Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[nino280]

Cavolata più cavolata meno, sparo:
Faccio il percoso S E N N O cioè prima ad esse poi e poi enne . . . . .

[aspesi]

nino280

Cavolata più cavolata meno, sparo:
Faccio il percoso S E N N O cioè prima ad esse poi e poi enne . . . . .

Non precisamente.... ma, quasi ci sei

[Mizarino]

In un forum di astrofili, il SENNO dovrebbe essere Sud, Est, Nord, Nord, Ovest ...

[aspesi]

Mizarino

In un forum di astrofili, il SENNO dovrebbe essere Sud, Est, Nord, Nord, Ovest ...

Finalmente!

[Erasmus]

Variante al mio ultimo quiz (che stava qua => Easy quiz(zes) but mathematical, #525).
[Cioè: meno informazioni.]

Trovare tutti i triangoli con
• Area 69000 mm^2
• Un lato lungo 920 mm
• gli altri due lati lunghi un numero intero di millimetri.


Uno lo conosciamo già. E' quello di lati [920, 250, 1130] mm.
Si tratta dunque di stabilire se questo è unico o no e, se non è unico, le lunghezze degli altri due lati negli altri casi.

Ovviamente questo quiz si risolve facilmente con la "forza bruta".

Ma se l'ho messo qui è perché si può risolvere anche ... con un po' di logica ... e un po' di calcoli.
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[aspesi]

Non mi pare esistano altri casi con i tre lati di lunghezza intera (mm), di cui uno è lungo 920 mm.

Con la formula dell'area di Erone si ha che
(4 S)^2 = 76176000000 = 2^10 * 3^2 * 5^6 * 23^2
deve essere il prodotto di 4 numeri interi
(a+b+920)
(-a+b+920)
(a-b+920)
(a+b-920)

in cui la differenza fra il maggiore (perimetro) e gli altri 3 è rispettivamente 2a , 2b, e 1840----> 2^4 * 5 * 23
Bisognerebbe saperlo dimostrare... , ma penso che i 4 fattori siano solo:
2^2 * 5^2 * 23
2^3 * 3^2 * 5^2
2^3 * 5
2^2 * 5 * 23

[Erasmus]

aspesi

Non mi pare esistano altri casi con i tre lati di lunghezza intera (mm), di cui uno è lungo 920 mm.
[...]Bisognerebbe saperlo dimostrare...

Appunto. XOR dimostrare che no.

aspesi

Con la formula dell'area di Erone si ha che
(4 S)^2 = 76176000000 = 2^10 * 3^2 * 5^6 * 23^2
deve essere il prodotto di 4 numeri interi
(a+b+920)
(–a+b+920)
(a–b+920)
(a+b–920)

Giusto. Prova a farlo questo prodotto.
Lascia indicato con c il lato noto e indica con h l'altezza a lui relativa, cioè
h = 2S/c = 150––> (4·S)^2 = (2·c·h)^2 = 4(c·h)^2.
Ti viene:
[(a + b)^2 –c^2]·[c^2 –(a–b)^2] = 4·(c·h)^2 ––>
––> a^4 + b^4 + c^4 –2·[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 4(ch)^2 = 0. . . .(1)
Puoi vedere questa equazione come equazione biquadratica nell'incognita a o nell'ncognita b.
Si controlla subito che non va bene a = b (triangolo isoscele sulla base c) e nemmeno a > b = h. (triangolo rettangolo con cateti c e b=h).
Non è quindi restrittivo assumere a > b > h.
Per esempio, nell'icognita a l'equazione (1) la puoi scrivere così:
a^4 –2·(a^2)·(b^2 + c^2) + b^4 + c^4 – 2·(bc)^2 + 4(ch)^2 = 0
Questa, esplicitata rispetto ad a^2 – e ricordando che si è assunto a > b – ti dà:
a^2 = b^2 + c^2 + √[(b^2 + c^2)^2 – (b^2 – c^2)^2 + 4(ch)^2] ––>
a^2 = b^2 + c^2 + 2·c·√(b^2 – h^2).
Se invece espliciti la (1) rispetto a b^2 ottieni (ricordando sempre che si è assunto a > b):
b^2 = a^2 + c^2 – 2·c·√(a^2 – h^2).

