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Vecchio 08-10-12, 15:15   #921
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio

Infatti:
∆p = ε·p = 0,02·11,25 = 0,225.
p + ∆p = 11,25 +0,225 = 11,425;
p – ∆p = 11,2 – 0,225 = 10,775

------------------
L'incertezza indicata da Andreatom è in valore assoluto* (+-0,02) e deve essere valutata sul valore trovato da lui (non sul valore vero).

11,20 +- 0,02 =
= tra 11,18 e 11,22
che è un intervallo esterno al valore vero



*Se si riferisse all'errore relativo, andrebbe bene:
11,2 +- 0,224
= tra 10,976 e 11,424
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-10-12, 15:49   #922
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
=> Length of the fold.png


Ci avevi pensato al fatto che i vertici portati a coincidere distano ugualmente dagli estremi del "segmento-piega" e che quindi il quadrilatero AHCK è un rombo di areda pd/2?

----------
No, non ci avevo pensato.
Mi pare più bella la dimostrazione: Length of the fold.png

Infatti:
Si nota che riaprendo il rettangolo, la piega HK risulta perpendicolare alla diagonale AC che congiunge i due vertici fatti combaciare.
Pertanto, la piega forma con i lati AD e CB un angolo acuto uguale a quello che la diagonale AC forma coi lati AB (BAC) e CD (ACD)
Quindi, la piega HK può essere considerata la diagonale di un rettangolo simile a ABCD, ma con il lato maggiore lungo AB

KH : AB = AC : AD

e ricordando che KH = piega; AB = h; AD = b
si ha:
piega = h/b*RADQ(b^2+h^2)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-10-12, 18:13   #923
Erasmus
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Predefinito Riprendo il penultimo quiz di aspesi ...

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Trovare il minimo valore di n>1 intero per cui
(1^2 + 2^2 + · · · + n^2)/n
è un quadrato perfetto.
Modifico questo penultimo quiz di aspesi ... così:
Quote:
#893 (aspesi) modificato Visualizza il messaggio
Trovare i valori di n intero positivo per cui
(1^2 + 2^2 + · · · + n^2)/n
è un quadrato perfetto
perché mi chiedo quanti sono i numeri n con questa proprietà.

Ne avevamo trovati 3:
1, 337, 65521.
Ne ho trovato un altro.
E allora sono almeno 4:
1, 337, 65521, 12710881.

Ma può darsi che siano in numero infinito e costituiscano una successione crescente con una precisa legge ...

--------------------------
Siamo tutti d'accordo che la somma dei quadrati degli interi da 1 a n vale
n·(n+1)·(2n + 1)/6
e quindi che il quiz (modficato) equivale a determinare n per cui
(n+1)·(2n + 1)/6 =k^2
dove k è un intero positivo.

Abbiamo anche concluso che le eventuali soluzioni del quiz sono del tipo
n = 1 + 24·p + 72·p^2 (*)
dove p è un intero naturale condizionato dal fatto che
q = √[16p·(3p+1) + 1] (**)
deve essere pure intero.

Supposto che gli n siano in numero infinito, alla successione crescente dei loro valori corrisponderebbe biunivocamente la susuccessione crescente degli interi p.
Allora il quiz equivale a
determinare i numeri p tali che 16p·(3p + 1) +1 sia il quadrato di un intero;
e quindi stabilire se questi sono o no in un umero finito e, se sono una infinità, stabilire una legge che li generi.
Poi, basta ricordare la (*) per trovare gli n.

Per ora sappiamo che i primi 4 valori di p sono
0, 2, 30, 420

Il che non è poco rispetto al partrire da zero col solo testo del quiz!

--------------
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Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 08-10-12 18:17.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-10-12, 19:43   #924
aspesi
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Predefinito Re: Riprendo il penultimo quiz di aspesi ...

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
determinare i numeri p tali che 16p·(3p + 1) +1 sia il quadrato di un intero;

--------------
Chi non sa... cerca...

