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Vecchio 09-09-19, 01:36   #1
Erasmus
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Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,391
Predefinito Cenni di Trigonometria sferica.

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[...] ho promesso che spiegherò come si trovano gli angoli diedri conoscendo gli angoli delle facce (e che questa è una utilissima nozione di geometria sferica).
Prossimamente farò proprio questo (che, però, credo di aver già fatto in un lontano passato!)
Mettrò qui due immagini che sono due brevi documenti che riportano rispettivamente due teoremi di Trigonometria Sferica.
Ma forse è utile anticipare qualche richiamo per ricortdare alcuni concetti basilari della cosiddetta Trigonometria Sferica.

a) Triangoli sferici e triedri associati.
1) Angoloide o angolo solido.
Un angoloide (o angolo solido) è la proiezione – nello spazio euclideo tridimensionale – di un lembo di superficie da un punto V non appartenente al lembo di superficie proiettato Il punto V dal quale è prroiettato qual lembo di superficie è detto vertice dell'angoloide (che io preferisco chiamare angolo solido).
Dato un certo angolo solido di vertice V, si consideri la sfera di centro V e raggio r così piccolo che la sfera non abbia punti in comune con il lembo proiettato La superficie di questa sfera interseca l'angoloide in un lembo ∑ di sé. Sia S l'area di ∑. La misura in steradianti (sr) dell'ampiezza del dato angolo solio è il rapporto tra l'area S del lembo di superficie sferica ∑ ed il quadrato del suo raggio r.

2) Triangoli sferici
Sulla superficie di una sfera di centro V e di raggio r si considerino tre punti A, B e C. Si supponga anche che nessuna delle tre coppie (A, B), (B, C) e (C, A) sia coppia di di poli (cioè di punti diametralnmente opposti).
Il piano per una coppia dei detti tre punti e per il centro taglia la sfera in un cerchio massimo. Dei due archi di cerchio massimo che collegano una coppia dei tre punti si consideri quello più breve (cioè quello visto dal centro V della sfera sotto un angolko minore di un angolo piatto). I tre archi di cerchio massimo così definiti – diciamoli AB, BC e CA) – delimitano un lembo di superficie sferica di particolare forma che è appunto un triangolo sferico. I tre detti archi sono i lati del triangolo sferico e i loro estremi (ciascuno dei quali è comune a due archi) sono i vertici.
Consideriamo il piano tangente alla sfgera in un vertice e in questo piano le rette tangenti ai due arch-lato con quel vertice come estremo comune. Le due rette sono perpendicolari alla semiretta di origine nel centro della sfera passante per qwuel vertice, l'angolo tra le due rette dalla parte del triangolo sferico è l'angolo del triangolo sferico in quel vertice.

3) Triedro associato ad un triangolo sferico
La proiezione dal centro O [della sfera] del triangolo sferico ABC è un particolare angolo solido: una specie di piramide triangolare di altezza infinita. Ha tre spigoli (che sono le tre semirette di origine O passanti rispettivamente per A, B e C) e tre facce (che sono gli angoli tra due spigoli). Ha anche tre angoli diedri (rispettivamente da due delle tre facce). Un angolo diedro con un certi spigolo è detto opposto alla faccia individuata dagli a opposti alla facci definita dagli altri due spigoli.
Questo triedro è il triedro assocciato al triangolo sferico ABC.
Per come sono definiti glki angoli del triangolo sferigo, è evidente che cviascun angolo sperico è uguale all'angolo iedro con lo spigolo passante per il suo vertice.

b) Teorema sugli angoli di un trinagolo sferico
Sia S l'area di un triangolo sferico di raggio r. Allora l'angolo solido del triedro associato misura
Ω = S/r^2 steradianti.
Si dimostra che la somma degli angoli interni di un triangolo sferico è sepre maggiore di un angolo piatto (ossia di π radianti) e l'eccesso vale l'angolo solido Ω del tetraedro associato. In formula:
α + β + γ = π + Ω
Se normalizziamo a 1 il raggio r della sfera, l'angolo solido Ω del triedro associato viene a coincidere numericamente con l'area S del triangolo sferico 'angolo solido .Di questo teprema avevo una volta dato la dimostrazione con delle belle figure a colori.
Adesso non trovo più dove sta.
Ma tempo fa avevo ritrovato il posto ... ma le belle figure non si vedevano più!
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Qui metto due immagini dove ci stanno le spiegazioni e le dimostrazioni dei due teoremi di trigonmetria sferica molto utrili!
Per esempi, se di un tetraedr irregolare sono note le lunghezze dei 6 spigoli è facile trovare i coseni degli angoli delle facce e con questi coseni trovare i coseni degli angoli diedri. E alla fine tutto quel che si vuole (per esempio volume. raggio della sfera inscritta e raggio della sfera circoscritta).
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Erasmus
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Vecchio 09-09-19, 02:54   #2
Erasmus
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Predefinito Re: Cenni di Trigonometria sferica.

