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Vecchio 10-02-12, 20:25   #431
nino280
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Ma a te, già ti conoscevo, avevi postato una tua foto un paio d'anni fa.

Io purtroppo non posso postare una mia foto, perchè c'è un astrologo mio rivale, che l'utilizzerebbe per farci dei riti vudù, meglio evitare.

Ma,vi sembrerà strano ma sono andato a vedere il mio profilo per vedere chi effettivamente ero.
Quante cose belle ho visto, tutte per lo più dimenticate, anche se postate da me stesso su facebook;
una a caso:
http://www.youtube.com/watch?feature...&v=VAGuEjblPDg

Ed un'altra ancora:
https://www.youtube.com/watch?v=-sbg...layer_embedded#!

Ultima modifica di nino280 : 10-02-12 21:17.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-02-12, 12:46   #432
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Questo problema forse coinvolgerà qualche altro frequentatore del forum.

Una nave militare, supponiamo di forma quadrata, di lato 500 m, si muove a velocità costante.
Un elicottero della marina la controlla, sorvolandola in modo che la sua verticale percorre il perimetro della nave.
Al completamento di un giro completo da parte dell'elicottero, la nave si è spostata di 500 metri; considerando costanti le velocità dei due mezzi, quanti metri ha percorso l'elicottero?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-02-12, 19:14   #433
astromauh
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Avevo pensato a questa ...

Soluzione: 2030,776 m ;

Ma ripensandoci, non mi sembra che vada bene.


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astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-02-12, 20:57   #434
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Avevo pensato a questa ...

Soluzione: 2030,776 m ;

Ma ripensandoci, non mi sembra che vada bene.


Infatti.... non va....

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-02-12, 21:14   #435
astromauh
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

E questo?

Percorso= 2*(L + sqrt(L^2 + (0.5*L)^2)]= 2118,03 m;
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Ultima modifica di astromauh : 11-02-12 21:26.
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Vecchio 11-02-12, 21:26   #436
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
E questo?

Percorso= 2118,03 m;
Neppure...

(Però, sei andato più vicino di prima)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-02-12, 21:54   #437
astromauh
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Allora mi arrendo.

Però questa volta ero proprio convinto che andasse bene.

Ho ragionato in questo modo:

Supponiamo che la nave si muova orizzontalmente verso destra(verso est), e che l'elicottero parta dall'angolo inferiore sinistro in direzione dell'angolo inferiore destro.

Percorrendo in direzione del movimento della nave, questa prima parte del suo cammino sarà uguale ad L + alfa. Quando invece si troverà a percorrere nella direzione contraria, il suo cammino sarà uguale ad L - alfa, per cui di alfa non ci importa, perchè sparisce dal calcolo.

Quando invece l'elicottero vola in direzione Nord o Sud, il suo percorso dovrebbe essere uguale all'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti, il lato della nave, ed un incremento beta, dovuto alla velocità della nave.

Il percorso dell'elicottero dovrebbe essere quindi pari a 2 lati + 2 volte sqrt(lato^2 + beta^2).

Il semi-percorso dell'elicottero dovrebbe quindi essere la metà:

lato + sqrt(lato^2 + beta^2)

Ma quando l'elicottero si trova a metà del suo cammino, anche la nave si trova a metà del suo cammino, per cui il valore di beta dovrebbe essere uguale alla metà del lato.

Non è esattamente cosi', perchè sto ragionando sul valore medio, per cui quando la nave si trova a metà del suo cammino, l'elicottero è un po' in ritardo sull'angolo che dovrebbe raggiungere, ma recupererà questo ritardo nella seconda parte del cammino.

Percorso= 2* [ L + sqrt(L^2 + (0.5*L)^2) ] = 2118,03 m;

Mi pareva che il ragionamento filasse...






OK, ho capito il mio errore...

Credo che il mio errore sia stato quello di considerare i percorsi Est-Ovest e Ovest-Est uguali al lato più un tot e a un lato meno un tot.

