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Vecchio 19-01-10, 11:31   #31
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
B2 * H2 = 90.000
B2 + H2 = 625
A questo punto io la soluzione la vedrei "a occhio", perché 625 è la somma dei due "quadrati esatti" 400 e 225, che moltiplicati danno 90.000 ...
Se però i numeri fossero un po' meno facili e piccoli, vedere "ad occhio" sarebbe un po' più arduo, non credi?

A dir il vero, il problemino era sì nel testo di matematica di 2ª media, mi ricordo che aveva numeri piccoli e facili, ... ma quei veri numeri non li ricordo più!
Ho allora provato a ricostruirlo partendo con una altezza relativa a uno dei lati uguali del tipo k*12. M'è venuto di colpo da pensare la base k*13, quindi il pezzo di lato prossimo alla base k*5 , da cui l'altro pezzo di lato k*(12^2 – 5^2)/(2*5) = k*119/10.
Per avere numeri interi dovevo prendere k almeno 10.
Allora il lato veniva L = 119+10*5 = 169
L'altezza relativa al lato veniva 10*12 = 120
La base veniva 10*13 = 130.
L'altezza veniva √(169^2 – 65^2) = 13*√13^2 –5^2] = 13*√(169–25) = 13*12 =156.

Mi son detto: no, i numeri erano più facili!

Sono ripartito con l'altezza relativa ad uno dei lati uguali del tipo k*4 , il pezzo di lato prossimo alla base k*3, la base k*5 e quindi l'altro pezzo di lato
k*(4^2 – 3^2)/(2*3) = k*7/6.

A questo punto mi andava da dio k=6 e quindi:
Base 6*5 = 30 (la tua 2B)
Altezza relativa ad uno dei lati uguali 6*4 = 24
Pezzo di lato prossimo alla base 6*3 = 18
L'altro pezzo di lato 6*(7/6) = 7
Lato (6*3 + 7) = (18+7) = 25
Altezza √[25^2 – (30/2)^2] = 5*√(5^2 – 3^2) = 5√(16) = 20 (la tua H).

E' molto probabile che i veri numeri di quell'esercizio fossero proprio questi.
Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
Mah, se chiamiamo H l'altezza, B la metà della base e L il lato, dal teorema di Pitagora abbiamo:
(B^2) + (H^2) = L^2
Nello stesso tempo abbiamo
(*) (B^2) * (H^2) = S
Abbiamo allora due numeri, B2 e H2 (ho semplificato la notazione)
di cui conosciamo la somma e il prodotto.
Questo è un classico problemino che si risolverebbe con un'equazione di 2° grado, ma se ci mettiamo dentro i numeri dati abbiamo:
B2 * H2 = 90.000
B2 + H2 = 625
A questo punto io la soluzione la vedrei "a occhio", perché 625 è la somma dei due "quadrati esatti" 400 e 225, che moltiplicati danno 90.000 ...
Occhio: la stelletta rossa tra parentesi (*) l'ho messa io.
A Miza: se è il risveglio che ti rincoglionisce, ... la pennichella pomeridiana è stata lunghetta, visto che hai 'postato' alle 17:50
Oppure lo fai apposta ... per farti voler bene (e simulare di non essere un alieno)?

Prima segni il quadrato d'una variabile X con X^2 (ma allora hai dimenticato l'esponente di S):
Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
(B^2) * (H^2) = S
Poi cambi simbologia:
Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
B2 * H2 = 90.000
B2 + H2 = 625
Ma soprattutto ... procedi da cani nell'impostare il sistema di equazioni nelle incognite B e H. Che bisogno c'è di quadrare la seconda che è "naturalmente" B*H = S ?
Ho capito: tu, sottintendendo posizioni del tipo x = B^2 e y = H^2, ti riporti al classico sistema di 2° grado simmetrico:
x + y = s {s come "somma"} and xy = p {p come "prodotto"}
[Per inciso: quadrando la prima e sottraendo il quadruplo della seconda hai:
x^2 + y^2 – 2xy = s^2 – 4p <=> |x–y| = √(s^2 – 4p)
e se metti l'ultima insieme ad x + y = s hai due sistemi lineari di 1° grado:
[x+y = s and x–y = √(s^2 – 4p)] or [x+y = s and x–y = –√(s^2 – 4p)].
Ma quando insegnavo io partivo dalle identità:
(t–x)*(t–y) = (t–y)*(t–x) = t^2 –(x+y)*t + xy
(dove ogni membro è nullo per t =x or t=y)
che, dato il sistema x+y = s and xy = p, portano all'equazione "di servizio"
t^2 – st + p = 0.
Fine dell'inciso]

