è = base * altezza diviso 2
si dovrebbe avere lo stesso valore calcolandola da tutti e 3 i lati (per le rispettive altezze):

30,36445 * 6 / 2 = 91,09335 u^2
20,24177 * 9 / 2 = 91,087965 u^2
12,55813 * 29 / 2 = 182,092885 u^2 -----> ??? viene il doppio rispetto agli altri 2 lati

[nino280]

Si hai ragione ho sbagliato a prendere un'altezza.
Cancello tutto.

[astromauh]

Ma che volgarità!

Erasmus, mi meraviglio di te.

[aspesi]

astromauh

Ma che volgarità!

Erasmus, mi meraviglio di te.

Potenza di una s in meno...

[aspesi]

aspesi

C'è un triangolo con 3 altezze le cui lunghezze sono rappresentate da numeri interi.
Due di queste altezze misurano rispettivamente 9 e 29 u.

Quali valori può assumere la terza?

Questa è la mia soluzione.

Sia 2S il doppio dell'area del triangolo.
Due lati misurano
a = 2S/29
b = 2S/9

Il terzo lato c deve essere compreso fra la somma e la differenza degli altri due e può quindi variare fra:
2S*(1/9 + 1/29) > c > 2S*(1/9 - 1/29)

Cioè:
2S * 38/261 > c > 2S * 20/261

Ne consegue che essendo la terza altezza h = 2S/c, sarà:
261/38 < h < 261/20

e, essendo h un numero intero:
6 < h < 14

ossia h può essere un qualsiasi intero fra 7 e 13

[Erasmus]

aspesi

Questa è la mia soluzione.

Sia 2S il doppio dell'area del triangolo.
Due lati misurano
a = 2S/29
b = 2S/9

Il terzo lato c deve essere compreso fra la somma e la differenza degli altri due e può quindi variare fra:
2S*(1/9 + 1/29) > c > 2S*(1/9 - 1/29)

Cioè:
2S * 38/261 > c > 2S * 20/261

Ne consegue che essendo la terza altezza h = 2S/c, sarà:
261/38 < h < 261/20

e, essendo h un numero intero:
6 < h < 14

ossia h può essere un qualsiasi intero fra 7 e 13 [inclusi].

[NB: "[inclusi]" è una aggiunta pignolesca di Erasmus]
Ottimo ragionamento!
M'hai piaciuto!

aspesi

[...] tu non hai indicato qual è il range delle condizioni possibili per la geometria euclidea

Hai ragione. Giusta osservazione.
Questo è successo perché non avevo capito le tue intenzioni.
[Questa volta non dico "perché ti esprimi male"]. Pensavo che tu intendessi che il quiz si dovesse risolvere con una equazione diofantea che avrebbe avuto al massimo due soluzioni.
Volevo perciò rimarcare il fatto che non bisognava andare in cerca delle soluzioni ma proprio del range – o meglio: dell'intervallo – in cui poteva stare la terza altezza.
[Mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa!]
E' vero: non ho detto quale doveva essere il range ... e supponevo – ma ora non posso provarlo! – che dipendesse proprio dal rispetto delle "disuguaglianze triangolari" (che tu hai giustamente sfruttato).
Però ... prima di scrivere il "paperino" ho smanettato un po' con l'applicazione "Grapher" (l'attuale mia "Calcoplatrice grafica") ... e la prima figura delle due immagini che allego qui sotto è quella del file salvato (con la terza altezza k = 12) subito prima di scrivere il "paperino" .

il valore positivo di x per ordinata nulla è il coseno dell'angolo α che– come è spiegato nel "paperino" – è l'inclinazione sull'altezza lunga 29 u del lato rispetto al quale l'altezza è 9 u.
Le due sommatorie ... sono fasulle! Vedi che hanno uguali i "confini" inferiore e superiore . Servono solo ad assegnare il valore alle due altezze chiamate una h e l'altra k .
Con la formula che leggi nell'immagine, fisso restando h = 9 e variando k [che è per forza intero], si trova subito che la curva non inteseca più l'asse delle ascisse se è k intero minore di 7 o k è intero maggiore di 13 (proprio come hai trovato tu).

–––
Ciao ciao!
[Esaurite le 4 immagini permesse]