Eh, eh: SEMBRA facile! Ma E' davvero facile?

[nino280]

Verissimo come dici tu non tenterò nemmeno di risolvere il quiz, almeno ti avviso soltanto che quel link che hai messo
Discussione.png .
non si apre.
Dipende da me o da te?
Ciao

[Erasmus]

nino280

... ti avviso soltanto che quel link che hai messo
Discussione.png .
non si apre.
Dipende da me o da te?
Ciao

Che l'immagine non si apriva l'avevo già notato stamattina.
Ma ieri sera funzionava benissimo.
Tant'è vero che ho scaricato l'immagine per ingrandirla di più e leggerla più comodamente.
Meno male che ho fatto questo, perché l'originale l'avevo già eliminato.

Vedo adesso questo tuo avviso proprio mentre son qua a ricaricare di nuovo l'immagine.

Che quel link non funziona più non dipende né da te né da me, ma proprio dal sito di "hosting" postimage.org.
Al posto dell'immagine (pur essendoci l'indirizzo giusto là nella barra degli indirizzi) compare l'immagine standard di avviso in cui sta scritto:
–––––––––––––––––––––––––––
PostImage.org

FREE IMAGE HOSTING

Error: Image Not Available
–––––––––––––––––––––––––––
Ho caricato di nuovo il documento sia al suo posto [ Ho fatto una bella figura ... # 133 ] (dove il link ... è nascosto dietro lo smile "spaf" ) sia qui nella citazione del tuo post.

Riprova: vedrai che ora funziona.
---------

[nino280]

Si ora si apre, sia di qua che cliccando sulla faccina.
Ma per me nulla cambia sempre arabo è
Del resto sono sempre stato sincero e ammesso le mie "carenze".
Un ulteriore esempio? Come dicevo l'altro giorno sto leggendo "Amore e matematica" e guarda caso non fa altro che parlare di funzioni funzioni e funzioni.
Quanto ci capisco? Meno, molto meno dell' uno per 100

[Erasmus]

La mia Calcolatrice Grafica scrive "atan(x)" per intendere «l'angolo la cui tangente è x».
Invece l'Equation Editor per il mio iMac riconosce la stessa funzione matematica se la si scrive come "arctan(x)".

Guardate questa figura:

La funzione rappresentata in questa figura assomiglia molto alla funzione y = cos(x).
Stesso periodo T = 2π, stessa ampiezza A = 1, stessi caratteri di simmetria.

Ma (4/π)·arctan(x) è un po' più tozza di cos(x).
Oltre alla componente fondamentale, diciamola C1·cos(x), ci saranno altre componenti armoniche.
Dati i caratteri di simmetria di questa funzione, ci saranno solo componenti armoniche in coseno e di frequenza multiplo dispari della frequenza fondamentale
f 1 = 1/(2π),
cioè di frequenza:
f 2k+1 = (2k+1)/(2π).
(con k naturale qualsiasi).

Lo sviluppo in serie di Fourier sarà cioè del tipo:

      ∞
y = ∑ C2k+1·cos[(2k+1)x]
     k=0

Naturalmente, i coefficienti C2k+1 (con k naturale qualsiasi) sono dati da:

                       π
C2k+1 = (1/π)·∫ (4/π)·arctan[cos(x)]·cos[(2k+1)x]·dx
                     –π

Sempre per i caratteri di simmetria, l'integrale qui sopra da –π a π (cioè esteso ad un periodo che è 2π) vale 4 volte l'integrale da 0 a π/2.

Con ciò il coefficiente C2k+1 della (2k+1)–esima armonica vale:

                            π/2
C2k+1 = (16/π^2)·∫arctan[cos(x)]·cos[(2k+1)x]·dx
                           o

Adesso Miza calcola un po' di di questi coefficienti integrando numericamente per vedere come variano al crescere di k.
Naturalmente trascurerà la costante 16/π^2 (che al fine di vedere l'andamento dei coefficienti al crescere di k ... è solo rumore)

Non ho ancora capito come si fa a fare quell'integrale.

Tuttavia sono riuscito lo stesso a sviluppare in serie di Fourier la funzione
y = (4/π)·arctan[cos(x)]

Ho infatti trovato che i coefficienti C2k+1 valgono:


Come ho fatto a trovare i coefficienti C2k+1 senza calcolare integrali?
–––

[Luciano Monti]

Erasmus

Non ho ancora capito come si fa a fare quell'integrale.

