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Vecchio 19-08-19, 09:35   #3301
Erasmus
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Predefinito Re: Bar Nino

Bravo nino280
Ma sarebbe meglio calcolare le espressioni teoriche irrazionali esatte ,,, da approssimare poi calolandole con un dato numero di cifre buone.

E' facile trovare il raggio della sfera circoscritta.
Sia H il piede dell'altezza. H dista √(3)/3 da ciascun vertice della base,
Allora l'altezza h = HV della piramide vale
h = √(2^2 – 1/3) = √(11/3) = 11/√(33).
Il centro della sfera circoscritta – diciamolo K – sta su HV ad una certa altezza ∆ = HK tale che
h – ∆ = √(∆^2 + 1/3) ––> 11/3 – 2∆√(11/3) = 1/3 ––> ∆ = 5/√(33)
Allor R = h – ∆ = (11 – 5)√(33) = 6/√(33) = √(36/33) = √(12/11),
R = KV = √(12/11) =1,044465935734187 ...

Un po' più complicato è trovare il raggio r della sfera tangente tutti i 6 spigoli.
Questa interseca ciascuna faccia del tetraedro nel crchio inscritto in quella faccia.
Consideriamo le facce ABV e CAV. Hanno in comune lo spigolo AV
L'altezza di queste facce rispetto al lato lungo 1 è √(4 – 1/4) = √(15)/2.
Siccome lo spigolo AV è lungo il doppio di AB e di CA, l'altezza delle facce ABV e CAV rispetto al lato comune AV è lunga metà, cioè √(15)/4.
Allora posso calcolare con Carnot il coseno dell'angolo diedro - diciamolo α – di spigolo AV.
15/16 + 15/16 – 2 (15/16)·cos(α) = 1^2 ––> (15/8)[1 – cos(α)] = 1 ––> cos(α) = 7/15.
Calcoliamo ora il raggio – diciamolo x – del cerchio inscritto in una faccia laterale.
L'altezza di una faccia laterale vale √(15)/2.
Allora: [√(15)/2 – x]^2 –x^2 = (2 – 1/2)^2 = 9/4 ––>
––> 15/4 – x·√(15) = 9/4 ––> x√(15) = 3/2 ––> x = √(3/20)
Il centro della sfra tangente tutti i 6 spicoli sta sulle perpemdicolari per il centri dei due cerchi inscritti nelle rispettive facce, diciamo a profondità y per ora incognita.
Sempre con carno abbiam
3/20+3/20 – 2(3/20)·(7/15) = 2(y^2)(1+7/15) ––>(3/10)·(8/15) = (44/15)y^2 ––> y^2 = 24/440 = 3/55;
y^2 = 3/55
Il raggio della sfera tangente a tutti gli spigoli è allora:
r = √(3/20 + 3/55) = √(33/220 + 12/220) = √(45/220) ––>
––>r = √(9/44) = 0,45226701686664...

Riassumendo:
Il raggio della sfera circoscritta è R = √(12/11) ≈ 1.044466.
Il raggio della sfera tangente tutti gli spigoli è r = √(9/44) ≈ 0,452267.
––
__________________
Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-08-19, 12:46   #3302
nino280
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Predefinito Re: Bar Nino

Quote:
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Bravo nino280
...