I tot, non devono mica essere uguali nei due casi!
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Ultima modifica di astromauh : 11-02-12 22:37.
astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-02-12, 02:35   #438
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Domande:
a) l'elicottero va a velocità costante rispetto al mare o rispetto alla nave?
Suppongo che tu intenda rispetto al mare.
b) La nave quadrata (un po' strana come nave) si muove nella direzione di un suo lato o no?
Suppongo nella direzione di un suo lato.
------------------
Chiamo
• L il lato della nave, pari al suo avanzamento durante il giro dell'elicottero su tutto il suo perimetro,
• T il tempo che la nave impiega ad avanzare del tratto L
• k > 1 il rapporto tra la velocità dell'elicottero e quella della nave.
a) Mentre l'elicottero sorvola un lato trasversale della nave, questa avanza del tratto ∆1.
Pertanto
√(L^2 + ∆1^2) = k·∆1 ––> ∆1 = L/√(k^2 – 1)
Questo avviene due volte.
b) Mentre l'elicottero sorvola un lato nella stessa direzione di avanzamento della nave, questa avanza di un tratto ∆2. In questo tempo l'elicottero percorre un lato della nave più il tratto ∆2.
L + ∆2 = k·∆2 ––> ∆2 = L/(k – 1)
c) Mentre l'elicottero sorvola un lato nella direzione contraria a quella di avanzamento della nave questa avanza di un tratto ∆3. In questo tempo l'elicottero percorre un lato della nave meno il tratto ∆3.
L – ∆3 = k·∆3 ––> ∆3 = L/(k + 1)
d) La somma degli avanzamenti della nave durante il giro dell'elicottero sul suo perimetro è pari alla lunghezza L del lato della nave.
2·∆1 + ∆2 + ∆3 = L ––> 2·L/√(k^2 – 1) + L/(k –1) + L/(k + 1)] = L ––>
––> 2√(k^2 –1) + (k + 1) + (k – 1) = k^2 –1 ––> 2·[√(k^2 – 1) + k] = k^2 – 1 ––>
––> √(k^2 –1) = (k^2 –1 – 2·k)/2.
Quadrando si ottiene l'equazione razionale di 4° grado in k:
k^4 – 4·k^3 – 2·k^2 + 4·k + 5 = 0
che ha due soluzioni reali. Questa, con i mezzi di calcolo moderni, è meno utile dell'equazione irrazionale da cui deriva, cioè:
2·[k + √(k^2 – 1)] – (k^2 – 1) =0 (*)
Infatti quest'ultima ha una sola soluzione, mentre l'equazione razionale ne ha due entrambe positive.
La soluzione "buona" è la maggiore, cioè:
k = 4,1811254452927...
[La soluzione minore dell'equazione razionale è la soluzione dell'equazione irrazionale ottenuta dalla (*) cambiando segno alla radice quadrata].
La lunghezza del percorso dell'elicottero è k volte la lunghezza del tratto percorso dalla nave che è 500 m, ossia 2090 m abbondanti.
-------------

A questo risultato si arriva anche ragionando in un altro modo.
Mentre l'elicottero sorvola un lato trasversale della nave ed essa avanza del tratto ∆1, l'elicottero percorre la distanza
√(L^2 + ∆1^2)
La velocità dell'elicottero è dunque [√(L^2 + ∆1^2)]/∆1 volte quella della nave.
Si assuma come incognita x il rapporto ∆1/L. Il rapporto tra la velocità dell'elicottero e quella della nave diventa
k = [√(1 + x^2)]/x
Mentre l'elicottero sorvola in avanti un lato longitudinale della nave e questa avanza del tratto ∆2, l'elicottero percorre la distanza L+ ∆2 e pertanto
L + ∆2 = ∆2·[√(1 + x^2)]/x ––> L·x + ∆2·x = ∆2·√(1 + x^2) ––> L·x = ∆2·[√(1 + x^2) – x] = ∆2/[√(1 + x^2) + x] ––>
––> ∆2/L = x·[√(1 + x^2) + x]. (*)
Analogamente, mentre l'elicottero sorvola a ritroso un lato longitudinale della nave e questa avanza del tratto ∆3, l'elicottero percorre la distanza L– ∆3 e pertanto
L – ∆3 = ∆3·[√(1 + x^2)]/x ––> L·x – ∆3·x = ∆3·√(1 + x^2) ––>
––> L·x = ∆3·[√(1 + x^2) + x] = ∆2/[√(1 + x^2) – x] ––>
––> ∆3/L = x·[√(1 + x^2) – x]. (**)
Sommando membro a membro la (*) e la (**) si ha:
(∆2 + ∆3)/L = 2·x·√(1+x^2). )***)
Ricordando che 2·∆1 + ∆2 + ∆3 = L, la (***) diventa:
1 – 2·x = 2x·√(1 + x^2)
dalla quale, quadrando entrambi i membri, si ricava l'equazione razionale:
1 + 4·x^2 – 4·x = 4·x^2 + 4·x^4 ––> 4·x^4 + 4·x – 1 = 0.
Questa equazione ha due soluzioni reali: una negativa ed una positiva. Quella buona è quella positiva che vale:
x = 0,24631879338412...

