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Vecchio 27-10-12, 11:27   #941
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Nino280 ha sette cartoncini numerati da 1 a 7.
Ne distribuisce, a caso, tre ad Erasmus e tre a Mizarino, tenendone uno per se.

Ciascuno guarda il numero scritto sui cartoncini che ha.

Come possono Erasmus e Mizarino comunicare fra loro, alla presenza di Nino280, in modo che alla fine della conversazione Erasmus conosce i numeri di Mizarino e quello di Nino280, Mizarino conosce i numeri di Erasmus e quello di Nino280, ma Nino280, per ciascuno dei sei numeri a lui mancanti, non sia in grado di determinarne il possessore con assoluta
certezza?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-10-12, 12:34   #942
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Frena, aspesi!
C'è ancora in sospeso il mio ultimo quiz (V #932):
Quote:
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[...]Si sa che la somma delle potenze k-esime degli interi da 1 ad n è un polinomio in n di grado k+1, diciamolo Pk+1(n).
[...]
E' anche ovvio che tutti questi polinomi (cioè i Pk+1(n) per qualsiasi k naturale) sono divisibili per n, dato che, se metto n = 0, ... non ho fatto la somma di niente e quindi deve essere Pk+1(0) per ogni k naturale.

Dimostrare (con un po' di logica ) che
i polinomi Pk+1(n), tranne P1(n)
che vale n, sono pure divisibili per (n + 1).
NB: Ho evidenziato in grassetto: "con un po' di logica".
Dopo che avrai preso in considerazione questo quiz (ma non verificando su alcuni esempi, [cosa che hai già fatto], ma ... mettendoci quel po' di logica che serve), prenderò in considerazione i 7 cartoncini ...

__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
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Vecchio 29-10-12, 07:41   #943
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
C'è ancora in sospeso il mio ultimo quiz (V #932):
NB: Ho evidenziato in grassetto: "con un po' di logica".
Mi spiace, la mia logica si ferma all'esame delle successioni e del calcolo della somma degli elementi...

somma n^0 = n
somma n^1 = n(n+1)/2
somma n^2 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3
somma n^3 = [n(n+1)/2]^2
somma n^4 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n^2+3n-1)/5
somma n^5 = [n(n+1)/2]^2*(2n^2+2n-1)/3
somma n^6 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n^4+6n^3-3n+1)/7
...............

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-10-12, 09:54   #944
aleph
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
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Nino280 ha sette cartoncini numerati da 1 a 7.
Ne distribuisce, a caso, tre ad Erasmus e tre a Mizarino, tenendone uno per se.

Ciascuno guarda il numero scritto sui cartoncini che ha.

Come possono Erasmus e Mizarino comunicare fra loro, alla presenza di Nino280, in modo che alla fine della conversazione Erasmus conosce i numeri di Mizarino e quello di Nino280, Mizarino conosce i numeri di Erasmus e quello di Nino280, ma Nino280, per ciascuno dei sei numeri a lui mancanti, non sia in grado di determinarne il possessore con assoluta
certezza?

Un modo potrebbe essere questo.
Miza ed Erasmus dicono pubblicamente di mettere in ordine crescente i propri numeri e poi dichiarano ognuno le due cifre che rappresentano la distanza numerica tra i propri numeri. Se per esempio Miza avesse il 3 il 6 e il 7 dovrebbe dichiarare 2 e 0. Se Erasmus ha il 2, 4, 5 dichiara 1 e 0.

In questo modo ciascuno di loro dovrebbe riuscire a ricostruire la sequenza dell'altro con il "buco" rappresentato dal numero di Nino.

aleph non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-10-12, 10:43   #945
Erasmus
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Quote:
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Mi spiace, la mia logica si ferma all'esame delle successioni e del calcolo della somma degli elementi...
Allora:
1) La somma delle potenze k-esime degli interi da 1 a n è un polinomio in n di grado k + 1.
[La somma dei quadrati è un polinomio di 3° grado, la somma dei cubi di quarto grado, ecc.]
Chiamiamolo Pk+1(n).
P come "polinimio".
Pedice k+1 per dire di grado un'unità di più del grado delle potenze degli interi che si sommano.

