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Vecchio 12-01-18, 23:28   #2481
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
Lagoon Visualizza il messaggio
x^(x^(x^(x^(x... = 2
x=?
Stimolato da questa successione di Lagoon, cioè
X0 = x; per ogni indice n > 0: Xn = x^Xn-1[*]
rilancio (cercando qualcoa di più generale del quale questo quiz di Lagoon è un esempio).

Sia k un reale positivo.
Chiediamoci se esiste sempre un x tale che valga l'uguaglianza:
x^(x^(x^(x^(x... = k.

Per k = 2 abbiamo appena visto che va bene x = √(2).

Sembrerebbe che, analogamente a questo caso, si possa scrivere in generale:
x^(x^(x^(x^(x... = k => x^k = k => x = k^(1/k).[**]
Ma questo non è sempre vero!
Per esempio, per k = 4 si trova:
4^(1/4) = /2^2)^(1/4) = 2^(1/2) = √(2).
Sappiamo infatti che per x = √(2) abbiamo x^(x^(x^(x^(x... = 2.

Scriviamo l'uguaglianza x^(x^(x^(x^(x... = k come limite di una successione {Xn} al tendere di n all'infinito.
X0 = x;
Per ogni indice n > 0: Xn = x^(Xn–1),[*]
Codice:
  k(x) =  lim       Xn
           n → +∞
Succede che questa successione non converge per ogni x positivo!
Per esempio, pr x = 2 abbiamo
X0 = 2; X1 = 2^2 = 4; X2 = 2^4 = 16; ...
che è evidentemente una successione divergente.

La prima domanda da porsi è allora:
«Per quale intervallo di valori positivi di x la successiione[*] converge? »
[Aspetto la risposta di aspesi che ... lo indovina per intuito! ]
Riscrivo la definizione per ricorrenza della successione di Lagoon:
X0 = x; Per ogni intero n positivo Xn = x^Xn–1
La seconda domanda è:
«Se x è un valore per il quale la successione[*] converge, a quale limite converge?»
La risposta a questa seconda domanda è abbastanza facile!
Per esempio, per x = 1/2 la successione[*] converge al limite
k ≈ 0,641185744504986
Infatti. per questo k si ha:
(1/2)^k = k.
–––
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Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
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Ultima modifica di Erasmus : 14-01-18 07:33.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-01-18, 09:40   #2482
nino280
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

La digilitazione della matematica.
Se in una discussione i kappesimi non ci erano ancora entrati, ebbene ce li mettiamo di default e tutto si aggiusta.
Ciao
Ma forse volevo scrivere la prestidiligitazione. No so come si scrive perché il correttore me lo segnala in rosso.

Ultima modifica di nino280 : 13-01-18 09:43.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-01-18, 12:22   #2483
nino280
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Ben inteso anche io l'altro ieri avevo trovato la soluzione al quiz andando in internet, pensa che non ci devo nemmeno digitare (in Google) l'equazione stessa sennò perdo tempo e magari la scrivo anche male, allora la evidenzio clicco copio incollo e voilà:
https://www.youtube.com/watch?v=JrOG1tKAatg

Però se io una cosa non la capisco, non la capisco sia se me l'ha spiegata Erasmus, sia se poi me la spiegano in rete, difetto mio, l'ho già detto un milione di volte, altrimenti sembra che io ce l'abbia in modo particolare con Erasmus e non è assolutamente vero, perché anche lui lo sa che non ce l'ho con lui.
Insomma mi ho confiso
Prima si dice che la x = a radice di 2
Poi salta fuori un X badate bene maiuscolo e non più minuscolo con tanto di apice al pedice ( il pedice è zero) Si dai sto scherzando e anche divertendomi un pochino, se a qualcuno non piace me lo dica, cancello tutto. E questo X con pedice zero tende a x.E poi dulcis in fundo, arriva la fantomatica kappa. Kappa c'è sempre in tutte le dimostrazioni. La odio. Non c'è un'altra lettera? Per esempio s .
Solo che è brutto dire gli essesimi è molto meglio dire i kappesimi.