Ma è ... "fuorviante" il ricondursi al modello x+y = s and xy = p nel sistema
X^2 + Y^2 = E^2
XY = P
[Non ti porta nel burrone; ma è un allungare scioccamente ( ) il percorso!
Hai subito (per somma e differenza membro a membro):
X^2 + Y^2 + 2XY = E^2 +2P <=> (X+Y)^2 = E^2 +2P <=> !X+Y| = √(E^2 +2P) = 35
X^2 + Y^2 – 2XY = E^2 – 2P <=> (X–Y)^2 = E^2 – 2P <=> !X – Y| = √(E^2 –2P) = 5
[Algebricamente hai 4 sistemi lineari, ossia 4 soluzioni: infatti il sistema è di 4° grado.
Ma geometricamente, imponendo X ed Y non negativi, ne hai due soli:
[X+Y = 35 and X–Y = 5] or [Y+X = 35 and Y–X = 5]

Da cui
{[2X = 40 and 2Y = 30] or [2Y = 40 and 2X = 30]} <=>
<=> {[X = 20 and Y = 15] or [Y = 20 and X = 15]}

E vedi che ritorniamo alla sostanza: risolvere il problema comporterà il fare 2 radici quadrate, ma di numeri più piccoli di quelli del tuo metodo.

Ricordiamo che X era la mezza–base B e Y era l'altezza H.
La 1ª soluzione è quella del triangolo ottusangolo: Base 40 cm e Altezza 15 cm.
La 2ª soluzione è quella del triangolo ocutangolo: Altezza 20 cm e Base 30 cm.

Rispunta dunque la proprietà menzionata in fondo al mio paper:
«Due triangoli isosceli con stessa area e stessi "latii uguali" [sono] uno acutangolo e l'altro ottusangolo[; e] verificano la proprietà:
«La base di uno di essi è il doppio dell'altezza dell'altro»
,
cosa che il bambino di 2ª media verifica di colpo partendo da due triangoli rettangoli uguali (con cateti non uguali) e giustapponendoli una volta per il cateto breve (costruendo un triangolo isoscele ottusangolo) ed un'altra per il cateto lungo (costruendo un triangolo isoscele acutangolo).
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 19-01-10 16:49.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-01-10, 20:40   #32
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Io ero partito nella notte di avanti ieri attaccando il problema con l'argomento a te tanto caro (Erasmus) sulle terne pitagoriche. Non ci sono tante terne pitagoriche con ipotenusa 25.
Dovevano per forza essere numeri piccoli e naturalmente più piccoli di 25.
Con ipotunusa di 25 (com'è che le chiami primarie?) c'è solo 7;24;25 ed infatti è il primo teorema di pitagora da te svolto.
Poi abbiamo 15;20;25 (soluzione del problema) ed ancora 18;24;30 che altro non sono secondarie della prima terna pitagorica 3;4;5 , ma mentre mi accingevo a fare queste prove, zacchete ieri mattina o era stamattina, ho letto la soluzione del problema, non so, confesso, dove sarei arrivato su questa strada. Poi vedendo la soluzione, è disarmante la semplicità.
A proposito come si chiama in geometria l'incontro delle altezze di un triangolo. l'ho dimenticato, non il baricentro per quello sono sicuro è l'incontro delle bisettrici, deve essere o incentro, o ortocentro.
Ed ancora a proposito che fine ha fatto il secondo quesito quello della sbarra che io, no non diciamo ho risolto, con tre penne sul tavolo. Almeno Erasmus dimmi: Nino hai detto una emerita cavolata
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 19-01-10 21:00.
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Vecchio 19-01-10, 20:54   #33
Mizarino
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
A proposito come si chiama in geometria l'incontro delle altezze di un triangolo. l'ho dimenticato, non il baricentro per quello sono sicuro è l'incontro delle bisettrici, deve essere o incentro, o ortocentro.
Il baricentro è l'incontro delle mediane.
L'incontro delle altezze, dato che queste sono ortogonali ai lati, dovrebbe essere l'ortocentro.
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Vecchio 19-01-10, 21:10   #34
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Allora ricordavo proprio malissimo.
Per esclusione, l'incentro è l'incontro delle bisettrici.
E pensare che ho persino fatto questo semplicissimo esperimento, dopo aver ritagliato un cartocino a triangolo ne avevo tracciato, certo le mediane, bucato l'incontro con uno spillo ed appeso ad una porta. Comunque giravo il cartoncino, rimaneva fermo in equilibrio. Come vedi tutto si dimentica.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 19-01-10 21:20.
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Vecchio 19-01-10, 22:27   #35
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Qualche riflessione