1, 337, 65521, 12710881, 2465845537, 478361323441, 92799630902161, 18002650033695937, 3492421306906109761, 677511730889751597841, ....



a(0)=0, a(1)=1, a(2)=337, a(3)=65521, a(n)=195*a(n-1)- 195*a(n-2)+ a(n-3)

a(n+3)=195(a(n+2) - a(n+1)) + a(n)

a(n)=((7/2 + 2sqrt(3))(97 + 56sqrt(3))^n + (7/2 - 2sqrt(3))(97 - 56sqrt(3))^n - 3)/4 a(n)

Dimenticavo:
p:
0, 2, 30, 420, 5852, 81510, 1135290, 15812552, 220240440, ....
Nota: Questa sequenza non è riportata nell'enciclopedia:
http://oeis.org/wiki/Welcome
Ti propongo di farla registrare...
Search: seq:0,2,30,420

Sorry, but the terms do not match anything in the table.

If your sequence is of general interest, please submit it using the form provided and it will (probably) be added to the OEIS! Include a brief description and if possible enough terms to fill 3 lines on the screen. We need at least 4 terms.

http://oeis.org/search?q=0%2C2%2C30%...sh&g o=Search

Invece, la sequenza dei q:
1,15,209,2911... è riportata:
http://oeis.org/search?q=1%2C15%2C20...s h&go=Search

Ultima modifica di aspesi : 08-10-12 20:41.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 09-10-12, 00:05   #925
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Predefinito Re: Riprendo il penultimo quiz di aspesi ...

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Chi non sa ... cerca ...

1, 337, 65521, 12710881, 2465845537, 478361323441, 92799630902161, 18002650033695937, 3492421306906109761, 677511730889751597841, ....

Quote:
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a(0)=0, a(1)=1, a(2)=337, a(3)=65521, a(n)=195*a(n-1)- 195*a(n-2)+ a(n-3)

a(n+3)=195(a(n+2) - a(n+1)) + a(n)

a(n)=((7/2 + 2sqrt(3))(97 + 56sqrt(3))^n + (7/2 - 2sqrt(3))(97 - 56sqrt(3))^n - 3)/4 a(n)

-------------
Guarda che tu li avevi chiamati n questi numeri. non a.
Ed io avevo introdotto la successione p(r) che incomicia così:
Codice:
  r   ––>   0,       1,       2,       3,  ...
p(r) ––>   0,       2,     30,   420,  ...
in modo da definire poi la successione n come funzione di p:
n = 1 + 24·p + 72·p^2
ossia
n(r) = 1 + 24·p(r) + 72·[p(r)]^2.
--------------
Hai ... "frustrato" tutta la mia bella "maieutica socratica" ( ), sciupando la "didattica" delle nozioni che alla fine si trovano connesse con questo bellissimo quiz.
La "maieutica socratica" sarebbe consistita nell'opportuno sfruttamento della conoscenza dei 4 numeri p(0), p(1), p(2) e p(3) i quali permettono di:
a) rilevare che probabilmente p(r) è una successione che, a lungo andare, tende a comportarsi come una progressione geometrica di ragione un pelo minore di 14.
Visto infatti che p(2)/p(1) = 15 e p(3)/p(2) =14, andiamo a cercare nei dintorni di
420·14 = 5880, partendo per esempio da 5800 e andando in su. Scopriamo così
p(4) = 5852 ––> p(4)/p(3) = 5852/420 = (5880 – 28 )/420 = 14 – 1/15.
Per conferma cerchiamo allora nei dintorni di 5852·(14 – 1/15) e scopriamo così
p(5) = 81510 ––> p(5)/p(4) = 14 – 1/14.
[NB: 14^2 = 196 e 13·15 = 195 = (14 + 1)·(14 – 1) = 14^2 – 1.
Il 195 era il numero il cui quadrato valeva la somma dei quadrati fino ad n divisa per n stesso quando n era il primo intero positivo con questa proprietà].
b) ipotizzare perciò che la successione p(r) fosse una "sequenza linearmente dipendente";
c)cercare, allora, la sua legge di ricorrenza
[la quale , ipotizzata del tipo p(r + 2) = A·p(r + 1) + B·p(r) + C con A pari a 14 o altro numero molto vicino a 14 e B molto minore di A, risulta alla fine così:
p(r+2) = 14·p(r+1) – p(r) + 2
come viene poi confermato controllando che i p(r) successivi a p(3) così calcolati, cioè:
p(4) = 5852; p(5) = 81510; p(6) = 81510; p(7) = 1135290 ...
sono tali che √[16p·(3p + 1) + 1] è un numero intero].
[b]d) risalire dalla legge di riucorrenza a quella di definizione intensiva:
p(r+2) = 14·p(r+1) – p(r) + 2;
p(r+3) = 14·p(r+2) – p(r+1) + 2 ––> sottrarre membro a membro:
--------------------------------------
p(r+3) – p(r+2) = 14·p(r+2) – 15·p(r+1) + p(r) ––> p(r+3) – 15p(r+2)+ 15p(r+1) – p(r) = 0
Polinomio caratteristico associato:
P(x) = x^3 – 15·x^2 + 15·x – 1 = (x^2 –14·x + 1)(x – 1) = 0.
Autovalori [zeri del polinomio caratteristico P(x) ]:
x1 = 7 + 4√(3) ≈ 13,982; x2 = 7 – 4√(3) ≈ 0,0718; x3 = 1.
Legge intensiva:
p(r) = A·x1^r + B·x2^r + C·x3^r = A·[7 + 4√(3)]^r + B·[7– 4√(3)]^r + C
dove A, B e C si determinato dal fatto che deve essere
p(0) = 0 –– > A + B + C = 0
p(1) = 2 ––> A·[7+4√(3)] + B·[7 – 4√(3)] + C = 2
p(2) = 30 ––> (A+B)[49+48)] + (A – B)·2·7·4√(3) + C = 30
Risolvendo in A, B e C si trova:
A = [2 + √(3)]/24; B = [2 – V(3)]/24; C = –1/6.
Si osservi anche che [2+√(3)]^2 = 7 + 4√(3) e [2 – √(3)]=2 = 7 – 4√(3).
Pertanto:
p(r) = {[2 + √(3)]^(2r+1) + [2 – √(3)]^(2r + 1) – 4}/24