Ultima modifica di nino280 : 13-01-18 12:31.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-01-18, 16:09   #2484
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
clicco copio incollo e voilà:
https://www.youtube.com/watch?v=JrOG1tKAatg

Però se io una cosa non la capisco, non la capisco sia se me l'ha spiegata Erasmus, sia se poi me la spiegano in rete,
Anche per me questa cosa è molto ostica

Però, dal tuo link, se leggi il commento di Xavier Quincy, si ha la risposta alle domande di Erasmus:

La successione converge quando x è compreso tra
(1 / e) ^ e
ed
e ^ (1 / e)

(cioè tra circa 0,065988... e 1,444667...)
ma non ho capito perché...

se x=0,065988 -----> k= 1/e = 0,367879441

se x=1,444668 -----> k= e = 2,718281828

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-01-18, 17:26   #2485
nino280
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https://s18.postimg.org/i4pad1dpl/Gr..._Esponenti.png


Prendere questo grafico alla buona molto alla buona, perché è un mio tentativo di capire, non posso spiegarvi niente perché devo capire prima io che cosa significa. Intanto di buono c'è che qualche cosa "eppur si muove"
Ho messo la retta di equazione x= e, solo per una specie di confronto e vedere se le altre due funzioni in qualche modo convergono.
Ci sono poi due grafici di x elevato a x elevato a x elevato a x . . . .
Quello che noto subito è che se escludiamo la prima x che potrebbe fungere da base, se il numero degli esponenti è pari il grafico della funzione parte da zero ed è quindi quello colorato in arancione.
Invece se il numero degli esponenti è dispari il grafico parte da 0;1 fa una curva verso il basso per poi risalire ed è poi il grafico in nero.
Quando avrò preso bene la mano allora forse capirò quella cosa che si pronunciava a cantilena alle medie che tanto mi piaceva;
La potenza di una potenza, è una potenza che ha per base la stessa base, e per esponente il prodotto degli esponenti.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-01-18, 22:48   #2486
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
[...]
[Aspetto la risposta di aspesi che ... lo indovina per intuito! ]
Oops!
Excuse me.
I apologize
Mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa! [Gasp, gasp! Gulp, gulp ... ]
Depistato dagli interventi di nino280, non ho visto che aspesi aveva già trovato la risposta.
@ aspesi
Perché dici che la materia ti è ostica?
Supponi che sia 0 < x < 1. Come fai a calcolare la serie
s = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... ?
Fai S = 1 + x·(1 + x + x^2 + x^3 + ...) = 1 + xS ⇔ S(1 – x) = 1 < ⇔ S = 1/(1 –x).
Analogamente, come è spiegato nel video segnalato da nino280, se
x^(x^(x^(x^(x^ ... )))) = 2
allora
x^[x^(x^(x^(x ...)))] = x^2 = 2 ⇔ x = 2^(1/2) = √(2).
Quanto al fatto che debba essere k non maggiore di "e", [e quindi x non maggiore di e^(1/e) ], ecco qua:
a) Se una successione {X(n)} è crescente e converge ad L – dico L come "Limite" invece di k (come il crucco Konstant = costante) per non dispiacere a Nino280 – e se c'è la legge di ricorrenza X(n+1) = f[X(n)], allora questa funzione f deve essere tale che
L = f(L).
Qui la legge di ricorrenza era X(n+1) = x^X(n) e quindi deve essere
x^L = L, ossia x = L^(1/L).
Adesso i simboli potrebbero fare un po' di casino!
E' stato Lagoon a mettere x per intendere un esponente ripetuto infinite volte ... ed era giusto perché si chiedeva quanto valesse, era dunque un'incognita e di solito l'incognita si indica con x.
Ma anche la variabile di una funzione si indica con x.
Al variare della x (intesa come esponente ripetuto, e dentro un intervallo non troppo grande) varia il limite L della successione. E viceversa, perché se la successione converge al limite L, alla fine della fiera deve essere x = L^(1/L).
Allora al posto di x come esponente prendiamo s (sempre per far piacee a nino280) e con x indichiamo la variabile della funzione
y = x^ (1/x).
Facciamo il grafico di questa funzione [che esiste per x > 0].
Per x infinitesimo anche la funzione y = x^(1/x) è infinitesima (e di ordine infinitamente superiore).
Per esempio, per x= 1/10 la funzione vale
(1/10)^10 = 10^(-10) =1/10000000000.
La funzione x^(1/x) è sempre positiva e per x tendente a +∞ tende a 1.
Per x = 2 abbiamo x^(1/x) = 2^(1/2) = √(2) > 1.
Ergo: la funzione ha un massimo assoluto maggiore di 1.
Se facciamo il grafico di y = x^(1/x) – cosa facile al giorno d'oggi con qualsiasi computer – vediamo che y = x^(1/x) ha un solo massimo. Ossia: sale da 0 fino ad un massimo maggiore di 1 e poi scende asintoticamente verso 1.
Se leggo l'ascissa xM del punto di massimo e la corrispondente ordinata yM trovo:
xM ≈ (circa) 2,718282;
yM ≈ (circa) 1,444668.
Riconosco al volo che deve essere xM = [i]e/i] (base dei logaritmi naturali). Allora controllo che effettivamente yM = e^(1/e).
[Siccome x^(1/x) = e^ [ln(x)/x], trovo l'ascissa esatta xM del massimo annullando la derivata. Ricordando che la derivata di ln(x) è 1/x, la derivata di e^x è ancora e^x ... e ricordando la regole di derivazione di una funzione di funzione e quelle di derivazione di un prodotto di funzioni, trovo che la derivata di x^(1/x) è
[x^(1/x)]·[1/x^2 – (1/x^2)·ln(x] = –{[x^(1/x)]/x^2}·[ln(x) – 1].
Questa derivata si annulla per x tale che ln(x) = 1, cioè x =e ≈ 2,718281828459...