D'accordo, Erasmus, questo era un problema per bambini di seconda media.
Quindi, considerando anche l'ambiente dell'insegnamento da cui provieni, prendo atto che la soluzione avrebbe dovuto passare dalla multipla applicazione del teorema di Pitagora.

Però, prescindendo dal caso in esame, sono convinto che la cosa più importante, direi quella fondamentale, in qualsivoglia questione è arrivare alla soluzione corretta: questo almeno ho sempre cercato di applicare nella mia vita lavorativa.

Non è importante per me come uno ci arriva, l'essenziale è il risultato giusto, talvolta anche solo approssimato (supportato da ragionamento e logica).

Per questo, a scuola ho sempre guardato con fastidio (che ancora m'è rimasto), ad es. le lunghe espressioni algebriche o letterali, esercizi complicati ad arte con l'unico scopo, penso io, di innervosire e far odiare la matematica agli studenti. Unitamente ad altre amenità e dimostrazioni che mai il 99% delle persone avrebbe dovuto poi affrontare nella vita.

Comunque, questo è solo il mio pensiero.

Ricordo, quarant'anni fa lavorava nel mio laboratorio un analista chimico che proveniva dall'agricoltura (risaia) e aveva fatto solo le elementari (+ il corso serale da analista chimico alla Montedison): già allora mi divertivo a proporre problemini e quiz, e l'unico che riusciva sempre a risolverli era proprio lui, con metodi e ragionamenti mentali che spesso faticavo a capire. C'erano anche diplomati ed un paio di neo-laureati e spesso, niente: intere pagine di formule e poi risultati irrimediabilmente sbagliati.
Ho sempre ritenuto che quella fosse la vera intelligenza.

P.S_1 Erasmus, comunque, nel tuo problema, la mia soluzione (messaggio 19, pag.2) è ineccepibile e di disarmante facilità e comprensione.

P.S_2 Anche questo potrebbe essere un problemino di seconda media:
---------------------------------------------------------------------------------
Una partita di uva pesa 90 chili; si sa che il 90% di tale peso è acqua.
Dopo 24 ore, a causa dell'evaporazione, l'acqua sarà solo l'80% del peso.
Quanto peserà tale partita dopo 24 ore?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-01-10, 00:18   #36
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