Noto x, la velocità dell'elicottero viene
k = [√(1 + x^2)]/x = 4,1811254452927
volte la velocità della nave, per cui la distanza percorsa dall'elicottero sarà
L·[√(1 + x^2)]/x = 4,1811254452927·500 m ≈ (circa) 2090,56 m
---------------------------------------
Mostro come si perviene a risolvere algebricamente l'equazione 4·x^4 + 4x – 1 = 0 passando per una equazione cubica canonica.
[NB: L'equazione cubica canonica è del tipo x^3 +3·p –2·q = 0.
Quando è p > 0, la soluzione reale è unica. Se è anche q > 0 allora la soluzione reale è:
x = [√(q^2 + p^3) + q]^(1/3) – [√(q^2 + p^3) – q]^(1/3)

Scritta l'equazione nella forma
x^4 + x – 1/4 = 0,
si cerchi la decomposizione del polinomio di sinistra nel prodotto di due polinomi di 2° grado:
(x^2 + a·x + b)·(x^2 + c·x + d) = x^4 + (a + c)·x^3 + (a·c + b + d)·x^2 + (a·d + b·c)·x + b·d = x^4 + x – 1
Perché valga l'ultima uguaglianza per ogni x deve essere:
a + c = 0 ––> c = – a;
ac + b + d = 0 ––> b + d = a^2;
a·d + b·c = 1 ––>b – d = –1/a;
b·d = –1/4
da cui
b = (a^2 – 1/a)/2;
d = (a^2 + 1/a)/2;
b·d = (a^6 – 1)/(4·a^2) = –1/4 ––> a^6 + a^2 –1 =0

E' questa una equazione di 3° grado canonica in a^2. La soluzione reale e positiva è data da
a = (1/2)·√{[32√(31/27) + 32]^(1/3) – [32√(31/27) – 32]^(1/3)} = 0.82603135765419...
Allora si possono determinare le costanti b, c e d.
c = – a = –(1/2)·√{[32√(31/27) + 32]^(1/3) – [32√(31/27) – 32]^(1/3)} = –0.82603135765419...
b = (a^3 – 1)/(2a) = –0,26413999528903... ;
d = (a^3 + 1)/(2a) = 0,94646779911705....
Le soluzioni reali dell'equazione x^4 + x – 1/4 = 0 sono quelle dell'equazione
x^2 + a·x + b = x^2 + a·x + (a^3 – 1)/(2a) = 0
ossia: x = [√(2·a – a^4) – a^2]/(2a)
dove a = (1/2)·√{[32√(31/27) + 32]^(1/3) – [32√(31/27) – 32]^(1/3)} = 0.82603135765419...
e quindi
x = 0,24631879338412...
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 12-02-12 02:57.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-02-12, 06:39   #439
astromauh
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
La lunghezza del percorso dell'elicottero è k volte la lunghezza del tratto percorso dalla nave che è 500 m, ossia 2090 m abbondanti.
Bravo.

Io alla fine ci sono arrivato con la forza bruta.




