Qualche quiz

[nino280]

Io direi, mettiamoci a studiare le serie Modulo 8 e ci togliamo da tutti gli impicci
Ciao

[nino280]

Erasmus

Per esempio, èà noto che la somma dei reciproci dei quadrati deglòi interi positivi (cioè: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + .... ) copnverge a π^2/6.

https://i.postimg.cc/fy8DznkH/Sommatorie-Sommatorie.png



Mi permetto di fare questa verifica non perché non mi fido di quello che ha detto Erasmus (tanto è giusta perché la trovi scritta anche sui libri) ma per un paio di cose mie.
Primo perché questa applicazione (Desmos) è una specie di riserva per me di GeoGebra e l'adopero poco e di tanto in tanto vado a rispolverarla e se non ci vado ogni tanto mi dimentico di come farla girare .
Poi per l'appunto, avendola lasciata per tanto tempo e avendo fatto un aggiornamento del computer non mi funzionava più ed ho dovuto reinstallarla.
Ed infine anche per vedere se riuscivo a mettere sotto formula questa serie perché non è una cosa che faccio poi tutti i giorni e non sono particolarmente esperto di Serie e Sommatorie varie.
Ma a quanto pare devo aver fatto giusto.
Ho messo cioè 100.000 somme di reciproci al quadrato e come si vede almeno fino alla quarta cifra decimale "tende" a (Pi^2)/6
Ciao
Mi domandavo se questa serie non sia per caso parente stretta se non proprio lei, della Funzione Z di Riemann

[nino280]

https://i.postimg.cc/50fHzNw0/Continuo-Sommatorie.png



Ora invece, per pura curiosità, mi domando:
se invece di fare le somme di tutti i reciproci dei naturali al quadrato, faccio la somma di tutte le radici quadrate che cosa ottengo?
Ho come si vede fatto la prova prima con centomila valori e poi con 1 milione.
Io non so dire se converge, ma di certo aumenta, e non so nemmeno dire se tende ad infinito.
Ciao

[Erasmus]

nino280

[...] se invece di fare le somme di tutti i reciproci dei naturali al quadrato, faccio la somma di tutte le radici quadrate che cosa ottengo?

Questa somma tende all'infinito ; e lo fa più in fretta della "serie armonica", (che è la somma dei reciproci dei numeri interi positivi). Infatti 1(√(n) = √(n)/n > 1/n per ogni n maggiore di 1.

Pensa in generale alla somma dei reciproci degli interi elevati ad un certo esponente positivo. Come segue:
1 + 1/(2^k) + 1/(3^k) + 1/(4^k) + ... + 1/(n^k) + ...
Per k = 1 hai la "serie armonica, la quale è divergente. [ma "diverge" il più lentamente possibile, al pari di ln(n)l).
Al crescere indefinitamente di n, la differenza tra la somma dei reciproci degli interi da 1 a n compreso e ln(n) tende ad una costante (detta "costante di Mascheroni-Eulero" ed indicata con γ) che vale [quasi] 0,57721567.
Insomma: detta Hn la somma dei reciptoci degli interi da 1 ad n compreso, la differenza Hn – ln(n) al tendere di n all'iìfinito tende a γ,
Perciò, per n molto grande abbiamo circa:
Hn = ln(n) + γ.
[L'approssimazione è per difetto, cioè Hn è sempre maggiore di ln(n) + γ ma lo approssima sempre meglio al crescere di n].
Ovviamente, per esponente k positivo ma minore di 1 i denominatori sono più piccoli che se fosse k=1, e quindi gli addendi sono più grand idi quelli della serie armonica. [E fare le radici quadrate equivale ad elevare a k=1/2]. Alora la serie divewrge più in fretta della serie armonica.
Invece, per k maggiore di 1 il denominatore è maggiore che se fosse k = 1, quindi la somma cresce (al crescere dell'indice) meno in fretta della serie armonica.
Si dimostra che se è k > 1 la somma converge.
Però ... è chiaro che converge ad un limite tanto maggiore quanto più prossimo è k ad 1 (pur restando maggiore di 1).
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Ai tempi in cui c'era ancora Piotr, ho riportato un lavoro che io avevo fatto molti anni prima (prima che ci fossero i personal computer): trovare la somma dei reciproci delle potenze pari defg.i interi poitivi.
[La somma dei regiproci dei quadrati, detta storicamente "serie di Eulero"e modernamente indicata con ζ(2) è un caso particolare. Io avevo trovato la formula di ζ(2n) per n intero positivo qualsiasi].
Precisamente, ho riportato qui in Rudi Mathematici:
a) la dimostrazione del fatto che la somma dei reciproci di potenze di esponente pari – diciamolo 2n – degli interi converge al prodotto di un numero razionale per π^(2n):
b) la formula generale di questa somma per n intero qualsiasi.
c) i valori per potenze di esponente 2m con m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8).
Inoltre ho spiegato come aveva fatto Eulero a calcolare la somma dei reciproci dei quadrati [trovando appunto (π^2)/6].