Riassumendo:
Il raggio della sfera circoscritta è R = √(12/11) ≈ 1.044466.
Il raggio della sfera tangente tutti gli spigoli è r = √(9/44) ≈ 0,452267.
––
Grazie Era.
Sono più che soddisfatto da come sia andata in questo quiz.
Pensa, stesso risultato con procedimenti nettamente diversi.
Ora nessuno potrà più dire che Nino ed Erasmus danno i numeri, dal momento che uno verifica l'altro.
Mi pare di ricordare leggendoti che il trovare il raggio della sfera inscritta era leggermente più complicato, e non mi va di dire ancora una volta che io analiticamente non sarei stato in grado di farlo. Basta! L'ho detto troppe volte, ed anche che mi piacerebbe saperlo fare l'ho detto troppe volte.
Il mio sistema? Be non crediate che sia anche lui immediato.
A volte ci do dentro per due o tre ore.
Ma io presento il disegno finale "pulito" che poco lascia ad intravedere della mole di lavoro fatto. Centinaia di punti, decine e decine di rette segmenti circonferenze, rette parallele e perpendicolari e via discorrendo.
Prendiamo appunto come esempio proprio la sfera inscritta, mai ci sarei arrivato se non avessi trovato un "algoritmo" prendo in prestito il termine, per disegnarlo.
Vediamo se riesco ad accennarlo brevemente.
Ho una piramide, bada non equilatera, o tetraedrica regolare.
So di certo che detta sfera inscritta deve avere tre punti in contatto, tangenti ai lati di base nel loro punto medio.
Non così i punti di contatto con gli altri tre spigoli.
Ma anche qui so per certo che detti punti di contatto devono essere tangenti agli spigoli e quindi i raggi di conseguenza anche perpendicolari sempre agli spigoli.
Allora l'idea, l'algoritmo come dicevo.
Metto un punto in un punto qualsiasi sull'altezza della piramide. La funzione in questione prende il nome di "Punto su oggetto"
Detto punto se poi ci clicco con il mouse lo posso muovere su e giù.
Ricordo che avevo già messo un punto su un lato di base come punto medio cioè a metà
Dal punto a caso sull'altezza congiungo con due segmenti uno al punto medio sul lato di base e l'atro perpendicolare allo spigolo laterale.
Avranno misure molto diverse proprio perché (evidentemente) è stato preso a caso. Però se io muovo detto punto sull'altezza avremo che il segmento lungo diminuisce e il più corto aumenta. Benissimo è quello che volevo. Perché ci sarà un punto in cui i due segmenti sono uguali in lunghezza. Non mi dilungo, al raggiungimento di questa condizione, il punto sull'altezza (che ora mi fermo con il mouse) è nient'altro che il centro della sfera ed evidentemente i valori che leggo sui due segmenti ora uguali altro non sono che il raggio della sfera cercata.
Ciao
E tutto quello che ho detto del mio algoritmo se si va a guardare l'ultimo mio disegno sono ben marcati sia il punto mobile sull'altezza nonché centro della sfera sia i due segmenti tangenti lato di base e spigolo nonché raggi, con tanto di valore incorporato.

Ultima modifica di nino280 : 19-08-19 14:43.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-08-19, 16:06   #3303
aspesi
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Predefinito Re: Bar Nino

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Il raggio della sfera circoscritta è R = √(12/11) ≈ 1.044466.
Il raggio della sfera tangente tutti gli spigoli è r = √(9/44) ≈ 0,452267.
––
Quindi:

R/r = 4/RADQ(3) = 2,309401077

Dimensionalmente le cose non tornano, quindi è solo un caso, però...:

R/r = (AV/AB)^2/RADQ(AV^2 - AB^2)

che nel caso esaminato = (2/1)^2/RADQ(4-1) = 4/RADQ(3)

?

Nino, se vuoi, prova a mettere es. AV=5 e AB=2 per vedere se R/r = 1,3638618

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-08-19, 16:24   #3304
nino280
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Aspesi non ci ho capito nulla del tuo intervento.
Perché dividi R/r ?
Non è per caso sei ancora nel quiz precedente?
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-08-19, 16:57   #3305
nino280
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Voglio ora accennare all' algoritmo (mi piace sto termine) che mi ha permesso invece di trovare la sfera che circoscrive la piramide, e in tal senso per non farvi andare avanti e indietro nelle pagine metto qui sopra una copia del disegno.
Avevamo la base della piramide con lati 1 ; 1 ; 1
Lo disegno dapprima in 2D vado veloce traccio le bisettrici dell'equilatero, si incontrano in un punto ,il centro del cerchio che lo circoscrive, ne prende il raggio, faccio Teorema di Pitagora con lo spigolo della piramide e trovo la sua altezza.
Una sfera che circoscrive la piramide deve avere evidentemente un suo cerchio massimo passante per il vertice alto della piramide ed un vertice di base. Ok?
Siccome i tre vertici di base sono sfalsati in un piano o eventuale sua sezione . . . ed ecco l'algoritmo.
Non importa di quanti lati è fatta la piramide inscritta, tutti i numeri di lati, se la piramide è regolare vanno bene.
Quella che mi fa più comodo è una piramide a base esagonale che nemmeno disegno se ne vedo e ne approvo il principio.
Ecco che volutamente in quel disegno io ci avevo lasciato la circonferenza che presupponeva qualsiasi piramide regolare.
Disegno una semi diagonale dell'esagono a X meno ed un'altra a X più. Nota quel punto che si vede al centro della base è messo all'origine delle coordinate X0,Y0,Z0
Una circonferenza che passa per questi tre punti è un cerchio massimo della sfera. Allora ho tutto, vale a dire raggio sfera e coordinate del suo centro.
Si può pensare l'esagono come la rotazione del triangolo credo di 60° lungo quella circonferenza da me lasciata in vista nel disegno.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 19-08-19 17:13.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio Ieri, 05:21   #3306
Erasmus
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Dimensionalmente le cose non tornano [...]
Non capisco che intendi dire ...