Non lo sai? Ma come, e' facilissimo!


x*ArcTan[Cos[x]] + (-(Pi*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Tan[x/2]]) - Pi*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Tan[x/2]] - I*((-2*I)*ArcCos[Sqrt[2]]*ArcTan[(1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] - I*(Pi - 2*x)* ArcTan[(-1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]] - (ArcCos[Sqrt[2]] - 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]])* Log[(Sqrt[2]*(1 - I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/ (-1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])] - (ArcCos[Sqrt[2]] + 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]])* Log[((-I)*(-2 + Sqrt[2])*(-I + Cot[(Pi + 2*x)/4]))/(-1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])] + (ArcCos[Sqrt[2]] + 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] + 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]])* Log[(1/2 + I/2)/(E^((I/2)*x)* Sqrt[Sqrt[2] - Sin[x]])] + (ArcCos[Sqrt[2]] - 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] - 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]])* Log[((1/2 - I/2)*E^((I/2)*x))/ Sqrt[Sqrt[2] - Sin[x]]] + I*(-PolyLog[2, -(((-1 + Sqrt[2])*(-1 + Sqrt[2] - I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/(-1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))] + PolyLog[2, -(((1 + Sqrt[2])*(-1 + Sqrt[2] - I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/(-1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))])) + I*((-2*I)*ArcCos[-Sqrt[2]]*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] - I*(Pi - 2*x)* ArcTan[(1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]] - (ArcCos[-Sqrt[2]] + 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]])* Log[(Sqrt[2]*(1 + I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/ (1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])] - (ArcCos[-Sqrt[2]] - 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]])* Log[(I*(2 + Sqrt[2])*(I + Cot[(Pi + 2*x)/4]))/ (1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])] + (ArcCos[-Sqrt[2]] + 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] + 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]])* Log[(-1/2 + I/2)/(E^((I/2)*x)* Sqrt[Sqrt[2] + Sin[x]])] + (ArcCos[-Sqrt[2]] - 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] - 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]])* Log[((1/2 + I/2)*E^((I/2)*x))/ Sqrt[Sqrt[2] + Sin[x]]] + I*(-PolyLog[2, ((-1 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2] - I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/(1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])] + PolyLog[2, ((1 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2] - I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/(1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])])))/2

No, non sono lettere a caso e non sono stato benedetto dal dio della matematica... sono solo andato sul link giusto:

http://integrals.wolfram.com/index.j...9&random=false

Lo uso spesso quando devo fare un integrale per sbirciare il risultato e capire se ci posso arrivare oppure se e' al di la' della mia portata. Questo... mi sa che e' al di la' anche della tua!

,
Luciano

[Erasmus]

Ben tornato, Luciano!

Luciano Monti

Non lo sai? Ma come, e' facilissimo!

Ma ti rispondo dopo.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Oops!
Di sopra (V. #74), nello scrivere i coefficienti C2k+1, avevo dimenticato il fattore 8/π.
Ho "modificato" per correggere «l'errore di sbaglio».
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Con l'applicazione "Grapher" (che sta sull'altro computer Mac Book Pro) ho verificato "numericamente" che lo sviluppo in serie di Fourier è giusto.

Confrontate i due grafici che stanno nell'immagine che segue (fatta mettendo insieme i risultati dei calcoletti fatti da Grapher nei due casi).

Confronto.png.

---------------

Luciano Monti

x*ArcTan[Cos[x]] + (-(Pi*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Tan[x/2]])
[...] <altre dodici righe di analogo testo scritte in piccolo> [...]

Sì, è faclissmo. Basta saper leggere.