@ Nino I
• Asse di un segmento è la retta ad esso perpendicolare per il suo punto medio.
Gli assi [dei tre lati] di un triangolo passano per uno stesso punto che si chiama circocentro (perché è il centro del cerchio circoscritto). Vuol dire che il circocentro – punto d'incontro dei tre assi – è equidistante dai tre vertici.
• Bisettrice di un angolo è la retta per il suo vertice che divide l'angolo in due angoli uguali. Le bisettrici [dei tre angoli] d'un triangolo passano per uno stesso punto che si chiama incentro perché è il centro del cerchio inscritto. Vuol dire che l'incentro – punto di incontro delle tre bisettrici – è equidistante dai tre lati.
• Mediana di un triangolo è una retta per un suo vertice e per il punto medio del lato opposto a quel vertice. Le tre mediane d'un triangolo passano per uno stesso punto che si chiama baricentro [non perché stia rispetto al triangolo come sta il centro di Bari rispetto a questa città, ma] perché, associando a qualsiasi porzione del triangolo una massa proporzionale all'area della porzione (come nello schema di un lamierino triangolare sottile a spessore e densità uniformi), il "centro di massa" [o "baricentro" = "centro di gravità", dal greco barùs = pesante] del triangolo così materializzato coincide con l'intersezione delle sue tre mediane.
• Altezza di un triangolo è una retta per un vertice perpendicolare (= "ortogonale") al lato opposto a quel vertice. Le tre altezze [di un triangolo] passano per un medesimo punto che sia chiama ortocentro [ma che non ha niente a che fare con il centro dell'orto, dove ci sta il verde melograno – dai bei vermigli fior].
NB: Ortogonale viene dal greco: Orthòs (= retto, dritto, giusto) + Gonùs (=ginocchio, angolo).
[ "Ortogonale" = "che fa angolo retto"; "Ortodossia" = "retta dottrina, giusta, non erronea".]

In generale tre rette a, b, c – definite chissà come, ma nessuna parallela a una delle altre due – si incontrano "a due a due", ossia in tre punti (a,b), (b,c), (c,a). Solo in casi particolari si incontrano tutte e tre in un punto solo.

• Che i tre assi d'un triangolo si incontrino tutti e tre in un punto (il circocentro) è evidente (quasi!). Memento: l'asse di un segmento è la retta ad esso perpendicolare nel suo punto medio. Tutti i punti di un asse (e solo essi) sono equidistanti dagli estremi del rispettivo segmento. Siano A, B e C i vertici del triangolo; AB, BC e CD i lati; z, x e y i rispettivi assi. Tutti i punti di z sono equidistanti da A e B; tutti i punti di y sono equidistanti da A e C. Allora, il punto di di incontro di z con y, è equidistante da A e B perché appartiene a z ed equidistante da A e C perché appartiene ad y. Ma allora è equidistante da B e C, e quindi appartiene anche ad x, ossia per lui passa anche l'asse x.

• Analoga è la dimostrazione che le tre bisettrici si incontrano in un punto (l'incentro).
Tutti i punti di una bisettrice (e solo essi) sono equidistanti dai lati-semirette del rispettivo angolo. Siano ora: X, Y e Z i tre vertici; XY, YZ e ZX i tre lati; x, y e z le bisettrici dei rispettivi angolo in X, Y e Z. Il punto di intersezione delle bisettrici x ed y è equidistante da XY e ZX in quanto appartiene alla bisettrice x dell'angolo in X; è anche equidistante da YZ e XY in quanto appartiene pure alla bisettrice y dell'angolo in Y. Allora è equidistante da ZX e YZ, e perciò deve appartenere anche alla bisettrice z dell'angolo in Z.

