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Vecchio 01-09-19, 13:39   #1451
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Erasmus...
e pretendi che qualcuno ti risponda qua
dopo che nessuno ti ha risposto qui ?
––>https://www.matematicamente.it//User...?f=40&t=189673
Mi ero dimenticato di aver "postato" una volta in "matematicamente.it" lo stesso quiz!
Là ... c'è gente con la puzza sotto il naso!
Non si degnano di scendere a livelli di scuola aecondaria!
Adesso, però, che mi hai indotto ad andar a vedere là, noto che la procedura che avevo in mente là era quella di ricorrere alla geometria analitica, ossia: trovare le coordinate dei vertici di un tetraewdro con quegli spigoli e poi scrivere l'equazione della sfera che passa per quei 4 punti.

Ma ora ho in mente un procedimento tutto geometrico, senza geometria analitica.
Bisogna però riuscire a conoscere un angolo diedro, uno degli angoli fatti da due facce che hanno in comune un certo spigolo.
Dalla conoscenza delle lunghezze degli spigoli si possono trovare gli angoli di ogni faccia, in particolare i tre angoli con il vertice comune in un vertice del tetraedro. E da questi angoli si possono ricavare gli angli diedri
Di questo dirò in un successivo "post" ad hoc.
Poi metterò io stesso il procedimento che ora ho in mente (e che mi pare "furbo"!) .
Vedrai che è qualcosa di comprensibile anche per i frequentatori di questa sezione di Coelestis!

Intanto te lo accenno.
Basta un po' di attenzione per precisare e tener poi presente il significato di alcuni simboli convenzionali.
1) Il piano che contiene una faccia del tetraedro taglia la sfera circoscritta in un cerchio che è quello circoscritto al triangolo che è quella faccia.
2) Di questa faccia è facile sapere il raggio del cerchio circoscritto (prodotto dei tre lati diviso il quadruplo dell'area) e quindi anche la distanza del circocentro da uno spigolo. Lo stesso possiamo fare per la faccia con quello spigolo in comune.
Il centro della sfera circoscritta sta ad una certa profondità sotto al circocentro di una faccia (profondità che dipende dalla faccia).
3) Allora il piano perpendicolare a questo spigolo [comune a due certe face] per il suo punto medio – diciamolo M – passa sia per i circocentri – diciamoli H e K – delle due facce con quello spigolo in comune e per il centro della sfera – diciamolo O–.
4) In questo piano abbiamo il quadrilatero OHMK con due lati consecutivi – HM e MK – che sono le distanze dei circocentri delle due facce dallo spigolo comune; e questi due lati formano l'angolo HMK che è l'angolo diedro con quello spigolo. I due angoli nei vertici H e K sono angoli retti – OHM e OKM ) – e il quarto vertice (opposto al punto medio M dello spigolo prescelto) è il centro O della sfera circoscritta.
5) Ricapitolando, uopponiamo dunque che lo spigolo prescelto sia quello di lunghezza a, che il suo punto medio sia M, che i circocentri delle due facce con quello spigolo in comune siano rfispettivamente H e K e che il centro della sfera sia O.
Allora il quadrato del raggio della sfera circoscritta – diciamolo R, raggio che è la distanza di O da un vertice qualunque– verifica quanto segue:

R^2 =OB^2 =BM^2 + MO^2 = (a/2)^2 + MO^2 =
= (a/2)^2 + MH^2 + HO^2 = (a/2)^2 + MK^2 +KO^2.

Il problema di determinare R è ricondotto a quello di calcolare l'angolo diedro HMK e. noto questo e le lunghezze HM e KM, a quello di determinare HO e KO
–––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 01-09-19 15:03.
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Vecchio 01-09-19, 15:21   #1452
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
«Detta S l'area del triangolo ABC i cui lati hanno le seguenti lunghezze:
BC = a;
CA = b;
AB = c,
verificare che la comune distanza d dell'intersezione degli assi del triangolo da ciascun vertice vale
d = (abc)/(4S)
ignorando ogni nozione relativa al cerchio.»
La verifica – ossia far vedere che "d = (abc)/(4S)" è giusto – è facile..
Piuttosto laborioso, invece, è trovare che d = (abc)/(4S) (senza ipotizzare in partenza questa precisa espressione di d)
Per comodità (e chiarezza) di scrittura, mostro la verifica in un nuovo "paperino" ad hoc. (dve "paperino" significa little paper, ossia un artcoletto, un temino, un breve documento).

Adesso vado a farlo.
Poi verrò qua a modificare per inserire qua l'immagine del "paperino"

Au revoir ici!
Hasta la vista aaui!