Infine
n(r) = 1 + 24·p(3) + 72·[p(r)]^2 =
= 1 + {[2+√(3)]^(2r+1) + [2–√(3)]^(2r+1) – 4} +(3/8){[2+√(3)]^(2r+1) + [2–√(3)]^(2r+1) – 4}^2.
------

NB:
Volendo, di p(r) e n(r) si può dare anche l'espressione in funzioni iperboliche cosh(φ) e sinh(φ) ponendo
φ = ln(2+√(3)]

Ciao, ciao
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Vecchio 11-10-12, 09:27   #926
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[...]
a(0)=0, a(1)=1, a(2)=337, a(3)=65521, ...
a(n)=195*a(n-1) - 195*a(n-2) + a(n-3)

[...]
Cagnato!
--------
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Vecchio 11-10-12, 09:43   #927
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Vecchio 11-10-12, 10:01   #928
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[...]
a(0)=0, a(1)=1, a(2)=337, a(3)=65521, ...
a(n)=195*a(n-1) - 195*a(n-2) + a(n-3)

[...]
Cagnato!
--------
1) la successione a(n), dal punto di vista numerico, è una funzione intera di n intero (anche nullo o negativo).
La legge di ricorrenza la puoi anche scrivere per n decrescente. Infatti dalla legge (giusta) che metti tu si ha
a(n–3) = 195·a(n–2) – 195·a(n–1) + a(n)
e mettendo n al posto di n–3
a(n) = 195·a(n+1) – 195·a(n+2) + a(n+3)
Per n = 0 abbiamo a(0) = 195·a(1) – 195·a(2) + a(3)
Siamo d'accordo sul fatto che:
a(1) = 1; a(2) = 337; a(3) = 65521.
Allora
a(0) = 195·(1 – 337) + 65521 = –195·336 + 65521 = 1
2) Dal punto di vista del quiz, la successione è valida solo per n positivo.
Qua ... bisogna rinominare i simboli. Adesso quel che là era n è diventato a
Ricordando che la somma dei quadrati degli interi fino ad un certo intero a (incluso) divisa per lo stesso a vale
(a +1)(2a + 1)/6
il quiz diventa
«Trovare gli a interi per i quali (a +1)(2a + 1)/6 è intero».
Vedi che a = 1 va bene, mentre a = 0 non va bene perché dà 1/6.
Morale: è impossibile che nella sequenza degli a(n) ci stia anche lo zero.
[Siccome la sequenza viene simmetrica, cioè a(-n) = a(n+1), tutti gli a sono positivi. ]
----------