Ovviamente il rapporto tra i due raggi r ed R dipende dall'angolo al vertice del triangolo isoscele che è una faccia laterale, ossia dalla snellezza della piramide.
Come parametro indicatore della snellezza – diciamo s questo parametro – possiamo pensare il rapporto tra l'atlezza della piramide e il diamertro del cerchio circoscritto alla base (ossia al raporto tra altezza e diametro del cilindro minimo in grado di contenere la piramide).

A parità di base e al variare della snellezza s, il rapporto r/R tende a 0 al tendere di s all'infinito, ossia l tendere degli spigoli ad essere paralleli (e lunghi come l'altezza). Il rapporto r/R tende invece ad 1 al tendere di s a zero, cioè al tendere a zero dell'altezza (e quindi al tendere 2/3 di angolo piatto dell'angolo al vertice delle facce).

Nel quiz l'altezza della piramide risulta √(11/3) e il raggio del cerchio circoscritto alla base 1/√(3). La snellezza è dunque
s = √(11)
e il rapporto r/R viene:
r/R = √(3)/4
–––
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Vecchio Ieri, 08:03   #3307
nino280
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Nino, se vuoi, prova a mettere es. AV=5 e AB=2 per vedere se R/r = 1,3638618

Torniamo indietro di un quiz e vediamo di interpretare il messaggio di Aspesi. E' probabile che lui volendo verificare la formula che lui stesso aveva trovato se avesse poi valore universale come suggerivo io, mi chiede di fare un'altra prova mettendo come raggio iniziale 5 (solo che poi la confusione l'ha fatta quotando Erasmus invece di quotare me, almeno così la interpreto io)
Ma raccolgo ugualmente il suo invito.
Vado:
https://i.postimg.cc/13nGDR9Q/Quiz-Precedente.png



Come si vede ho provato anche con raggio iniziale = 5
Rifaccio paro paro la tua costruzione.
Intanto si nota subito che la retta A U nel suo tragitto pesca tutti i punti dei casi precedenti, cioè G e O
Faccio cioè la solita formula 5/(radquad)3 = 2.88675
Tracciate le solite rette parallele in rosso agli assi con tale valore, esse si intersecano nel punto T e rifaccio per la terza volta la costruzione .
In più questa volta traccio il triangolo incriminato o sotto accusa in verde con lati g1 e f1.
E visto che ci sono trovo, come si vede dal disegno, anche gli angoli del triangolo con i cateti in verde.
Il nostro raggio cercato è ora f1 = 5 * seno 35,26437° (che è fisso per tutte le costruzioni uguale ancora a 5 * 0,5773499 = 2,88675 (già visto)
Ma moltiplicare per 0,5773499 è equivalente a dividere per il suo reciproco e il reciproco di 0,5773499 è proprio la radice di 3
Ciao
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Vecchio Ieri, 11:58   #3308
aspesi
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Torniamo indietro di un quiz e vediamo di interpretare il messaggio di Aspesi. E' probabile che lui volendo verificare la formula che lui stesso aveva trovato
No, quel quiz era chiarissimo, mi riferivo proprio a'ultimo problema proposto da Erasmus...

Avendo notato che il rapporto delle lunghezze del raggio della sfera circoscritta

R = √(12/11)

e la lunghezza del raggio della sfera tangente tutti gli spigoli

r = 3/2*RADQ(1/11)

è R/r = 4/RADQ(3)

mi era venuta la curiosità di verificare questo rapporto con una piramide a base triangolare regolare avente gli spigoli di base lunghi ad es. 2u e gli spigoli laterali lunghi 5u.

Ma probabilmente la mia intuizione

R/r = (AV/AB)^2/RADQ(AV^2 - AB^2) ----> circa 1,3638618

dove AV = 5 e AB = 2

non ha senso.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio Ieri, 20:32   #3309
Erasmus
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Il rapporto r/R è lo stesso solo se le piramidi sono simili
–––––––––––––
La dfomanda che sto per fare probabilmente è già stata fatta ed ha già avuto risposta molto tempo fa ... mi pare proprio con un quiz proposto da aspesi.

Ecco la domanda:
≤A quale condizione devono sottostare gli spigoli di un tetraedro affinché esista una sfera tangente a tutti quesri 6 spigoli!»
In altre parole:
«Noti gli spigoli di un tetraedro, cosa devo controllare per sapere se esiste o no una sfera tangente a tutti i 6 spigoli?»
––––––––––––––
Ho me3sso un quiz che in un certo senso è la generalizzazione dell'ultmo che ho messo qui in "matematicamente.it" nella sezione "Scervelliamoci un po'"
Ecco il link al quiz:
–––> Sfera tangentei i tre spigoli di un triedro qualunque
–––
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Erasmus
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Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
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