Qualche quiz

[nino280]

https://i.postimg.cc/sgBKqZ2C/Equilatero-Incentro.png



La formula di Aspesi ma in tecnicolor
Si vede bene come R^2 = 2*R*r
Ciao
E' evidente che ora bisognerebbe chiarire anche la faccenda di quando il triangolo non è equilatero, ma mi stanno per scadere le 8 ore di lavoro.
Ciao

[nino280]

In effetti inizialmente anche io mi ero confuso, perchè nel disegno originale del quiz ci hanno messo quel segmento da A a O che se non lo mettevano era meglio.
Ciao

[aspesi]

Questa è una discussione di qualche anno fa
http://www.trekportal.it/coelestis/s...t=55660&page=4

si era trovato che
Tracciamento diretto:
data una combinazione (v1,v2,....,vL), trovare che posto n occupa nell'elenco lessicografico per qualsiasi lunghezza L (6 nel caso del superenalotto)

La formula è:

n(v1,v2,...,vL) = Comb(N;L) - sommatoria per k da 1 a L di Comb(N-vk;L+1-k)

dove vk sono i numeri della combinazione nelle k posizioni (da 1 a L)

Io avevo scritto che il tracciamento inverso, cioè sapendo un posto n dell'elenco trovare la combinazione che occupa quel posto è molto più complicato, e Erasmus aveva poi proposto un algoritmo con un procedimento un po' macchinoso.

Per quello che riguarda gli ambi, io se chiamiamo A il primo numero dell'ambo e B il secondo, avevo proposto di determinare il posto occupato da un ambo qualsiasi con la formula: n(A,B) = ( -A^2 + 179A + 2B -180 ) / 2

Un frequentatore di un forum di matematica ha trovato la seguente formula (che associa ad un numero l' ambo) e funziona perfettamente:

A = int(90,5 - RADQ(90,5^2 - 179 - 2n))

B = n + A + (91-A)*(90-A)/2 - 4005

B è la semplice derivazione della mia formula diretta, conoscendo A, mentre interessante è il calcolo del valore A, che si basa sul fatto che nell'elenco dei 4005 ambi di 90 numeri, il primo termine A compare 89 volte con 1, 88 volte con 2, 87 con 3, ..., 1 volta con 89.

Io non lo so fare, ma probabilmente si può trovare qualcosa di simile, determinando A, B e C della formula inversa dei terni, la cui formula diretta è

n(A,B,C) = A/6*(23762-267A+A^2) - B/2*(B-179) + C - 4095

Erasmus, se hai voglia e tempo...

[Erasmus]

nino280

La formula di Aspesi ma in tecnicolor
Si vede bene come R^2 = 2*R*r

Ma che bella scoperta!
In ogni poligono regolare c'è un centro (che è baricentro, circocentro, ortocentro ed incentro).
In un triangolo equilatero il raggio r del cerchio inscritto è [necessariamente] metà del raggio R del cerchio circoscritto
Ovviamente r = R/2 equivale a R^2 = 2(R/2)R = 2rR.

nino280

[...] bisognerebbe chiarire anche la faccenda di quando il triangolo non è equilatero.

In un triangolo quaunque – ma quante volte debvo ripeterlo? –, detta S l'area del triangolo e dette a, b e c le lunghezze dei lati risulta
R = (abc)/(4S); r = (2S)/(a+b+c).
Pertanto, in generale:
R/r = [abc(a+b+c)]/(8S^2); Rr = [(abc)/(a+b+c)]/2
Per esempio, nel triangolo rettangolo di cateti 6 e 8 e ipotenusa 10 risulta
R = 5; r = 2;
a+b+c = 24;
S = 24.
Quindi:
R/r = 5/2; { [(6·8·10)·24]/(8·24^2) = 480/(8·24) = 20/8 = 5/2 }
Rr = 10; { [(6·8·10)/(6 + 8 + 10)]/2 = (480/24)/2 = 20/2 = 10 }
–––––––––
Per il triangolo di latio 13, 14, 15 abbiamo
a + b + c = 42
S = (14·12(/2 =84;
R = (13·14·15)/(4·84) = (13·14·15)/(4·14·6) = 65/8 = 8,125
r = (2·84)/(13+14+15) = (2·84/42 = 4.
R^2 = 66,015625;
2rR = 65
R/r = 2,03125
[Essendo questo triangolo quasi equilatero, il rapporto R/r è quasi 2.]
–––

[aspesi]

Erasmus

Ma che bella scoperta!