Naturalmente 1^1 = 1 .
Dunque:
a) Non ci sono valori di "s" – per accontentare nino280 – per i quali succeda che la successione
X(0) = s; X(n+1) = s^X(n) per ogni n naturale
converga ad un limite maggiore di e
b) Dato un y maggiore di 1 e minore di e^(1/e). sono due i valori di x per i quali x^(1/x) = y.
Per esempio, sia
y = <radice cubica di 3> = 3^(1/3) = 1,442249570307403 < e^(1/e) =1,444667861009763.
Ovviamente un valore di x è x2 = 3 > "e".
L'altro è x1 =2,47805268028830 < "e".
Provare a fare x2^(1/x2) per verificare che risulta proprio 3^(1/3).
Il valore di x1 < "e" tale che x1^(1/x1) = 3^(1/3) io lo trovo con Grapher facendo il grafico di
y = x^/1/x) – 3^(1/3).
Ecco qua:–––
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Ultima modifica di Erasmus : 15-01-18 00:45.
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Vecchio 14-01-18, 05:43   #2487
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Grazie Erasmus per non esserti arrabbiato quando me la sono presa con la kappa e per avermi per una volta tanto accontentato.
Sei un buono.
Ora puoi tornare ad usare le kappa. Non te lo chiederò più, promesso.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-01-18, 07:42   #2488
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https://s9.postimg.org/egsit9bfz/Radice_di_2.png



Io comunque continuo con quel discorso che ho iniziato ieri sempre per cercare di capire.
Questa volta invece di mettere la retta x = e
metto la retta x = radice di 2 e vedo cosa succede.
Ho pure continuato a scrivere due funzioni come ho fatto ieri una con numero di esponenti pari ed una con numero dispari.
Sembrerebbe che queste due funzioni dopo aver convergiuto nel punto1;1 sembrano convergere nel punto appunto radice di 2
Ma proprio così non è almeno in questi due grafici, perché se faccio uno zum nel mio disegno del grafico originale vedo che in quel punto si distaccano.
Allora il mio sospetto è, se aumento la cascata degli esponenti verso l'alto nel grafico delle due funzioni y, allora è probabile che i due grafici convergano appunto a x = radice di 2 e y = 2
Nell'esempio come si vede sono arrivato a y = 1,927
Però devo dire che dopo l'incontro i due grafici è facilissimo che riprendano a divergere.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 14-01-18 07:45.
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Vecchio 14-01-18, 14:13   #2489
nino280
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quello che farò ora è fare gli stessi grafici non più con l'applicazione Desmos (ma tu pensa c'è l'ho addirittura nei link della mia signature che l'avevo messo forse qualche annetto fa, forse due, ma che ho persino dimenticato di avercelo messo), voglio insomma provare con GeoGebra, e vedere cioè qualche azione "dinamica" nel grafico stesso. A rivederci dopo tentativo.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-01-18, 15:27   #2490
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
[...] dal tuo link, se leggi il commento di Xavier Quincy, [...] la successione converge quando x è compreso tra
(1 / e) ^ e
ed
e ^ (1 / e)
(cioè tra circa 0,065988... e 1,444667...)
ma non ho capito perché...
NO! Il confine inferiore dell'intervallo di convergenza non è (1/e) ^ e, bensì 0.
Non ho letto il commento di quel Xavier Quincy che nomini. Ma puoi controllare anche tu che la successione converge anche per x piccolo a piacere purché positivo.
L'intervallo di convergenza è precisamente:
0 < x ≤ e^(1/e).
Basta provare – e se non si può programmare basta porre X(0) =x e poi ripetere pazientemente la legge di ricorreza X(n+1) = x^X(n) – per constatare che è così, cioè che se x è compreso nell'intervallo
0 < x ≤ e^(1/e)
la successione converge, mentre se è x > e^(1/e) la successione diverge.

