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Vecchio 07-11-12, 11:18   #961
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Dividere un quadrato di lato unitario in 2 rettangoli tali che il piu' piccolo puo' essere sistemato in modo che i suoi 4 vertici tocchino i lati del piu' grande.

Quanto è lungo il lato del rettangolo piccolo?

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Vecchio 08-11-12, 13:41   #962
Erasmus
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Quanto è lungo il lato del rettangolo piccolo?
???
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Vecchio 08-11-12, 15:03   #963
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Sei troppo veloce... non c'è neanche soddisfazione...

Ciao
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Vecchio 08-11-12, 20:04   #964
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Sei troppo veloce...
Non direi.
'Sto quiz m'ha dato del filo da torcere per diverse ore!
Se non imbrocchi le equazioni giuste in partenza ti perdi nel labirinto di un sistema di tre equazioni in tre incognite tutte di 2° grado. Al primo tentativo di eliminazione sono rimasto sì con una sola equazione in una sola incognita: ma era di 6° grado.
E mi era andata anche bene, visto che il sistema era di 8° grado!

Dove sei andato a pescarlo?
L'hai trovato risolto o te lo sei risolto tu?
--------
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Vecchio 08-11-12, 22:51   #965
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L'hai trovato risolto o te lo sei risolto tu?
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Avevo visto che si può affrontare con un approccio trigonometrico, trovando l'inclinazione di 30 gradi come passaggio intermedio (io ho tagliato il quadrato con una linea orizzontale, tu l'hai fatto con una linea verticale).
Riporto pari pari quello che aveva scritto Paolo Licheri:
Detto alfa uno degli angoli acuti, esprimo i lati del rettangolo grande come somma delle proiezioni dei lati del rettangolo piccolo:

1 = x*sin(alfa)+cos(alfa)

1-x = sin(alfa)+x*cos(alfa)

con alcuni passaggi, esprimendo il coseno in funzione del seno, elevando al quadrato, ecc. riesco ad eliminare la x e trovo

sin(alfa)=1/2



Io ho usato quello che so (Pitagora)
Poniamo x il lato del rettangolo piccolo (tu l'hai chiamato b), e ovviamente anche della sua copia, ABCD.
AC e BD sono le diagonali e valgono RADQ(1+x^2).
Applicando Pitagora si vede subito che CF=x e DG=RADQ(2x), da cui si ricava che BE=(1-RADQ(2x))/2 e CE=(1-2x)/2.
Di nuovo applicando Pitagora al triangolo BCE, di cui si conoscono tutti i lati, si ricava l'equazione BE^2+CE^2=BC^2
ovvero x+RADQ(2x)-1=0 che quadrata
(1-x)^2 = 2x
x^2 - 4x + 1 = 0
fornisce la soluzione, cioè la lunghezza del lato del rettangolo piccolo x = 2 +- RADQ(3)
(ovviamente è possibile solo 2 - RADq(3) = circa 0.2679491924..)

Codice:
 _________________________B_____E 
|                      _.-' \  | 
|                 _.-'    |  \ | 
|             _.-'        |   \| 
|         _.-'            | _.'|C 
|     _.-'    _|_      _.-'    | 
|A_.-'         |   _.-'   |    | 
|'  -----------_.-'-------+----|F 
| \        _.-'           |    | 
|  \   _.-'               |    |  
|___\-'___________________|____|____ 
|    D                    G    |  |  
|                              |  x 
|                              |  |  
|______________________________|__|_  


La radice di 3 mi ha fatto poi capire che il rettangolo piccolo va inclinato di 30 gradi.



Ultima modifica di aspesi : 08-11-12 23:00.
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Vecchio 09-11-12, 02:51   #966
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Poniamo x il lato del rettangolo piccolo (tu l'hai chiamato b)
Veramente, nel calcolo l'avevo chiamato z (perché ero partito con quattro incognite, di cui una subito eliminata con Pitagora).
Poi ... ho fatto la bella figurina [mettendoci solo l'essenziale].

Anch'io nel calcolo ho assunto 1 il lato de quadrato.
Ho chiamato
x il cateto lungo del triangolo rettangolo grande
[quello che Licheri chiama la proiezione del lato lungo [del rattangolo piccolo inclinato] – che alla fine viene √(3)/2 = cos(alfa)]
e y il cateto corto del triangolo grande.
La prima equazione è dunque
x^2 + y^2 = 1
Visto cos'è x, il complemento al lato del quadrato è 1 – x.
E' questo il cateto corto del triangolo piccolo, la cui ipotenusa è il lato corto del rettangolo inclinato e che io ho assunto z.