In un triangolo ABC con lati rispettivamente opposti ai vertici A, B e C lunghi a, b e c è facile trovare i coseni degli angoli (esplicitando il coseno dalla formula del teorema di Carnot.
Si trova;
cos(φ) = <coseno dell'angolo di vertice A> = (b^2 + c^2 – a^2)/(2bc);
cos(φ) = <coseno dell'angolo di vertice B> = (c^2 + a^2 – b^2)/(2ca);
cos(ψ) = \coseno dell'angolo di vertice C> = (a^2 + b^2 – c^2)/(2ab).

Allora, volendo, note le lunghezze di tutti gli spigoli i un poliedro a facce triangolari i posoono trovare facilmente i coseni degli angoli delle facce.

In particolare in un tetraedro di cui si conoscano le lunghezze degli spigoli si possono trovare i coseni i tre angoli con un certo vertice comune (in un vertice del tetraedro)
Siccome quewsti angoli sono tutti minori di un angolo piatto, i loro seni sono tutti positivi, [E da un coseno c si ricava il seno s con la nota formula s = √(1 – c^2)].

Con il primo teorema del coseno , noti coseni e seni degli angoli delle facce si possono trovare i coseni degli angoli diedri.

Allora un procedimento per trovare il raggio della sìfera circoscritta ad un tetraedro qualunque è il seguente.
• Si considerano due facce e lo spigolo ad esse comune. Sia questo di estremi A e B (pertici del tetraedro) e lunghezza q.
Siano H e K i circocentri delle due facce e sia M il punto medio dello spigolo comune (supposto di lunghezza q).
Inoltre sian R1 il raggio del cerchio circoscritto alla faccia con circocentro H e sia R2 il raggio del cerchio circoscritto alla faccia con circocentro K.
[NB. Il raggio del cerchio circoscritto al triangolo di lati a, b e c e area S vale R = (abc)/(4S)].
Le distanze di M rispettivamente da H e da K – diciamole h e k – sono
h = HM = √(R1^2 – q/2)^2);
k = KM = √(R2^2 – (q/2)^2).
Siano x e y le distanze [per ora incognite] rispettivamente di H e K dal dal centro O della sfera curcoscritta.
Il centro O della sfera circoscritta è complanare con i punti M, H e K.
Consideriamo allora il quadrilatero MHOK. In esso conosciamo il coseno dell'angolo di vertice M (che è l'angolo diedro con lo spigolo prescelto) e sappiamo che gli angoli di vertice rispettivo H e K sono retti.
Possiamo allora calcolare x ed y (cioè le distanze di H e K da O) applicando il teorema di Pitagora e quello di Carnot.
Infatti
• Con Pitagora abbiamo HM^2 + HO^2 = kM^2 + KO^2, cioè (con i simboli assunti):
h^2 + x^2 = k^2 + y^2.
• Con Carnot, considerando la diagonale HK come lato comune ai due triangoli HKM e HKO, detto α l'angolo di vertice M abbiamo
HM^2 + KM^2 – 2·cos(α)·U]HM[/u]·U]KM[/u] = HO^2 + KO^2 + 2·cos(α)·U]HO[/u]·U]K=[/u], cioè:
h^2 + k^2 – 2·cos(α)·hk =x^2 + y^2 + 2·cos(α).·xy
Insieme le due equazioni dònno il sistema:
h^2 + x^2 = k^2 + y^2 ∧ h^2 + k^2 – 2·cos(α)·hk =x^2 + y^2 + 2·cos(α).·xy.
Risolto questo sistema in x e y il raggio r della sfera circoscritta è evidentemente dato da
r^2 = (p/2)^2 + h^2*+ x^2 (cioè R1^2 + x^2)
oppure
r^2 = (p/2)^2 + k^2 + y^2 (cioè R2^2 + y^2).
Insomma: l'unica cosa con un pizzico di difficoltà è trovare la distanza di un circocentro di una faccia dal centro O della sfera circoscritta.

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