Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[astromauh]

Erasmus

Dalla (*) per G = N/5 viene:
20·N – 75·N/5 = 1500 ––> 20·N – 15·N = 1500 ––> 5·N = 1500 ––> N = 300.
Con ciò, riprendendo G = N/5, si ha G = 300/5 ––> G = 60.

Ma non è che ti sei mangiato un'equazione?

Non capisco il passaggio che ho quotato.

Perché 20·N – 75·N/5 dovrebbe essere uguale a 1500 ?

In effetti è proprio così, e il numero di polli che tu chiami N è 300,
ma come ci sei arrivato?


Io ho risolto il quiz considerando tre incognite e tre equazioni:

• M= P * G
• M= (P-75) * (G+20)
• M= (P+100) * (G-15)

Dalle ultime due equazioni ottengo che

PG + 20P -75G -1500 = PG -15P + 100G -1500

per cui eliminando PG -1500 da ambo i lati dell'equazione

20P - 75G = -15P + 100G

P= 5G

Per cui M= P * G = 5G^2

e sostituendo P con 5G nella seconda equazione

M= (P-75) * (G+20)

5G^2 = (5G-75) * (G+20)

5G^2 = 5G^2 + 100G -75G -1500

25G= 1500

G= 60

P= 5 * 60 = 300

[Erasmus]

astromauh

Ma non è che ti sei mangiato un'equazione?

Non capisco il passaggio che ho quotato.

Oh bella!
Ho spiegato tutti i passaggi!
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In generale, se hai l'uguaglianza tra tre cose concettualmente distinte, (diciamole A, B e C), ossia
A = B = C
puoi scrivere due equazioni indipendenti (nel senso che una non puoi ricavarla dall'altra), per esempio:
A = B;
A = C.
La terza (B = C) viene di conseguenza (ossia: non è indipendente dalle due già scritte).
[Proprietà transitiva della relazione di uguaglianza: « Se (X=Y) e (Y = Z), allora (X = Z) » ]

Sempre in generale, da due equazioni in due incognite ricavi una incognita come espressione dell'altra e quindi, per sostituzione, da due equazioni in due incognite puoi ricavare una equazione in una sola incognita.
La risolvi e hai il valore di questa incognita.
Sostituisci questa incognita col valore trovato in una equazione in due incognite e hai una nuova equazione nella sola altra incognita ( che, risolta, ti dà il valore della seconda incognita).
––––––––
Con questa specie di freccia "––> " intendevo il passaggio da una equazione alla successiva implicata dalla precedente (semplificando e manipolando con i due principi di equivalenza algebrica).
[NB: I due principi di equivalenza algebrica sono:
I. Aggiungendo o togliendo la stessa quantità arbitraria ad entrambi i membri di una equazione si ottiene un'altra equazione equivalente alla precedente.
II. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per la stessa quantità arbitraria purché diversa da zero (*) si ottiene un'altra equazione equivalente alla precedente.
Per esempio, dall'equazione
x·y = (x+a)·(y+b)
(di 2° grado nelle due incognite x e y), svolgendo il prodotto a destra (con la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma) hai:
x·y = x·y + x·b + a·y + a·b.
Allora puoi sottrarre ad entrambi i membri la quantità x·y ottenendo un'equazione di 1° grado equivalente a quella data (apparentemente di 2° grado).
0 = x·b + a·y + a·b.
Da questa, leggendo da destra a sinistra, sottraendo poi ad entrambi i membri a·b ed essendo il prodotto commutativo (e quindi x·b = b·x), ricavi:
b·x + a·y = – a·b.
Occhio: sono di questo tipo i passaggi che dici di non aver capito (dove tiri in ballo il numero 1500, [che è tanto –15·N + 100·G quanto 20·N – 75·G]).

(*) Se si moltiplica tutto per 0 si ottiene sempre un'uguaglianza vera, anche partendo da una falsa.
Per esempio 4 = 6 è falso ––> k·4 = k·6 è sempre falso purché sia k ≠ 0 se no 0·4 = 0·5 è vero, e quindi non equivalente a 4 = 6 che è falso.
A = B è equivalente a A/k = B/k purché sia k ≠ 0, dato che per k=0 occorrerebbe dividere per 0, cosa impossibile (e senza senso)
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Se rivedi il mio percorso, t'accorgi che è identico a quello tuo che spieghi adesso.

La sola differenza è che sono partito di colpo dal fatto che la durata in giorni del mangime è inversamente proporzionale al numero di polli alimentati.

Se [come hai indicato tu] diciamo M la quantità di mangime disponibile e poi diciamo R la "razione" di mangime per pollo e per giorno (e ancora G il numero di giorni e N il numero di polli) si ha in generale:
M = R·N·G.
Allora, sapendo che se i polli fossero N – 75 i giorni sarebbero G+20 e che se i polli fossero N + 100 i giorni sarebbero G – 15, hai le tre uguaglianze:

1) M = R · N · G;
2) M = R· (N – 75)·(G + 20);
3) M = R· (N + 100)·(G – 15).
Sono tre, ma non sono "indipendenti" (una dalle altre due).
I tre distinti membri di destra valgono tutti M e quindi sono uguali (uno a ciascun altro); ossia:
R·N·G = R· (N – 75)·(G + 20) = R·(N+100)·(G – 15).

Il fattore R (razione quotidiana per giorno e per pollo) è comune. Quindi si elimina dividendo ogni membro per lui, arrivando alla situazione da cui sono partito io direttamente, cioè:
N·G = (N – 75)·(G + 20) = (N+100)·(G – 15).
–––––––––

Ripeto da qui quanto avevo già scritto.

