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Vecchio 29-04-14, 01:47   #1551
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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astromauh Visualizza il messaggio
Ho fatto bene ad abbandonare il quiz, perché non avrei mai trovato la soluzione.
Non è particolarmente difficile.
Devi partire dall'idea di tracciare un segmento lungo come il lato del quadrato di area pari a quella del pentagono irregolare che è la "casetta" di questo quiz di aspesi.
Pensa alla mia prima soluzione (quella in 6 pezzi).
Dopo che aspesi m'ha detto che si può fare di meglio, ho corretto il tro: ma il clou è rimasto lo stesso. E consiste nel tracciare, dentro la "casetta", quel segmento lungo come il lato del quadrato di area pari a qella di quel pentagono.
La mia prima soluzione assomiglia alla verifica del teorema di Pitagora, quella che si fa decomponendo il quadrato dell'ipotenusa in 5 pezzi: un quadrato in centro (pari al quadrato del cateto minore) e attorno ad esso i quattro pezzi in cui è stato diviso il quadrato del cateto maggiore.
La "casetta" di aspesi è fatta da un quadrato sormontato da un triangolo che puoi spaccare in due e ricomporre in un quadratino di area un quarto del quadrato grande.
Allora puoi pensare al lato del quadrato equivalente come ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateto maggiore 1 e cateto minore 1/2. Infatti il quadrato dell'ipotenusa sarà uguale alla somma dei quadrati dei cateti cioè
1·1 + (1/2)·(1/2)
che è proprio l'area della "casetta" di aspesi.
Ecco perché, in entrambe le soluzioni, c'è un segmento azzurro come ipotenusa di un triangolo rettangolo con un cateto 1 (che è la larghezza della "casetta" e la lunghezza del lato verticale) e l'altro 1/2, proprio metà del precedente.
–––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 29-04-14 14:45.
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Vecchio 29-04-14, 06:42   #1552
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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Erasmus Visualizza il messaggio
Allora puoi pensare al lato del quadrato equivalente come ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateto maggiore 1 e cateto minore 1/2. Infatti il quadrato dell'ipotenusa sarà uguale alla somma dei quadrati dei cateti cioè
1·1 + (1/2)·(1/2)
Chiaro, anche per me, che in intelligenza visiva e spirito di osservazione sono una frana...

E questo?
#1540
Secondo un teorema dimostrato da Wallace-Bolyai e Gerwien qualsiasi poligono può essere trasformato in qualsiasi altro poligono di area uguale, tagliandolo in un numero finito di pezzi.
Dudeney divise un triangolo equilatero in quattro parti tali che, riunite insieme, possano formare un quadrato.


Come dividere un triangolo equilatero in quattro pezzi tali da formare un quadrato?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-04-14, 23:33   #1553
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

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aspesi Visualizza il messaggio
Come dividere un triangolo equilatero in quattro pezzi tali da formare un quadrato?
E' tutto il giorno che ci penso.
Ma non sono andato più in là della costruzione del lato del quadrato equivalente.

Spiego quanto vale e come si fa a trovarlo ... con riga e compasso.
Se diciamo a il lato del triangolo equilatero, h = [√(3)/2]·a la sua altezza e q il lato del quadrato equivalente abbiamo:
• Area del triangolo equilatero: S = (a^2)·√(3)/4
q = √(S) = (a/2)·√[√(3)] = (a/2)·3^(1/4).

La lunghezza q del lato del quadrato equivalente si può pensare la media geometrica tra mezzo lato [del triangolo equilatero] a/2 e l'altezza h.
q = √[(a/2)·h]

Allora posso costruire facilmente un segmento lungo q con un estremo nel punto che mi fa più comodo, per esempio in un vertice del triangolo equilatero ... come segue.

Il un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è la media geometrica delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Allora, disegnato il triangolo equilatero ABC di base AB, sia H il punto medio di AB e si consideri sul prolungamento di AB dalla parte di B il punto K distante distante da B come l'altezza h = HC.
Si disegni ora la circonferenza Γ che ha per diametro HK.
La perpendicolare per B alla retta AC interseca Γ in due punti P e Q che distano [entrambi] q da B.
PB = QB = q = √(HB·BK) = √[(a/2)·h].
Infatti, HPK e HQK sono triangoli rettangoli di ipotenusa HK e le proiezioni dei loro cateti sull'ipotenusa sono proprio:
HB = a/2; BK = h.
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Ultima modifica di Erasmus : 30-04-14 15:35.
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Vecchio 30-04-14, 07:27   #1554
aspesi
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E' tutto il giorno che ci penso.
Ma non sono andato più in la della costruzione del lato del quadrato equivalente.

Un piccolo, grande aiuto (non è farina del mio sacco, eh...)

-da un vertice del triangolo equilatero (es. B), si traccia il segmento BM al punto medio del lato AC, prolungando poi da M fino a Q (AM = MQ)
-centrando sul punto medio R di BQ si traccia il cerchio di raggio RQ
-P è il punto in cui il prolungamento di AC (dalla parte di A) incontra il cerchio BPQ
-a questo punto, centrando su M si traccia il cerchio di raggio MP, che incontra il lato BC in D
-.................