• Anche che le tre mediane si incontrano tutte e tre in un punto e che questo è il "baricentro" (in senso meccanico) si dimostra facilmente. Immagina il triangolo composto di striscioline elementari tutte parallele ad un lato. La mediana per il vertice opposto e per il punto medio di quel lato taglia a metà tutte le striscioline. Quindi, materializzando come un lamierino a densità e spessore (sottilissimo) uniformi il triangolo e disponendolo lungo quella mediana su uno spigolo orizzontale, la metà da una parte fa equilibrio alla metà dall'altra parte. Perciò in "baricentro" del triangolo materializzato sta su quella mediana. Ma il discorso vale per ogni mediana. Quindi in "baricentro" (in senso meccanico) deve stare su tutte e tre le mediane (ossia le mediane si incontrano tutte e tre nel baricentro).
Anche che, su ciascuna mediana, il baricentro dista dal vertice il doppio di quanto dista dal punto medio del lato opposto si dimostra facilmente. Supponiamo di cambiare schema di materializzazione: prendiamo tre masse puntiformi uguali (diciamole tutte uguali ad m) e collochiamole nei vertici del triangolo. Dove sta il baricentro delle tre masse uguali e collocate nei vertici? Per saperlo, ragioniamo così: il baricentro di due di queste tre masse uguali sta nel punto medio del segmento ai cui estremi stanno le due masse. Non cambia, allora, la posizione del baricentro delle tre masse se ne mettiamo due appiccicate tra loro nel punto medio del lato di cui erano agli estremi. Il baricentro del nuovo sistema sta evidentemente sulla retta che congiunge il vertice dove sta la terza massa m con il punto medio del lato opposto dove sta la coppia di massa 2m. Quindi sta su una mediana. Non solo: ma la sua distanza dal vertice dove ci sta una sola m è doppia della distanza dal punto medio del lato opposto dove ci sta la coppia di massa 2m. Il discorso vale per tutte e tre le mediane. Dunque, il baricentro di tre masse uguali poste nei vertici è pure il punto d'incontro delle mediane, quindi coincidente col baricentro del triangolo-lamierino; e divide ogni segmento-mediana in due parti, una [quella dalla parte del vertice] doppia dell'altra [quella dalla parte del lato opposto].
Ne segue che, in coordinate cartesiane, il baricentro del triangolo di vertici (nello spazio) V1 =[x1, y1, z1]; V2 = [x2, y2, z2]; V3 =[x3, y3, z3]
sta nel punto G di coordinate:
xG = [2m*(x1 + x2)/2 + m*x3]/(2m + m) = (x1 + x2 + x3)/3;
yG = [2m*(y1 + y2)/2 + m*y3]/(2m + m) = (y1 + y2 + y3)/3;
zG = [2m*(z1 + z2)/2 + m*z3]/(2m + m) = (z1 + z2 + z3)/3.
Se siamo nel piano di coordinate x ed y, basta pensare z=0 per ogni vertice per ottenere la stessa cosa e quindi zG =0, ossia anche il baticentro sta nel piano (e zG = 0 è superfluo).

• Meno immediato è il fatto che anche le tre altezze si incontrano tutte e tre in un punto (l'ortocentro). Ma è facile dimostrarlo ... con il trucco seguente!
Per ciascun vertice del triangolo ABC tracciamo la parallela al lato opposto. Le tre nuove rette si incontrano a due a due definendo così un altro triangolo più grande (un triangolone composto da quattro triangoli uguali, dei quali quello di partenza ABC sta al centro). Ora succede che il vertice per il quale è stata tracciata la parallela al lato opposto diventa il punto medio del lato del triangolone che ha gli estremi su questa retta. Sicché gli assi di questo triangolone (di area 4 volte l'area di quello ABC di partenza) coincidono con le altezze del triangolo di partenza ABC. Sappiamo che gli assi del triangolone si incontrano nel suo circocentro: e dunque sono le tre altezze del triangolo ABC di partenza ad incontrarsi tutte e tre nel circocentro del triangolone; il quale circocentro del triangolone è appunto l'ortocentro del triangolo ABC di partenza.
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Vecchio 20-01-10, 04:31   #37
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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Una partita di uva pesa 90 chili; si sa che il 90% di tale peso è acqua.
Dopo 24 ore, a causa dell'evaporazione, l'acqua sarà solo l'80% del peso.
Quanto peserà tale partita dopo 24 ore?


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Una partita di uva pesa 90 chili; si sa che il 90% di tale peso è acqua.
Dopo 24 ore, a causa dell'evaporazione, l'acqua sarà solo l'80% del peso.
Quanto peserà tale partita dopo 24 ore?
Supposto che evapori solo acqua, se l'acqua è tot per cento, la non-acqua è (100 – tot) %.

