Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[Erasmus]

aspesi

Tu ci sei arrivato solo con carta e matita... io faccio fatica a seguire anche la spiegazione!

Più sotto rifaccio la spiegazione cercando di essere ad un tempo sintetico e chiaro.

aspesi

A questo punto per tentativi ...

I tentativi tu li fai con Excell o ... "con carta e matita"?
Io li ho fatti con la calcolatrice grafica
Ma dopo, col senno di poi, ho capito che ci si può ricondurre ad una situazione in cui i tentativi sono facilissimi (e si possono fare sbrigativamente senza mezzi di calcolo automatico).
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Riprovo a fare la spiegazione di come, ragionando e facendo conticini facili (quindi a mente o "con carta e matita"), si arriva alla soluzione.

Prova a seguire i passaggi logici nel seguente discorso dove
• la frecia "––>" significa tener conto, ad ogni stadio del processo logico, di quanto è già acquisito;
• tutti i simboli-lettere sono numeri interi (maggiori di 1).

[1 + 2^2 + ... + n^2]/n = k^2 ––> [n(n+1)(2n+1)/6]/n = k^2 ––> (n+1)(2n+1) = 6k^2 ––>
––> Siccome 6k^2 è pari e 2n+1 è dispari, deve essere n dispari ––> n = 2m + 1 ––>
––> (m + 1)(4m+3)/3 = k^2 ––> (a)«(m+1) = 3·h » oppure (b)« m = 3h ––> 4m+3 = 3(4h+1)»

a) Ipotesi (m + 1) = 3h ––> 4m + 3 = 12·h – 1 = 3·(4 h– 1) + 2
[Cioè: se (m + 1) mod 3 = 0 allora (4·m + 3) mod 3 = 2]
Allora (m+1)(4m+3)/3 = h·(12·h – 1) = k^2.
Due numeri consecutivi non hanno fattori comuni; perciò:
MCD(12h, 12h–1) = 1 e MCD(12, 12h – 1) = 1 –––> MCD(h, 12h – 1) = 1 ––>
––> «h è un quadrato» e «12·h – 1 è un altro quadrato dispari» ––> 12h – 1 = (2p + 1)^2 ––>
––> 12·h – 1 = 4p^2 + 4p + 1 ––> 6·h = 2p^2 + 2·p + 1 –––>
––> «Numero pari = Numero dispari» ––>ASSURDO ––> Ipotesi a) da scartare!

b) Ipotesi m = 3h ––> (3h+1)·(4h +1) = k^2
4h + 1 è dispari e quadrato di dispari, diciamo (2·t+1)^2 e quindi:
4·h + 1 = 4·t^2 + 4·t + 1 ––> h = t·(t + 1) ––> «h è pari» ––> 3·h+1 = (2·s+1)^2 ––>3h = 4s(s + 1) ––>
––> «h è divisibile per 8» e «s è divisibile per 3, s = 3·p» ––> 3h + 1 = (6·p + 1)^2 e «h =4·p·(3·p + 1)» .
A questo punto ... faccio tentativi!
• p = 1 ––> h = 4p(3p+1) = 16 ––> 4·h + 1 = 65 ––> NO!
• p = 2 ––> h = 4p(3p+1) = 4·2·(3·2 + 1) = 8·7 = 56 ––> «3h + 1 = 169 = 13^2» e «4h + 1 = 225 = 15^2» SI'
Quindi
3h + 1 = m + 1 = 169 ––> m = 168 ––> n = 2m + 1 = 2·168 + 1 = 336 + 1 ––> n = 337 ––>
––> k^2 = (3·h +1)·(4·h + 1) =169·225 ––> k = 13·15 ––> k = 195.
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NB.
Il prossimo n – trovato con la calcolatrice grafica cercando per quale p è intero √[16·p·(3·p + 1) + 1] – si ha per p = 30 e quindi:
h = 4p(3p + 1) = 120·91 = 10920
m = 3h = 32760
2m + 1 = n = 65521
3h+1 = 181^2;
4h + 1 = 209^2;
181·209 = k = 37829

Controllo:
(n + 1)·(2·n + 1)/6 = 65522·131043/6 = 32761·43681 = (181^2)·(209^2)
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[aspesi]

Erasmus

I tentativi tu li fai con Excell o ... "con carta e matita"?

Con Excel.
Di solito è una cosa semplice e molto rapida

[nino280]

Nel nostro campo arrivarono 12.814.425 palle da cannone.
Il colonnello disse mettetele in fila facendo 337 quadrati di 195 x 195 palle. Poi dopo aver constatato che tenevano troppo spazio ed intelligente com'era cambiò idea e disse di fare una bella piramide con le palle, con il lato quadrato alla base di 337 palle.
Con stupore ci accorgemmo che le file di palle dalla base all'ultima erano anche 337
Tanto la storia delle palle è una palla che mi sono inventata io, seguendo il quesito di Aspesi e la soluzione di Erasmus, anche perchè io il militare non l'ho neanche fatto.

[Erasmus]

Mi piace!
Bellissimo, bravo Nino I !
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[aspesi]

Problemino di scuola Media (non è una discussione dal titolo "Importante", ma magari passa qualche visitatore... Erasmus, astieniti, almeno per un po')

Ho piegato un foglio di carta rettangolare 9x12 in modo da far coincidere 2 vertici opposti.
Quanto e' lunga la piega ?

(E in generale, per un rettangolo di dimensioni a e b con a>=b, quant'è lunga la piega?)

[ANDREAtom]

Esattamente 11,2

[aspesi]

ANDREAtom

Esattamente 11,2

All'esattamente, manca pochissimo...

[ANDREAtom]

Beh, ho fatto il calcolo "a mente"; diciamo + - 2 centesimi.......

[aspesi]

ANDREAtom

Beh, ho fatto il calcolo "a mente"; diciamo + - 2 centesimi.......

Eh... no, l'impostazione va fatta con la matita (e poi il calcolo con la calcolatrice), e dà un valore fuori dal range che hai indicato.

[Erasmus]

aspesi

Eh... no, l'impostazione va fatta con la matita (e poi il calcolo con la calcolatrice), e dà un valore fuori dal range che hai indicato.

a) Probabilmente i 2 centesimi di Andreatom sono un errore relativo e non assoluto (quindi "più o meno" 0,22. Ma ancora no ci sta ... seppur per un pelo!
b) "calcolo con la calcolatrice"?
Ma dai: 9 x 15 imbroglia! Conta il rapporto 9/15 = 3/5, non il prodotto 9 x 15 = 135.
Rispunta la solita terna pitagorica minima [3, 4, 5]
[Trovata la lunghezza della piega d'un foglio 3 x 5, la moltiplico poi per tre]
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P.S.

Al punto a) ho detto una cavolata ...