Scherzi a parte, mi pare il testo di un programmino (in un linguaggio che ovviamente non conosco).
Mi conforta però la presenza di scritte come questa:
(-1 + Sqrt[2])
che sta appunto per √(2) – 1

Però, la domanda era: «Come ho fatto a trovare i coefficienti senza calcolare gli integrali ?»
Suggerimenti:
a) Se x = arctan(p) e y = arctan(q), { ossia: p = tan(x) e q = tan(y) }, allora:
x+y = arctan[(p + q)/(1 – pq)]
dal momento che tan(x+y) = [tan(x) + tan(y)]/]1 – tan(x)·tan(y)].
Ossia: arctan(p) + arctan(q) = arctan[(p + q)/(1 – pq)]
b) Detta j l'unità immaginaria (per cui j^2 = –1), e detta m una costante reale positiva minore di 1,
• cosa succede se metto: p = m·e^(jx); q = m·e^(–jx) ?
• e cosa succede, in particolare, se m è tale che: 2m/(1 – m^2) = 1 ?
c) è arcinoto che, se il modulo di z non è maggiore di 1, allora:
arctan(z) = z – (z^3)/3 + (z^5)/5 – (z^7)/7 + ... (ecc. ecc.)
---------------------------------------------------

Vado a curiosare là dove manda il tuo link ...

–––––––
Ciao Luciano
Ciao a tutti

[Erasmus]

Luciano Monti

http://integrals.wolfram.com/index.j...9&random=false

Visto.
Sì, la primitiva di arctan[cos(x)] era facilissima da trovare.
Chissà come mai non ci riuscivo ...
-----------
Ancora "scherzi a parte": bisognerebbe sapere la primitiva (parametrica nel parametro k) di
g(x, k) = arctan[cos(x)]·cos[(2k+1)x]
non già la primitiva di
f(x) = arctan[cos(x)]
(quella ... facilissima di cui abbiamo appena parlato).
––––

[Erasmus]

Lo sviluppo in serie trigonometrica di
y = (4/π)·arctan[cos(x)]
è davvero facilissimo (e non necessita di calcolare integrali) se si passa per un attimo per il campo complesso ricordando che [detta j l'unità immaginaria]:
e^(jx) = cos(x) + j·sin(x);
e^(–jx) = cos(x) – j·sin(x).

Basta applicare il trucco di spaccare arctan[cos(x)] in due parti del tipo
arctan[m·e^(jx)] + arctan[m·e^(–jx)]
con m positivo minore di 1.

Una volta trovato m potremo sviluppare:
• arctan[m·e^(jx)] in serie di potenze di p = m·e^(jx);
• arctan[m·e^(–jx)] in serie di potenze di q = m·e^(–jx).

Ricordando che per |z| <1 si ha
arctan(z) = z – (z^3)/3 + (z^5)/5 – (z^7)/7 + ... (ecc. ecc.)
otterremo dunque:
arctan[cos(x)] = arctan[m·e^(jx)] + arctan[m·e^(–jx)] =
= m·e^(jx) – [(m^3)·e^(j·3x)]/3 + (m^5)·e^(j·5x)]/5 – (m^7)·e^(j·7x)]/7 + ... +
+ m·e^(–jx) – [(m^3)·e^(–j·3x)]/3 + (m^5)·e^(–j·5x)]/5 – (m^7)·e^(–j·7x)]/7 + ... =
= m·[e^(jx)+e^(–jx)] – (m^3)·[e^(j·3x)+e^(–j·3x)]/3 + (m^5)·[e^(j·5x)+e^(–j·5x)]/5 – (m^7)·[e^(j·7x)+e^(–j·7x)]/7 + ... =
= 2·[m·cos(x) – (m^3)·co(3x)/3 + (m^5)·cos(5x)/5 – (m^7)·cos(7x)/7 + ...].

In definitiva (quando fosse noto m);
y = (4/π)·atan[cos(x)] = (8/π)·[m·cos(x) – (m^3)·co(3x)/3 + (m^5)·cos(5x)/5 – (m^7)·cos(7x)/7 + ...].

Non ci resta che trovare m tale che sia arctan[cos(x)] = arctan[m·e^(jx)] + arctan[m·e^(–jx)].
Ricordando che
se p = tan(x) e q = tan(y), allora tan(x+y) = (p + q)/(1 – p·q),
per p = m·e^(jx) e q = m·e^(–jx) si ha:
p + q = m·e^(jx) + m·e^(–jx) = 2·m·cos(x);
1 – p·q = 1 –[m·e^(jx)]·[m·e^(–jx)] = 1 – m^2:

  p + q             2m
––––––– = ––––––––cos(x).
1 – p·q        1 – m^2

Dunque deve essere [m positivo, minore di 1 e] tale che risuulti:

   2m
––––––– =1
1 – m^2

Pertanto:
2m = 1 – m^2 ––> m^2 + 2m = 1 ––> m^2 + 2m +1 = 2 ––> m+1 = √(2) ––> m = √(2) – 1.