----------------

P.S. [Editando e modificando]

a) Posto N = –a, dire che gli a sono sempre positivi significa dire che:
Per qualsiasi N intero positivo, è impossibile che
(N – 1)·(2N – 1)/6
sia il quadrato di un intero positivo.


b) La tua successione a(n) come funzione intera di n preferirei scriverla così:
a(n) = {[2+√(3)]^(4n–2) + [2 – √(3)]^(4n–2) – 6}/8

A ri-ciao!
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Ultima modifica di Erasmus : 11-10-12 13:32.
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Vecchio 11-10-12, 10:47   #929
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b) La tua successione a(n) come funzione intera di n preferirei scriverla così:
a(n) = {[2+√(3)]^(4n–2) + [2 – √(3)]^(4n–2) – 6}/8

A ri-ciao!


Qui
http://oeis.org/search?q=1%2C337%2C&...alian&go=cerca
c'è la formula:
a(n)=((7-4sqrt(3))^(1+2n)+(7+4sqrt(3))^(1+2n)-6)/8

x(1+142x+x^2)/[(1-x)(1-194x+x^2)]

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-10-12, 14:12   #930
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Qui
http://oeis.org/search?q=1%2C337%2C&...alian&go=cerca
c'è la formula:
a(n)=((7-4sqrt(3))^(1+2n)+(7+4sqrt(3))^(1+2n)-6)/8
E' la stessa [dato che (2 + √(3))^2 = 7 + 4√(3) ] , solo che è ... sfasata di un passo (ed è la mia originale).
Avevo detto la tua proprio perché tu avevi messo
a(1) = 1; a(2) = 337; a(3) = 65521; ...
invece di
a(0) = 1; a(1) = 337; a(2) = 65521; ...
----------

---------------
Io non sono in grado di far "registrare" la successione che chiamavo p, cioè
0, 2, 30, 420, 5852, ...
[numeri interi positivi p tali che √[16p(3p+1)+1] è intero].
Se tu sei capace ... fallo tu!
E' interessante il fatto che quella che risolve il quiz derivi da questa ... per il fatto che la legge di ricorrenza è qualitativamente la stessa
[Polinomio caratteristico del tipo (x – 1)(x^2 – A·x + 1)]
Ma mentre per quella che risolve il quiz – ormai chiamiamola a(n) – risulta A = 195, per quella che ho chiamato p(n) A è soltanto 14. Infatti era saltata fuoiri proprio per risolvere il quiz con "carta e matita", cioè per contenere i tentativi in ambito di nmeri piccolini.
Insomma: procedendo "euristicamente", si individua molto più facilmente la p(n) che la a(n). Poi è facile da
a(n) = 1 + 24·p(n) + 72·[p(n)]^2
trovare anche la legge di ricorrenza di a(n).
"In fondo al barile" ci sta il numero 2 + √(3) il cui reciproco è 2 – √(3).
Se metti
e^x = 2 + √(3)
ossia
x = ln[2 + √(3)]
trovi subito
cosh(x) = (e^x + 1/e^x)/2 = 2
sinh(x) = (e^x – 1/e^x)/2 = √(3)

Da qui puoi derivare tutte le seguenze di interi del tipo
A·cosh(mx) + B
[anche se m è a sua volta una sequenza di interi invece che banalmente 1, 2, 3, 4, ... ] scegliendo opportunamente (a seconda di cos'è davvero m) le costanti A e B (perché, sviluppando [2 + √(3)]^m + [2 – √(3)]^m le potenze dispari di √(3) si mangiano le une con le altre).
Casi particolari sono proprio le nostre a(n) e p(n) ... e gli altri interi che saltano fuori trattando il quiz.
----
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