NB 1
Per x < 1 la successione viene oscillante. Quindi si accelera la convergenza se si sostituisce sistematicamente l'ultimo termine A(n+1) con la media tra lui ed il penultimo, cioè:
Non A(n+1) = x^A(n) bensì A(n+1) = [x^A(n)+ A(n)]/2.

NB 2
Se si accetta che sia 0^0 = 1 (uguaglianza accettata per esempio dai logici teorici dello studio delle funzioni discrete a variabile intera), allora per x = 0 si ha una succerssione oscillante tra 0 e 1 ... che non converge né diverge. Infatti allora abbiamo:
A(0) = 0; A(1) = 0^0 = 1; A(2) = 0^1 = 0; A(3) = 0^0 = 1; ...
e in generale i termini di indice pari valgono 0 e quelli di indice dispari valgono 1.
Se si parte da un x piccolissimo (solo un pelo maggiore di 0), si constata che i primi termini oscillano tra un pelo più di 0 ed un pelo meno di 1, e quindi è giusto, al limite, accettare 0^0 = 1 e 0^1 = 0 e conseguentemente la detta successione che si alterna tra 0 e 1.
Per esempio, per x =1/10000 (=un decimillesimo) si trova:
A(0) = 0,0001;
A(1) = 0,999079389984462;
A(2) = 0,000100851518125 > A(0);
A(3) = 0,999071554463604 < A(1;
A(4) = 0,000100858796621 > A(2);
...
Si nota, comunque, che i termini di indice pari crescono e quelli di indice dispari calano.
A lungo andare la successione converge. E converge ad un limite [positivo] tanto più piccolo quanto più x (positivo) è prossimo a zero.

Interessante è l'andamento della successione a seconda del valore di x (cioè del valore del termine iniziale). Precisamente:
• Se x (positivo) è minore di 1 la successione converge oscillando però attorno al limite (con scarto ovviamente sempre minore).
In tal caso è unico il valore k per il quale k^(1/k) = x < 1.
Sia, per esempio, x = 1/2. Allora la successione converge a k tale che k^(1/k) = 1/2, cioè:
k ≈ 0,641185744504985. [Verificare che (1/2)^0,641185744504985 ≈ 0,641185744504985].
Constatare che la successione è oscillante. Infatti i primi termini sono:
A(0) = 1/2 = 0,5; A(1) =(1/2)^(1/2) = √(2)/2 = 0,7071067811865... > A(0);
A(2) = (1/2) ^ [(1/2)^(1/2)] = 0,5^0,7071067811865... ≈ 0,612547326... < A(1);
Ecc..
• Se x è maggiore di 1 [e minore di e^(1/e)] la successione converge ed è monotòna crescente.
Per esempio, per x = 4/3 = 1,33333... si ha:
A(0) = 1.333333...;
A(1) ^ (4/3)^(4/3) ≈ 1,46752322... > A(0);...
A(2) = (4/3)^[(4/3)^(4/3)] = 1,33333... ^ 1,46752322... ≈ 1,5252832... > A(1);
...
A(∞) ≈ 1,571677270891759.
Constatare che 1,571677270891759^(1/1,571677270891759) ^ 1,3333333... = 4/3.
• Se è esattamente x = e^(1/e) la successione (che è monotona crescente) converge ad e.
Infatti allora converge a k tale che
k^(1/k) = e^(1/e) ⇒ k = e ≈ 2,718281828459045.
• Se x è maggiore di e^(1/e) ≈ 1,4446678610097 la successione (monotona crescente) diverge (verso +∞).
–––
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