Insomma, il bello (per me) era che avevo dimostrato che per ogni n intero positivo

             ∞
ζ(2n) =  ∑1/(m^(2n) = kn·π^(2n) (dove kn è razionale)
           m=1

trovando la formula che calcola kn = ζ(2n)/[π^(2n)]
I primi [fattori razionali] [size="3"]k[/SI E]n sono implicitamente scritti in quel che segue:

ζ(2) = (1/6)·(π^2); 
ζ(4) = (1/90)·(π^4); 
ζ(6) =(1/945)·(π^6); 
ζ(8) = (1/9450)· (π^8); 
ζ(10) = (1//93555)·(π^10);
ζ(12) = (691/638512875)·(π^12); 
ζ(14) = (2/18243225)·(π^14);
ζ(16) =  (3617/325641566250)·(π^16).

Naturalmente non avevo fatto nulla di originale!
Quel che avevo trovato era già stato trovato da altri ben prima di me! Ma siccome allora non c'era mica Internet, io non potevo sapere cosa avessero fatto gli altri e come l'avevano fatto, anche se pensavo che di sicuro, tra la moltitudine di matematici anteriori ai miei studi (e ben più bravi di me) senz'altro c'era già stato chi aveva trovato quel che anch'io avevoo trovato .
Mi restava però la soddisfazione di aver trovato per conto mio qualcosa di bello (perché davvero sorprendente).
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Nel 2004 ho fatto un altro lavoretto (che mi è piaciuto molto ! [Anche in questo penso di essere stato anticipato da altri almeno di un secolo! Ma di preciso non lo so].
Ho trovato una formula che simula molto bene la somma Hn in real time
La formula consiste nell'aggiungere all'espressine ln(n) + γ una serie di potenze di 1/n.
Bastano pochi termini per approssimare Hn con almeno 12 cifre giuste.

La mia formula è
Hn = ln(n) + γ + A1/n + A2/n^2 + A4/n^4+A6/n^6 A8/n^8 + ... +A2k/n^(2k) + ...
[Tutti i coefficienti di indice dispari sono nulli tranne A1; il segno dei coefficienti di indice pari si alterna tra negativo e positivo].
I primi coefficienti sono:
A1=1/2; A2=– 1/12; A4= 1/120; A6=– 1/252;
A8=1/240; A10=– 1/132; A12=691/32760.
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[nino280]

Erasmus, se ci mettiamo a parlare di Serie sei un "Serial Killer" o se preferisci, sei un Mostro.
Complimenti. Per me quello che hai scritto ha dell'incredibile, al punto che se volessi provare a scrivere una piccola parte del tuo paperino, più che scrivere direi fare girare il mio Desmos come ho fatto precedentemente con le serie dell'altro giorno, farlo cioè calcolare, fra 4 mesi sono ancora qui.
Ciao

[aspesi]

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Disegnando con geogebra non ne ho idea... ma io non credo di saperlo risolvere.
Magari Erasmus (ma possibilmente senza trigonometria )

[astromauh]

Ma i segmenti IO e AB sono orizzontali?

Dal disegno sembrerebbe di si, anche se c'è qualche dubbio per il segmento IO. Se è veramente così si può calcolare immediatamente la lunghezza del Raggio del cerchio grande.

Aspesi, tu conosci la soluzione?

[nino280]

https://i.postimg.cc/1XynM6jQ/Circocentro-Incentro.png





Io ho trovato valori molto prossimi a 130 e 150 ma penso che tali discrepanze siano dovute ai miei "cronici" arrotondamenti.
Ciao

[aspesi]

astromauh

Ma i segmenti IO e AB sono orizzontali?

Aspesi, tu conosci la soluzione?

No, non sono orizzontali e io non so la soluzione.
Il raggio grande dovrebbe essere 81,25

Però credo che il disegno di nino280 sia corretto.

[aspesi]

nino280

Io ho trovato valori molto prossimi a 130 e 150 ma penso che tali discrepanze siano dovute ai miei "cronici" arrotondamenti.
Ciao

Sì, è così
I tratti uguali (tangenti al cerchio di raggio 40) sono partendo da A ---> B ---> C --->A
60 - 80 - 80 - 70 - 70 - 60