–––

==================
Eccomi ritornato!
Ho editato per inserire qua il "paperino" come promesso.
Tel chì!
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Ultima modifica di Erasmus : 02-09-19 00:51.
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Vecchio 01-09-19, 17:24   #1453
ANDREAtom
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Per la gioia di AndreAtom (finalmente la potrà vedere in diretta) ecco la piramide tutta intera.
Sono a metà del lavoro immaginato questa notte.
Ho già marcato il Circocentro F, la circonferenza che circoscrive la base, nonché la retta cui presumibilmente "ospiterà" il centro della sfera.

Per Erasmus, ti ho letto una sola volta e anche di sfuggita. Se vuoi, ti posso dare tutti gli angoli diedri che vuoi, mi sembra che tu lo accennavi.
https://i.postimg.cc/K8vb2bJB/Piramide-Piramide.png

Sono ritornato sui miei passi ed ho costruito la piramide come avevo pensato inizialmente e cioè di spigoli 10 11 12 13 14 15


Si la vedo, però io vorrei sapere come si fa poi a togliere la sfera da la dentro...
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Vecchio 02-09-19, 02:00   #1454
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

@nino 280

Per quanto belli possano essere i tuoi disegni non c'entrano un fico con i due quiz che ho posto ultimamente.
Perché mi "inquini" la discussione?
Possibile che non te ne renda conto?
I tuoi bei disegni potresti farli in un'altra discussione (magari aperta apposta)!
A volte non ti capisco proprio!

Mi cito perché tu possa rivedere i due quiz che ho posto ai quali nessuno ha ancra risposto (tranne io stesso!).
Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
«Detta S l'area del triangolo ABC i cui lati hanno le seguenti lunghezze:
BC = a;
CA = b;
AB = c,
verificare che la comune distanza d dell'intersezione degli assi del triangolo da ciascun vertice vale
d = (abc)/(4S)
ignorando ogni nozione relativa al cerchio
:
A questo ho appena risposto con un "paperino" scritto apposta.
Lo faccio vedere anche qua:
Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Di qusto quiz darò pure spiegazione.
Ho già detto che bisogna conoscere un angolo diedro partendo dalla conoscenza degli spigoli.
E ho promesso che spiegherò come si trovano gli angoli diedri conoscendo gli angoli delle facce (e che questa è una utilissima nozione di geometria sferica).
Prossimamente farò proprio questo (che, però, credo di aver già fatto in un lontano passato!)
–––––––––––
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Vecchio 17-09-19, 14:11   #1455
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Metto un quiz di "Analisi" [algebrica] – preso da "matematicamente.it" dove è apparso ormai molto tempo fa – che, a prima vista, sembra difficile; ma pensandoci si capisce che invece è abbastanza facile.
Per nino280 (che , pur essendosi diplomato "perito industriale" ha dimenticato il calcolo integrale [o meglio: appena ha potuto l'ha volutamente rimosso!] ... e per chiunque altri non abbia voglia di impegnarsi a risolvere un integralino, anticipo che
"La primitiva (*) nulla in x=0 della funzione y = x·e^x è
F(x) = (x – 1)·e^x + 1.

Infatti questa funzione vale 0 in x = 0 e – siccome la derivata di e^x è ancora e^x – la derivata di
F(x) = x·e^x – e^x + 1
è
e^x + x·e^x – e^x + 0 = x·e^x =y,
[Nota (*)] Data una funzione – diciamola y = f(x) – una "primitiva" di questa è un'altra funzione – diciamola F(x) la cui derivata è la funzione data.
Ossia.
"F(x) è una primitiva di f/x)" equivale a "la derivata di F(x) è f(x)" ossia
f(x) = dF/dx.

Ecco il quiz:
Sia y = f(x) la funzione di x tale che:
f(x)·e^f(x) = x.
Calcolare l'integrale I di f(x) da 0 a 1.

Cioè, detta F(x) una primitiva di f(x):
Codice:
                           1
I = F(1) – F(0) = f(x)dx   ???
                          0
––––––––


P.S.
Questo quiz m'ha fatto pensare ad un caso particolare del problema di trovare una procedura atta a risolvere per approssimazioni successive un'equazione trascendente.
Ecco il caso particolare.
Sia a un reale maggiore di 1 e sia k un reale positivo.
Supposto di avere una calcolatrice NON PROGRAMMABILE ma capace di calcolare, dati a ed x, il valore di a^x, trovare una semplice procedura che risolva l'equazione in x:
x·a^x = k.
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Vecchio 18-09-19, 10:38   #1456
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
0,25
Ciao
Da dove viene questo numero?
L'hai sparato a caso?

Comunque, è sbagliato!
–––––

Riflettere un po' su quel che segue!