???
Quello di cui si stava discutendo è che la distanza fra circocentro e incentro è uguale a R^2 -2rR

[Erasmus]

aspesi

Quello di cui si stava discutendo è che la distanza fra circocentro e incentro è uguale a R^2 -2rR

Non vi seguo!
Noto però che una "distanza" è una lunghezza memtre R^2 –*2rR è un'area.
Volevi forse dire "il quadrato della distanza" tra circocentro e incentro?
Se è o no così non lo so; ma se è (o fosse) così ... hai (avresti) trovato un ottimo risultato,
––––––––

[aspesi]

Erasmus

Non vi seguo!
Noto però che una "distanza" è una lunghezza memtre R^2 –2rR è un'area.
Volevi forse dire "il quadrato della distanza" tra circocentro e incentro?
Se è o no così non lo so; ma se è (o fosse) così ... hai (avresti) trovato un ottimo* risultato,
––––––––

Sì, scusa distanza al quadrato

L'avevo scritto al messaggio 3875

In questo quiz ho scoperto, ma non ho capito perché , il quadrato della distanza fra i centri dei due cerchi (circocentro e incentro) è uguale alla differenza fra il raggio grande al quadrato e 2 volte il prodotto del due raggi

10,08^2 = 81,2508*(81,2508 - 2*40)

http://www.trekportal.it/coelestis/s...postcount=3878



* Ho tolto un apostrofo indebito

[aspesi]

Questo è pane per astromauh (e anche per Erasmus)

Trovare un po' di terne di numeri interi positivi diversi x<y<z tali che

(x + y + z)^2 = x*y*z

Le soluzioni sono infinite, però io ho trovato che si possono determinare attraverso sequenze particolari che hanno come origine (primo numero di queste sequenze) solo alcuni numeri possibili x (e gli altri due numeri y e z rispondono a leggi ben precise)
Lo so che è confuso (non mi sono spiegato bene ), faccio un esempio:

Se x=5, le terne x - y - z sono:
5, 20, 25
5, 25, 45
5, 45, 100
5, 100, 245
5, 245, 625
5, 625, 1620
.......

Trovare gli altri x e le altre terne

[Mizarino]

Questo è un assaggio, per X<= 100, Y<=10000:

         5         20         25              2500
         5         25         45              5625
         5         45        100             22500
         5        100        245            122500
         5        245        625            765625
         5        625       1620           5062500
         5       1620       4225          34222500
         5       4225      11045         233325625
         6         12         18              1296
         6         18         48              5184
         6         48        162             46656
         6        162        588            571536
         6        588       2178           7683984
         6       2178       8112         106007616
         6       8112      30258        1472717376
         8         16         72              9216
         8         72        400            230400
         8        400       2312           7398400
         8       2312      13456         248882176
         9         36        225             72900
         9        225       1521           3080025
         9       1521      10404         142420356
        12         18        150             32400
        12        150       1458           2624400
        12       1458      14406         252047376
        16         72        968           1115136
        16        968      13448         208282624
        18         48        726            627264
        18        150       2352           6350400
        18        726      11532         150700176
        18       2352      37446        1585313856
        20         25        405            202500
        20        405       7225          58522500
        25         45        980           1102500
        25        405       9245          93605625
        25        980      22445         549902500
        36        225       7569          61308900
        45        100       4205          18922500
        45        980      42025        1853302500
        48        162       7350          57153600
        48        726      33282        1159811136
        72        400      27848         802022400
        72        968      67600        4711449600
       100        245      23805         583222500

[aspesi]

Mizarino

Questo è un assaggio, per X<= 100, Y<=10000:

Penso che anche tu ti sei accorto della "regolarità" con cui si susseguono queste terne.

Ad es. con X=5 i valori di Y e Z si trovano tutti moltiplicando 5 per due valori k successivi di questa sequenza:
4, 5, 9, 20, 49, 125, 324, 845, ... -----> http://oeis.org/A240926
a(n) = 4a(n-1) - 4a(n-2) + a(n-3)
Es. 5, 125*5, 324*5 ------> 5, 625, 1620
ecc...

E lo stesso (con altre sequenze) vale per tutte le altre terne
6, 12, 18
sequenza k 2, 3, 8, 27, 98, 363, 1352, ...-----> http://oeis.org/A121401
a(n) = 5a(n-1) - 5a(n-2) + a(n-3)
Es. 6, 98*6, 363*6 ------> 6, 588, 2178
ecc...

8,16,72
sequenza k 2, 9, 50, 289, 1682, 9801, ...-----> http://oeis.org/A115599
a(n) = 7a(n-1) - 7a(n-2) + a(n-3)
Es. 8, 289*8, 1682*8 ------> 8, 2312, 13456
ecc...

9,36, 225
sequenza k 4, 25, 169, 1156, 7921, ...-----> http://oeis.org/A081068
a(n) = 8a(n-1) - 8a(n-2) + a(n-3)
Es. 9, 1156*9, 7921*9 ------> 9, 10404, 71289
ecc...

Inoltre tutte le successive terne si possono costruire dalle precedenti
X1, Y1,Z1 -----> X2=Y1, Y2=Z1, Z2= si ricava risolvendo (x+y+z)^2 = xyz

Es. da 6, 12, 18 -------> 12, 18, 150
e a seguire 12, 150, 1458
ecc...
18, 48, 726
18, 150, 2352
16,72,968
20, 25, 405
25,45, 980
36, 225, 7569
48, 162, 7350

e ci si può sbizzarrire finché si vuole