Easy quiz(zes): but mathematical!

[Erasmus]

Mizarino

Se ricordo bene a distanza di oltre 50 anni, questo tipo di problemi si risolvevano attraverso un sistema di equazioni lineari. Ma, giacché mi pare un esercizio fine a se stesso e privo di spunti di eleganza concettuale, ci rinuncio...

Che il quiz sia privo di spunti di eleganza ... è un'idea tua [personale], ovviamente non condivisa da me.
I principi di Kirchhoff e la legge di Ohm assicurano che in una qualunque rete di resistori alimentata da generatori ideali di tensione e/o generatori ideali di corrente è possibile calcolare la tensione fra due nodi qualunque e la corrente in ogni ramo in funzione delle tensioni e/o correnti impresse e dei valori delle resistenze,
Ma ... mica devi scrivere ogni volta tutte le equazioni possibili ricavabili dall'applicazione dei principi di Kirchhoff e dalla legge di Ohm!
La bellezza di questo quiz sta nella scelta di poche opportune equazioni (ovviamente basate – magari indirettamente – su Kirchhoff e su Ohm).
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Risolvo io (a modo mio) il problema posto da questo quiz... e vedrete (Miza ed aspesi) che il quiz non è affatto privo di "eleganza" (e nino280 vedrà che non è affatto difficile nemmeno per lui)

   
  P  _______________________
  +                |                          |  
  |               |   |                     |   |
  |           R  |   |                     |   |  Rx
  |               | . |                     | . |
  |                 |           R             |
–––  E        A |–––|          . |––--| B
  |                 |                         |  
  |              |   |                      |   |
  |        Rx   |   |                      |   |  R
  |              | . |                      | . |
 –                |                           |       
 N

• Chiamo A il nodo estreremo sinistro del resistore trasversale e B quello estremo destro
• Chiamiamo P (come "positivo") il nodo di ingresso della corrente (quello in alto nella figura) ed N (come "negativo") il nodo di uscirta della corrente (quello in basso in figura).
Siccome il testo dice la corrente nel resistore in basso a sinistra (di resistenza Rx incognita) deve essere uguale a quella nel resistore trasversale (di resistenza R nota), la corrente nel resistore in alto a sinistra (pure di valore R) deve essere doppia di quella nel resistore trasversale; e quindi la caduta di tensione sul resistore in alto a sinistra deve essere doppia della caduta di tensione sul resistore trasversale (essendo uguale la loro resistenza).
Per motivi di evidente simmetria, anche la corrente nel resistore in basso a destra (pure di valore R) è doppia di quella nel resistore trasversale e con ciò anche la caduta di tensione sul resistore in basso a destra è doppia di quella sul resistore trasversale.
Pertanto, l'uguaglianza
E = VPA + VAB + VBN
diventa
E = 2VAB + VAB + 2VAB = 5VAB ⇒
⇒ VAB = E/5 ∧ VPA= VBN =2E/5.
Ma allora anche
VAN = VPB = E – 2E/5 = 3E/5.
Ricordando che VAB = E/5, si è trovato
VAN = VPB = 3VAB.
Infine, dovendo essere uguali le correnti nel resistore trasversale (di resistenza R) e nei resistori in basso a sinistra e in alto a destra (di resistenza Rx) sui quali la caduta di tensione è tripla deve essere
(3E/5)/Rx = (E/5)/R ⇔ Rx = 3R
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La corrente erogata dal generatore di tensione E è dunque
I = VPA/R + VPB/(3R) ≡ (2E/5)/R +(3E/5)/(3R) = (3E/5)/R.
La resistenza vista dal generatore di tensione E è dunue
Req = (5/3)R
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