Ho usato questo codice:

<%

Dim L as integer=500 '''Lato della nave
Dim v as integer '''Velocità elicottero
Dim nave=500 '''Velocità nave
Dim t as Double
Dim s1, s2, s3 as Double
Dim Percorso as Double
Dim pezzettino as double


for v=2080 to 2100
response.write("V=" & v &"&nbsp;")
t= L / (v-nave)

s1= v * t
s2 = (v/nave) * sqrt(500^2 / ((v/500)^2 - 1))
s3= (v / (v+nave))* 500

Percorso= s1 + s2 + s2 + s3

if ABS(v - Percorso) < 1 then

response.write("<br><font color=red>")
response.write("s1=" & s1 &"<br>")
response.write("s2=" & s2 &"<br>")
response.write("s3=" & s3 &"<br>")
response.write("Percorso=" & Percorso &"<br>")
pezzettino= s2 *(nave/v)
response.write("pezzettino=" & pezzettino &"<br>")
response.write("Ritorno= " & s1 + 2*pezzettino - s3 &"<br><br>")
response.write("</font>")

ELSE response.write("NON VA<br>")
end if

next

%>

che produce questo output:

V=2080 NON VA
V=2081 NON VA
V=2082 NON VA
V=2083 NON VA
V=2084 NON VA
V=2085 NON VA
V=2086 NON VA
V=2087 NON VA
V=2088 NON VA
V=2089 NON VA
V=2090
s1=657,232704402516
s2=514,953300765569
s3=403,474903474904
Percorso=2090,61420940856
pezzettino=123,194569561141
Ritorno= 500,146940049894

V=2091
s1=657,133878064111
s2=514,938354449411
s3=403,512157468159
Percorso=2090,52274443109
pezzettino=123,132079017076
Ritorno= 499,885878630103

V=2092 NON VA
V=2093 NON VA
V=2094 NON VA
V=2095 NON VA
V=2096 NON VA
V=2097 NON VA
V=2098 NON VA
V=2099 NON VA
V=2100 NON VA

Ossia ho provato diverse velocità dell'elicottero, fino a quando non ho trovato una velocità che andava bene.



PS
Naturalmente avevo provato con un numero di velocità molto più grande, l'ho ridotto perchè altrimenti sarebbe venuto un post lunghissimo.
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astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-02-12, 10:09   #440
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

@ Erasmus Come sempre, eccezionale. Io avevo ragionato facendo la somma dei tempi di percorrenza dei 4 lati della nave (il tuo primo metodo di risoluzione)

(Soluzione G. Vecchi): Si supponga che il lato della nave sia lungo 1 e che il tempo che la nave impiega a spostarsi di 1 lato sia 1 minuto. La velocità della nave è quindi 1 lato/minuto.
Dobbiamo determinare la velocità v dell'elicottero.
Supponiamo che l'elicottero parta da prua, in direzione trasversale alla nave.
Un marinaio che sta sulla nave vede inizialmente l'elicottero muoversi a una velocità inferiore a quella che avrebbe visto da fermo: la velocità è la risultante dei moti combinati dell'elicottero e della nave = RADQ(v^2-1).
Poi, in direzione opposta alla direzione della nave, la velocità sarà (v+1); ancora trasversalmente sarà RADQ(v^2-1) e infine quando l'elicottero va nella direzione della nave risulterà (v-1).
Ad ognuna di queste velocità, l'elicottero percorre una distanza pari al lato della nave e abbiamo detto che una volta che avrà fatto il giro completo sarà passato 1 minuto.

2/(RADQ(v^2-1) + 1/(v+1) + 1/(v-1) = 1

A questo punto... non sapendo come risolverla... , ho fatto come Astromauh un programmino (molto più semplice del suo!), facendo variare la velocità dell'elicottero fino ad avere un errore piccolissimo nell'equazione precedente ( 1+- errore <0,00000001).
Il risultato è v=4,1811656 che corrisponde (moltiplicando per 500) ad uno spazio percorso pari a 2090,58 metri al minuto circa.

aspesi non in linea   Rispondi citando
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