Le uguaglianze delle tre espressioni distinte (*) equivalgono al sitema (di 2 equazioni in 2 incognite – che sono N e G –):
a) N·G = (N – 75)·(G + 20) ––> N·G = N·G + 20·N – 75·G – 1500 ––> 20·N – 75 G = 1500; (*)
b) N·G = (N+100)·(G – 15) ––> N·G = N·G – 15·N +100·G –1500 ––> –15·N +100·G = 1500. (**)

Dalle due equazioni (*) e (**) [scritte per ultime a destra], sottraendo membro a membro trovi:
c) 35·N – 175 G = 0 ––> N = 5·G oppure (fa lo stesso!) G = N/5.

Mettendo N/5 al posto di G nella a) o nella b) (a tua scelta) trovi un'equazione nella sola incognta N che ti dà N = 300.
[Se mettessi 5·G al posto di N troveresti un'equazione nella sola incognita G che ti darebbe G = 60].
Dopo di che, da G = N/5 con N = 300 trovi di colpo G = 60 (oppure: da N = 5·G con G = 60 trovi di colpo N = 300).
–––––––

[Erasmus]

Erasmus

II. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per la stessa quantità arbitraria purché diversa da zero si ottiene un'altra equazione equivalente alla precedente.

Certe eleganti "paradossali" (pseudo)dimostrazioni di assurdità (tipo 2 = 1) si basano sul trascurare (velatamente) quella condizione «purché diversa da zero».

Ecco, per esempio, la dimostrazione che 2 = 1 (imparata in terza media dopo aver appreso un po' di algebra).

Supponiamo che sia a ≠ 0 e sia b = a (che è lo stesso di a = b).
Allora:
a) Moltiplicando per a entrambi i membri di a = b ottengo:
a^2 = a·b.
b) Sottraendo ad entrambi i membri b^2 ottengo:
a^2 – b^2 = a·b – b^2.
c) Scomponendo il primo membro a^2 – b^2 in (a + b)·(a – b) e raccogliendo b nel secondo membro, per cui a·b – b^2 = b·(a – b), ottengo
(a + b)·(a – b) = b·(a – b).
d) Semplificando entrambi i membri col cancellare da essi il fattore binomiale (a – b) ricavo:
a + b = b.
e) Siccome sono partito da b = a, posso sostituire b con a ottenendo:
2a = a.
f) Dividendo infine per a (che è per ipotesi diverso da zero) ottengo
2 = 1.

Evidentemente, il trucco sta nell'aver semplificato per (a – b) dato che per ipotesi era b = a e quindi a – b = 0.

In sostanza, se a = b ≠ 0, è vero che
a^2 – b^2 = b·(a – b)
perché questo non è altro che 0 = a^2 – a^2 = a·0.
Ed è vero che (a+b)(a–b) = b·(a – b) perché questo non è altro che 2a·0 = a·0 =0.
Ma non è lecito semplificare per a – b perché, se è vero che 2a·0 = a·0 anche per a ≠ 0,
semplificare per a – b equivale a passare da
2a·0 = a·0
a
2a = a
cancellando il fattore 0 (con una finta divisione per 0).
–––––

[astromauh]

Erasmus

Oh bella!
Ho spiegato tutti i passaggi!

Hai ragione.

Mi era sfuggito il fatto che tu avevi inglobato la (mia) prima equazione (M= P * G) nelle altre due.

Erasmus

Queste dànno le due equazioni;
N·G = (N – 75)·(G + 20) –––> N·G = N·G + 20·N – 75·G – 1500 –––> 20·N – 75·G = 1500; (*)
N·G = (N +100)·(G –15) –––> N·G = N·G – 15·N +100·G – 1500 ––> –15·N +100·G =1500. (**)

In pratica, per qualche strana ragione, non vedevo il tuo

N * G =

Allora abbiamo fatto entrambi la stessa cosa.

Solo che io l'ho fatta prima di te!

[aspesi]

1) Con due clessidre, una di 7 minuti e l'altra di 11 minuti, qual è il modo per calcolare la cottura di un uovo, che deve bollire esattamente 15 minuti.

2) Con 12 fiammiferi si possono formare vari tipi di poligoni, ad esempio un quadrato (area pari a 9 unità quadrate) o un rettangolo (area di 6 unità quadrate) o una croce (area di 5 unità quadrate), ecc...
Provare, sempre con 12 fiammiferi, a formare un poligono di area 4 unità quadrate.

[Mizarino]

Facile: Fai partire entrambe le clessidre contemporaneamente. Quando finisce la prima, metti l'uovo a bollire finchè non termina la seconda - sono passati 4 minuti - allora giri la seconda e fai passare gli altri 11 minuti. Totale 15 minuti di bollitura.

[aspesi]

Mizarino

Fai partire entrambe le clessidre contemporaneamente. Quando finisce la prima,

Mi ero dimenticato di scrivere:
"Qual è il modo più rapido per completare la cottura di un uovo, che deve bollire per 15 minuti"

[Epoch]

aspesi

Mi ero dimenticato di scrivere:
"Qual è il modo più rapido per completare la cottura di un uovo, che deve bollire per 15 minuti"

Con la pentola a pressione calcoli la metà del tempo....

[Mizarino]

Usi due volte la clessidra da 7 minuti e poi conti con calma fino a sessanta!
L'errore che puoi fare è di pochi secondi, irrilevante per la cottura dell'uovo!...

[Mizarino]

Usi due volte la clessidra da 7 minuti e poi conti con calma fino a sessanta!
L'errore che puoi fare è di pochi secondi, irrilevante per la cottura dell'uovo!...
...e hai il vantaggio di usare una sola clessidra!...