In conclusione:
(4/π)·atan[cos(x)] = (8/π)·<Somma, per k da 0 a ∞, di [(–1)^k]·{[√(2) –1]^(2k+1)}·cos[(2k+1)x]>.
–––

[astromauh]

Luciano Monti

Non lo sai? Ma come, e' facilissimo!


x*ArcTan[Cos[x]] + (-(Pi*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Tan[x/2]]) - Pi*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Tan[x/2]] - I*((-2*I)*ArcCos[Sqrt[2]]*ArcTan[(1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] - I*(Pi - 2*x)* ArcTan[(-1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]] - (ArcCos[Sqrt[2]] - 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]])* Log[(Sqrt[2]*(1 - I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/ (-1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])] - (ArcCos[Sqrt[2]] + 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]])* Log[((-I)*(-2 + Sqrt[2])*(-I + Cot[(Pi + 2*x)/4]))/(-1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])] + (ArcCos[Sqrt[2]] + 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] + 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]])* Log[(1/2 + I/2)/(E^((I/2)*x)* Sqrt[Sqrt[2] - Sin[x]])] + (ArcCos[Sqrt[2]] - 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] - 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]])* Log[((1/2 - I/2)*E^((I/2)*x))/ Sqrt[Sqrt[2] - Sin[x]]] + I*(-PolyLog[2, -(((-1 + Sqrt[2])*(-1 + Sqrt[2] - I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/(-1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))] + PolyLog[2, -(((1 + Sqrt[2])*(-1 + Sqrt[2] - I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/(-1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))])) + I*((-2*I)*ArcCos[-Sqrt[2]]*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] - I*(Pi - 2*x)* ArcTan[(1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]] - (ArcCos[-Sqrt[2]] + 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]])* Log[(Sqrt[2]*(1 + I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/ (1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])] - (ArcCos[-Sqrt[2]] - 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]])* Log[(I*(2 + Sqrt[2])*(I + Cot[(Pi + 2*x)/4]))/ (1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])] + (ArcCos[-Sqrt[2]] + 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] + 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]])* Log[(-1/2 + I/2)/(E^((I/2)*x)* Sqrt[Sqrt[2] + Sin[x]])] + (ArcCos[-Sqrt[2]] - 2*ArcTan[(-1 + Sqrt[2])* Cot[(Pi + 2*x)/4]] - 2*ArcTan[(1 + Sqrt[2])*Tan[(Pi + 2*x)/4]])* Log[((1/2 + I/2)*E^((I/2)*x))/ Sqrt[Sqrt[2] + Sin[x]]] + I*(-PolyLog[2, ((-1 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2] - I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/(1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])] + PolyLog[2, ((1 + Sqrt[2])*(1 + Sqrt[2] - I*Cot[(Pi + 2*x)/4]))/(1 + Sqrt[2] + I*Cot[(Pi + 2*x)/4])])))/2

Preferisco i quiz proposti da Epoch.

[nino280]

I matematici, questi strani individui.
Di una formula facile, comprensibile, loro ne sono offesi che è comprensibile da tutti, e allora la prendono la girano la rigirano capovolgono e ricapovolgono fino a che diventa incomprensibile.
E poi tutti goduti dicono : bellissimo ho fatto una bella formula.
E poi quella lunga formula è molto semplice, basta semplificare.
Per esempio se ci trovi cos 30° basta sostituire il suo valore che è (mi pare) radice 3 fratto 2.
Io non l'ho guardata bene, perché mi si annebbia la vista (sto parlando della formuletta postata da Luciano) ma se ci trovate per esempio tan 18° basta sostituire con, non so se riesco a scriverla:
radice di 25 meno 10 radice 5 tutto diviso 5.
Attenzione che qui c'è una radice di radice cioè 10 radice di 5 è sotto il segno di radice quella che già voleva la radice di 25.
Ciao
Le ho dato un'occhiata.
C'è E , Pi , ed anche I. insomma un po' di tutto.
Cot l'ho già vista qualche volta ma Poly non ho idea di cosa possa essere.
Ma voi conoscete un matematico, uno solo, che alla fine non dia veramente i numeri?
Ciao