1) Se F(x) è una primitiva di f(x) allora l'intewgrale di f(x) da x=a a x=b > a vale
I(a, b) = F(b) – F(a).

2) Supponiamo che una certa funzione (che per convenienza chiamo x = g(y) s, ossia rovesciando gli abituali simboli) sia sempre ccrescente tra y = 0 e y = 1 ... e di essa si conosca una primitiva G(y).
Allora
a) L'integrale di g(y) tra 0 e 1 vale G(1) – G(0).
b) Anche se non so l'epressione esplicita della funzione inversa – diciamola y = f(x) –, anche se questa non ha nemmeno un nome, cedrtamente c'è. E il suo grafico lo ottengo da quello di x=g(y) semplicemente scambiando tra loro ascisse e ordinate.
c) Anche se non si può fare direttamente l'integrale dell'inversa y = f(x) [perché non si ha la sua espressione esplicita), questo si può calcolare ragionando sul fatto che un integrale definityo è uguale all'area cghe sta tra il grafico e il sottostante segmento della retta delle ascisse.

3) Nell'esercizio che ho preso da matematicamente.it, il dire che f(x) è la funzione per la quale
f(x)·e^f(x) = x
significa che y = f(x) è la funzione inversa (senza nome e senza poterne dare l'espressione esplicita) della funzione x = g(y) = y·e^y.
Una primitiva di questa è
G(y) = y·e^y – e^y
(come si verifica subito derivando G(y) rispetto ad y).
In particolare viene G(0) = –1 e G(1) = 0. Perciò anche
G(1) – G(0) = 0 – (–1) = 1.

4) Si verifica anche subito che per y = 0 si ha
g(0) = 0·e^0 =0
mentre per y = 1 si ha
g(1) = 1·e^1 = e.
Ciò significa che, pur non conoscendo f(x) si sa che
y(0) = f(0) = 0
e y(e) = f(e) =1.
Allora l'area tra il grafico e la retta delle x tra x=0 e x=e è la differenza tra l'area del rettangolo di vetici
(0,0, (e, 0), (e, 1), (0, 1)
(che ovviamente vale "e") e l'area tra il grafico e la retta delle y tra 0 e 1 [area che vale l'integrale di x =g(y) = y·e^y tra 0 e 1, il quale vale G(1 – G/0) che fa 1].

In formula:
Codice:
  e                       1
f(x) dx  = e·1 – y·e^y dy  = e – [G(1) – G(0)]  = e – [0 – (–1)]1 = e – 1.
0                        0

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Vecchio 22-09-19, 08:59   #1457
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

La figura qui sotto rappresenta un generatore elettrico con tensione a vuoto E e resistenza di uscita Rg caricato su un resistore di resistenza Rl,

Sul resistore di carico insiste dunque la tensione
V= [Rl/(Rg+ Rl)]·E
e la corrente che lo percorre è
I= V/Rl = E/(Rg + Rl).
La potenza erogata dal generatore sul carico è ovviamente:
P = V·I.
Fisse restando la tensione a vuoto E e la resistenza d'uscita Rg del generatore elettrico, determinare per quale resistenza Rl del carico è massima la potenza erogata su di lui dal generatore senza far uso del calcolo differenziale.
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Ultima modifica di Erasmus : 22-09-19 21:34.
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Vecchio 22-09-19, 18:41   #1458
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Incollo la risposta che ho dato nell'altro forum...

A occhio e croce quando le due resistenze sono uguali.

Diciamo che equivale a cercare quando è massima la funzione P = X/[(1+X)^2], dove in unità arbitrarie E=1 e Rg = 1.

Infatti...

Mettiamo che X sia 1: abbiamo P=1/4 = 0.25
Mettiamo che X sia 1.1: abbiamo P = 1.1/2.1^2 = 0.2494...
Mettiamo che X sia 0.9: abbiamo P = 0.9/1.9^2 = 0.2493...

Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-09-19, 11:46   #1459
ANDREAtom
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Confermo quanto detto da Mizarino.
Senza ricorrere a calcoli matematici, la massima potenza trasferita dal generatore al carico si ha quando la resistenza interna del generatore e la resistenza del carico sono uguali; si chiama adattamento di impedenza.
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Vecchio 23-09-19, 16:54   #1460
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Sempre senza ricorrere a calcoli matematici c'è un modo pratico molto preciso e veloce per determinare quanto vale la resistenza interna del generatore.
Utilizzare come resistenza di carico R1 una resistenza variabile e regolarla fino a che la tensione che era presente a vuoto (in assenza di carico) all'uscita del generatore non si dimezza; a questo punto basta misurare il valore assunto dalla resistenza di carico è questo è anche l'esatto valore della resistenza interna del generatore.
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