Inizialmente la non-acqua dell'uva è (100 – 90)% del tutto = 10% dei 90 kg = 9 kg.
Dopo l'evaporazione, questa parte è rimasta la stessa, cioè ancora 9 kg.
Ma ora l'acqua è l'80% di tutta l'uva, e quindi questi 9 kg sono il 20% del tutto, il quale è dunque 100 ventesimi dei 9 kg, ossia (100/20)*9 = 45 kg.
-------------------------------------------------------
In generale, se inizialmente la massa è m1 di cui la frazione evaporabile è k1 e successivamente la massa è m2 di cui la frazione ancora evaporabile è k2, la costanza della parte non evaporabile impone:
(1 – k2) m2 = (1 – k1) m1.
Da cui:
m2 = [(1 – k1)/(1 – k2)] m1.

Con i dati del nostro caso, ossia k1 = 0,9 e k2 = 0,8, ricaviamo appunto

m2/m1 = [(1–0,9)/(1–0,8)] = (0,1/0,2) = 1/2. [Quantità finale metà di quella iniziale].

-------------------------------------------------------
Tornando al quiz, col suo testo:
In 24 ore sono evaporati 45 kg di acqua degli 81 kg iniziali, ossia più del 55% della umidità iniziale.
Mi sembra un po' troppo per sole 24 ore!
[Sempreché non si usino essiccatori artificiali in opportune camere climatiche, come nella moderna produzione di "uva sultanina"].

Ma basterebbe dire che l'uva è "uva da passire" e mettere 3 mesi al posto di 24 ore per avere un testo credibile anche nel pratico reale quotidiano

A proposito, so per certo che in Valpolicella (famosa per i vini, specialmente per lo storico "recioto" di cui l'amarone è solo la recente denominazione di una varietà stagionata un mese in più e diversamente climatizzata, ma di molto poco), quelli che si fanno il "recioto" in casa lasciano "passire" (ed essiccare) spontaneamente l'uva "da recioto" dalla vendemmia fino all'epifania (oltre 3 mesi) distesa su apposite grate di canna (dette "arèle") in locali non riscaldati ma protetti da eccessivi sbalzi di temperatura.
Alla fine il peso dell'uva è di molto diminuito, ma rimane ancora maggiore della metà del peso iniziale.
----------------------------


---------
P.S.
Vedo ora che anche Astromouh aveva risolto il quiz.
Bravo l'astrologo, eh!?

Però: vedo anche che mi attribuisce le tabelle 'postate' da "aspesi" (mettendole in una citazione di "Erasmus" ).
Astromauh: correggi un po' 'sto "falso in atto pubblico"!
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Ultima modifica di Erasmus : 20-01-10 09:32.
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Vecchio 20-01-10, 11:25   #39
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
aspesi
Una partita di uva pesa 90 chili; si sa che il 90% di tale peso è acqua.
Dopo 24 ore, a causa dell'evaporazione, l'acqua sarà solo l'80% del peso.
Quanto peserà tale partita dopo 24 ore?


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Quote:
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Supposto che evapori solo acqua, se l'acqua è tot per cento, la non-acqua è (100 – tot) %.
Inizialmente la non-acqua dell'uva è (100 – 90)% del tutto = 10% dei 90 kg = 9 kg.
Dopo l'evaporazione, questa parte è rimasta la stessa, cioè ancora 9 kg.
Ma ora l'acqua è l'80% di tutta l'uva, e quindi questi 9 kg sono il 20% del tutto, il quale è dunque 100 ventesimi dei 9 kg, ossia (100/20)*9 = 45 kg.
OK

Adesso un problemino leggermente più complesso.
Ci sono 10 bambine, sistemate in circolo.
Ciascuna di esse sceglie un numero di suo gradimento e lo sussurra all'orecchio delle due compagne a lei adiacenti.
In pratica, ogni bambina comunica un numero e ne riceve due.
A questo punto, ciascuna bambina annuncia a voce alta la media dei due numeri che ha ricevuto.
Tu, che sei presente, senti così che i numeri detti in ordine attorno al circolo sono:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6- 7 - 8 - 9 - 10

Quale numero ha scelto la bimba che ha annunciato il numero 6?


Ultima modifica di aspesi : 20-01-10 11:30.
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Vecchio 20-01-10, 11:48   #40
Mizarino
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Tanto per non scervellarsi inutilmente, lo zero è incluso o no fra le possibilità ?
Mizarino non in linea   Rispondi citando
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