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-04-14, 12:43   #1555
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Sono inca.... issimo.
Queste cose che dice Aspesi io le verificavo in tre minuti e mezzo. Ora senza il mio cad non posso più farlo.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-04-14, 13:24   #1556
aspesi
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Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Ora senza il mio cad non posso più farlo.
Ciao
La soluzione, per chi la vuole vedere, è qui:

http://www.robertorampini.it/Documen...20merciaio.pdf

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Ha...her-anm-01.gif



Ultima modifica di aspesi : 30-04-14 13:29.
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Vecchio 30-04-14, 14:55   #1557
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Credevo d' avere 'postato'. Ma non vedo il mio 'post'.
Sarà successo come altre volte che credo d'avere 'inviato' ed invece ho fatto solo l'ennesima 'anteprima'.
Cerco di ricostruire il post così come l'avevo messo, anche se ora è quasi ... inopportuno!
================================================== ======
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Un piccolo, grande aiuto ...[
Aiuti non be voglio!
Ecco qua la soluzione;
P.S,
Ho imparato da te, aspesi: «Chi sa fa, chi non sa cerca».
Aggiungo di mio: «E quando trova fa».
=> Grazie, Grazia!»
–––

================================================== ===========

Ecco: questo era, pressapoco, il mio intervento di qualche ora fa.

Adesso ero ritornato per dare ... una brutta notizia!

La soluzione di sopra, copiata da me nel sito di certa "Grazia" (non meglio identificata) ... E' UN IMBROGLIO!

«Grazia, sei una DISGRAZIA! »

La figura ricomposta con quelle istruzioni in realtà è un rettangolo ... quasi quadrato!
Il quadrato, fatto 1 il lato del triangolo, deve avere il lato lungo
q = [3^(1/4)]/2 = 0,6580370064...
Ho calcolato, nella prima figura di sopra, FR ed SK.
Sono uguali e valgono FR = SK = √(3/7)]/2.
Per cui il lato verticale del rettangolo ) che sembra un quadrato) vale
2·FR = 2· SK = √(3/7) = 0,65465367 ... < q.
Ho calcolato anche l'altro lato del finto quadrato.
Risulta lungo HS + HR = DR + DS
E siccome HR = DS, si ha HS + HR = HD = √(7)/4 = 0,6614378277 ... > q
Non ci si accorge dell'imbroglio perché i due lati del rettangolo differiscono solo di millesimi.
Ma resta un'imbroglio.

Naturalmente, l'area viene giusta:
S = √(3/7)· √(7)/4 = √(3)/4 = q^2.
------------------

Non ho ancora guardato dove aspesi ci manda a vedere la soluzione ....
[Disgraziata Grazia!
Sono incazzato più di Nino280.]
–––––––––
Ciao ciao
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Ultima modifica di Erasmus : 30-04-14 15:40.
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Vecchio 30-04-14, 15:33   #1558
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Ahi, ahi, aspesi!
Questa è la stessa soluzione che ho postato io, cioè un IMBROGLIO!
Imbroglio per imbroglio ... allora è più elegante l'imbroglio che volevo postare ieri (dopo un'intera giornata di inutili tentativi) ... ma solo per scherzo.
–––
Ciao, ciao.
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Vecchio 30-04-14, 15:59   #1559
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Ahi, ahi, aspesi!
Questa è la stessa soluzione che ho postato io, cioè un IMBROGLIO!

Ciao, ciao.
Infatti!
Volevo vedere se te ne fossi accorto...

Hai fatto malissimo a non accettare il mio aiuto.... che, a differenza del link, dava la soluzione esatta!
#1554

-da un vertice del triangolo equilatero (es. B), si traccia il segmento BM al punto medio del lato AC, prolungando poi da M fino a Q (AM = MQ)
-centrando sul punto medio R di BQ si traccia il cerchio di raggio RQ
-P è il punto in cui il prolungamento di AC (dalla parte di A) incontra il cerchio BPQ
-a questo punto, centrando su M si traccia il cerchio di raggio MP, che incontra il lato BC in D


-su AC si prende il punto E tale che DE = MA
-per E ed N si tracciano le perpendicolari EH ed NK a DM.

I segmenti DM, NK, HE dividono il triangolo in 4 parti che possono essere disposte in modo da formare un quadrato.

http://utenti.quipo.it/base5/dudeney/triquad.htm

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-04-14, 18:04   #1560
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La soluzione vera è dunque molto prossima a quella dell'IMBROGLIO!
Le manovre iniziali fino a trovare il punto D sul lato BC – mi sto riferendo alla figura del tuo link – servono a determinare la lunghezza del lato del quadrato equivalente, che è proprio MD. Il tutto equivale a quanto avevo già spiegato
[Media geometrica tra mezzo-lato a/2 del triangolo e sua altezza h. q = √[(a/2)·h] = (a/2)·√[√(3)]
[Si capisce o no che intendo "radice quarta di 3" ? ]

L'altro giorno dicevo ad astromauh [nel quiz della "casetta"] che bisogna tracciare il lato del quadrato nella "casetta". Solo che là era molto facile. Invece, per tutto ieri non ho saputo azzeccare dove diavolo piazzare questo segmento lungo come il lato del quadrato equivalente!

La figura che segue l'ho fatta ieri mattina.
Vedi che c'è come trovare il lato del quadrato [di lunghezza che ho chiamato q] ed un primo tentativo di schiaffarlo su un lato del triangolo.

Non ci crederai, (perché sembra ... "un senno di poi"): ma dopo aver visto che la costruzione della "Grazia" (da me rimaneggiata) era un imbroglio, ma molto vicino alla soluzione, avevo intuito che probabilmente occorreva trovare su un lato del triangolo un punto che diastasse esattamente q dal punto medio di un altro lato.
[Ma ero anche stufo; e avrei dovuto controllare se poi i due segmenti perpendicolari dànno per somma ancora q. Per cui ho desistito.
Rientro, appunto, adesso e ... toh che quella mia idea sarebbe stata buona!

[Ho rifiutato i tuoi suggerimenti perché, prima di mollare e andare a vedere come hanno fatto gli altri, ci metto parecchio!
Da sempre mi ... gratifica trovarmeli io i risultati! ]
––––
Ciao ciao
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Ultima modifica di Erasmus : 30-04-14 18:23.
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