L'altro cateto (del triangolo piccolo) viene dunque
w =√[z^2 – (1 – x)^2].

Una seconda equazione l'ho presa dalla similitudine dei due triangoli rettangoli, ossia è data da una proporzione:
<Ipotenusa del triangolo piccolo sta ad ipotenusa del triangolo grande come cateto corto del triangolo piccolo sta a cateto corto del triangolo grande>. In formula
z/1 = (1 – x)/y

La terza equazione l'ho fatta sommando i tre pezzi che stanno sul lato del quadrato
<Larghezza del rettangolo piccolo (prima di essere ritagliato) + cateto lungo del triangolo piccolo + cateto corto del triangolo grande = lato del quadrato>. In formula
z + √[z^2 – (1 – x)^2] + y = 1

Messe insieme le equazioni, ed isolando il radicale per comodità, son partito dunque col sistema [o meglio: sono approdato finalmente al sistema (dopo numerosi altri tentativi ... fallimentari, come ho detto)]
x^2 + y^2 = 1
z = (1 – x)/y
√[z^2 – (1 – x)^2] = 1 – (y + z)

Per prima cosa elimino z ... ed è questo che finalmente m'ha fatto arrivare in porto prima di naufragare!
[In precedenza, una equazione era presa come l'area del rettangolo grande scomposta in quella del rettangolo piccolo inclinato + quella dei quattro triangoli, cioè
(1– x) ·√[z^2 – (1 – x)^2] + x·y + z·1 = (1 – z)·1
Ma poi ...mi incasinavo nel processo di eliminare due incognite e risolvere una equazione in una sola incognita].

Invece ... con l'equazione "proporzione" z : 1 = (1 – x) : y si va da dio perché non c'è nemmeno bisogno di elevare al quadrato il radicale!

Guarda un po'.
Nella prima equazione z non c'è; nella terza, mettendo (1 – x)/y al posto di zeta, trovi per il radicale:

√[((1 – x) /y )^2 – (1 – x)^2] = (1 – x) · √(1/y^2 – 1) = [(1 – x)/y]· √(1 – y^2] =
= [(1 – x)/y]·x
Perciò la terza equazione diventa (tenendo conto del fatto che x^2 = 1 – y^2):
(x/y)·(1 – x) = 1 – (y + (1–x)/y) ––> x – x^2 = y – y^2 – 1 + x ––> y = y^2 + (1 – x^2) ––>
y = 2·y^2 ––> 1 = 2·y ––> y = 1/2
[E qui ho capito l'inclinazione di 60° su un lato del quadrato e di 30° sull'altro].

Allora x = √(1 – y^2) = √(3)/2 e infine
z= (1 – x)/y = [1 – √(3)/2] / (1/2) = 2 – √(3)
-------------
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Ultima modifica di Erasmus : 09-11-12 12:49.
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Vecchio 09-11-12, 07:37   #967
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'Sto quiz m'ha dato del filo da torcere per diverse ore!
Allora ho fatto bene ad abbandonarlo!...
Aveva solleticato il mio interesse, e ci ho pensato per ben 10 minuti!...
Poi, non essendomi apparsa alcuna via di uscita semplice, ho pensato: questo è pane per Erasmus!...
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Vecchio 09-11-12, 11:10   #968
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Fra i quiz del prossimo megaconcorso docenti.

Al summit italo-francese partecipano 50 politici, che parlano in almeno una delle 2 lingue tra italiano e francese.
Sapendo che il 25% dei politici che parlano italiano parlano anche in francese e che il 50% dei politici che parlano il francese parlano anche in italiano, determinare il numero dei politici che parla solo francese.

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Vecchio 09-11-12, 11:34   #969
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Semplice sistema di 3 equazioni in 3 incognite.
(1) i + f + if = 50
(2) f = if
(3) i = 3*if

i + 2f = 50
i = 3f

5f = 50

f=10 politici che parlano solo francese
i = 30 che parlano solo italiano
if=10 che parlano italiano e francese
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Vecchio 09-11-12, 11:55   #970
aspesi
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Semplice sistema di 3 equazioni in 3 incognite.
(1) i + f + if = 50
(2) f = if
(3) i = 3*if
Infatti!

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