2) Se metto n = 0 vuol dire che la somma ... è vuota di addendi e quindi
Pk+1(0) = 0 per ogni k
Vuol dire che qualsiasi Pk+1(n) è divisibile per n, cioè che si può raccogliere n a fattore comune in ogni Pk+1(n) [cioè per qualunque grado k abbiano gli addendi della somma].
Occhio! Non è la somma delle potenze che è divisibile per il numero di addendi n. E' il polinomio – espressione letterale – che è scomponibile in fattori di cui uno è n.
Per esempio, per k = 1 e n = 4 abbiamo 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (che non è divisibile per 4).
Ma in generale P2(n) = n(n+1)/2, che, come polinomio, è divisibile per n e il quoziente è (n+1)/2. Allora, per n = 4:
P2(4) = 4·(4+1)/2 = 10 ––>OK
[P2(4)]/4 = (4 + 1)/2 = 5/2 = 10/4 ––> OK

Ho ... ripetuto e sbrodolato la premessa di introduzione al quiz (anche se suppongo che sia assolutamente superfluo nel tuo caso) come invito a concentrart sul tipo di logica da applicare, ossia su quel "pizzico di logica" che serve [e ne serve davvero poca] nel dedurre la Tesi del quiz dalle dichiarazioni introduttive che costituiscono l'Ipotesi ... che riassumo ancora una volta:
Hyp. «La somma delle potenze k-esime degli interi da 1 ad n è un polinomio in n di grado k+1 e divisibile per n»

Partendo da questa Ipotesi occorre dimostrare la Tesi:
Th. «Questi polinomi in n di grado k+1 sono divisibili per (n+1) tranne quello per k = 0 (cioè di grado 1 che vale n)».

Guarda qua:

Pk+1(n+1) = Pk+1(n) + (n+1)^(k)
[Basta applicare la definizione, sei d'accordo?] Allora anche:

Pk+1(n+1) – (n+1)^(k) = Pk+1(n) (*)

Siccome, per ipotesi, Pk+1(n) è divisibile per n, (cioè posso raccogliere n a fattore comune), se al posto di n metto n +1 trovo che Pk+1(n+1) è divisibile per (n + 1). D'accordo?
Quindi nel membro sinistro della (*) posso raccogliere il fattore comune (n+1) e portarlo a divisore del secondo membro, ossia
Pk+1(n)/(n+1) è ancora un polinomio
e cioè Pk+1(n) è divisibile per (n+1).

C. D. D.
----------
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 12-02-15 21:49.
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Vecchio 29-10-12, 10:47   #946
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
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Un modo potrebbe essere questo.
Miza ed Erasmus dicono pubblicamente di mettere in ordine crescente i propri numeri e poi dichiarano ognuno le due cifre che rappresentano la distanza numerica tra i propri numeri. Se per esempio Miza avesse il 3 il 6 e il 7 dovrebbe dichiarare 2 e 0. Se Erasmus ha il 2, 4, 5 dichiara 1 e 0.

In questo modo ciascuno di loro dovrebbe riuscire a ricostruire la sequenza dell'altro con il "buco" rappresentato dal numero di Nino.

Non so se va bene per tutti i casi. E poi Nino280, che è un perfetto logico , potrebbe, guardando il suo numero, individuare quelli degli altri due (ad es., se lui ha il 5 e sente dire 0-0 da Erasmus e 1-0 da Mizarino, capirebbe che la distribuzione è 1-2-3 per Erasmus e 4-6-7 per Mizarino.

La soluzione è semplice, anche da applicare.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-10-12, 10:48   #947
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No, è vero, così anche Nino ricostruisce i loro numeri.

Si potrebbe comunque usare lo stesso metodo, ma solo uno dei due fa la dichiarazione, per esempio Miza, in modo che Erasmus scopre immediatamente sia i tre numeri di Miza che il numero di Nino. A questo punto, se le regole lo permettono, basterebbe che Erasmus dica ad alta voce il numero che ha Nino, così anche Miza scopre quali sono i numeri di Erasmus.

aleph non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-10-12, 11:02   #948
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sei d'accordo?]

D'accordo?

----------
Questa è una logica poco affine alla mia logica....

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-10-12, 11:08   #949
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
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No, è vero, così anche Nino ricostruisce i loro numeri.

Si potrebbe comunque usare lo stesso metodo, ma solo uno dei due fa la dichiarazione, per esempio Miza, in modo che Erasmus scopre immediatamente sia i tre numeri di Miza che il numero di Nino.
Scusa, se Miza dice 1-1, potrebbe avere 1-3-5 o 2-4-6 o 3-5-7.
Ammettiamo che Erasmus abbia 2-4-6. In questo caso, non capisce se Miza ha 1-3-5 o 3-5-7.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-10-12, 11:34   #950
aleph
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Vero, penso a qualcos'altro allora...

aleph non in linea   Rispondi citando
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