Fin qua ... un po' di calcoli per poter (adesso) metterci un po' di logica.
Si rileva subito, infatti, che affiché a e b siano entrambi interi è necessario che siano intere entrambe le radici:
m = √(a^2 – h^2);
n = √(b^2 – h^2).
Ma cosa sono m ed n?
Sono [rispettivamente] le proiezioni dei lati a e b del triangolo sulla direzione del lato (base) c .
Il fatto che queste proiezioni m ed n siano intere ti permette di concludere che entrambi i triangoli rettangoli di lati [h, m, a] e [h, n, b] – dove a e b solo le rispettive ipotenuse – devono avere i tre lati interi, sono cioè "Terne Pitagoriche".
Inoltre, a e b andranno bene solo se m + n = c oppure m – n = c.
Ma c'è un numero limitato di "Terne Pitagoriche" con un cateto sempre uguale ad h = 150, [7 per la precisione!]; ed è facile determinarle ... sempre con un po' di logica ed un po' di calcoli.
Scegiendo dunque le eventuali coppie [tra queste terne pitagoriche tutte con un cateto h=150] tali che la somma o la differenza dei due cateti diversi da h valga c, indirettamente scegli le due ipotenuse come lati a e b dei triangoli soluzione del quiz. Implicitamente scopreirai se di queste coppie OK ce n'è una sola o no.

NB: Due particolari terne pitagoriche tra quelle con un cateto h = 150 sono
[150, 200, 250]; [150, 1120, 1130]
Siccome 1120 – 200 = 920, un triangolo soluzione del quiz è
[a, b, c] = [1130, 250, 920]
(già noto dal quiz precedente).

aspesi

... penso che i 4 fattori siano solo:
2^2 * 5^2 * 23 = 2300 = a + b + 920 –-> a + b = 2300 – 920 = 1380
2^3 * 3^2 * 5^2 = 1800 = a – b + 920 ––> a – b = 1800 – 920 = 880
2^3 * 5 = 40 = –a + b + 920 ––> a – b = 920 – 40 = 880
2^2 * 5 * 23 = 460 = a + b – 920 ––> a + b = 460 + 920 = 1380

NB. Mi sono permesso di ... completare i tuoi calcoli.
Complimenti!
Metodo davvero originale!

Visto che sei così bravo nell'arte combinatoria da aver smistato i fattori primi di
(4·S)^2 = 2^10 * 3^2 * 5^6 * 23^2
nei 4 fattori della formula di Erone verificando in tal modo la soluziomne [1130, 250, 920],
potresti sistematicamente fare tutti i possibili smistamenti in 4 gruppi di fattori controllando in tal modo se ci sono o no altre soluzioni.
Il numero di smistamenti è finito ... anche se un tantino maggiore di quelli da fare col mio metodo!

Ciao ciao

[Erasmus]

Penso che ormai non interverrà più nessuno.

@ aspesi
Quel che ti era parso – cioè: soluzione unica – era giusto!

Prima ancora di inviare il quiz mi ero scritto il "pistolotto" (che Miza non leggerà di sicuro) della sua discussione completa, da cui risulta che la soluzione è unica.
Nel 'post' successivo a questo mettero il mio "pistolotto", sperando che non risulti troppo "barbooso" a tutti.

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Mi è sorta una domanda ... da cui ho ricavato una congettura.

Consideriamo un triangolo ABC che abbia tutti i lati interi. I lati siano:
a = BC
b = CA
c = AB
Prendiamone un lato come base, per esempio a.
Tracciamo per il vertice A opposto a questo lato (assunto come base), la parallela p alla retta BC (su cui sta la base a = BC).
La distanza tra la retta BC e la parallela p è l'altezza h del trinagolo ABC relativa alla base a = BC.

Per ogni arbitrario punto P appartenente a questa parallela p, il triangolo ABP ha la stessa base a, la stessa altezza h (e quindi la stessa area S = ah/2) del dato triangolo con tutti i lati interi.
Domanda: Ci sono casi [cambiando a piacere la terna di lati interi] in cui esistono triangoli ABP (con P distinto da A) ancora con tutti i lati interi oppure quel triangolo ABC è l'unico ad avere il vertice su p ed i lati tutti interi?

In altre parole: spostando il vertice A lungo la parallela per A alla base, si trovano (almeno qualche volta) altri punti con entrambe le distanze da B e C ancora intere?

Parlando more aspesiano, a me pare di no!

Formulo allora la seguente "Congettura di Erasmus":
«Data qualsiasi terna di interi [a, b, c] pensabili [in una certa unità di misura] come lati di un triangolo T, non esiste alcun altro triangolo T' di lati interi [a, x, y] con la stessa area di T»

Dal punto di vista analitico la congettura significa che, posto:
K = √[(a+b+c)(–a+b+c)(a–c+c)(a+b –c)]
(dove a, b e c sono interi e tali che K^2 sia positivo)
l'equazione diofantina (o diofantea?):
√[(a+x+y)(–a+x+y)(a–x+y)(a+x –y)] = K
ammette solo le soluzione [x, y] = [a, b] e [x, y] = [b, a].

Mi piacerebbe che qualcuno ... mi smentisse

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[Erasmus]

Ecco la discussione del quiz (di cui ripeto il testo).

Quiz
Trovare tutti i triangoli con
• Area 69000 mm^2
• Un lato lungo 920 mm
• gli altri due lati lunghi un numero intero di millimetri.

Premessa
Diciamo:
S = 69000 mm^2 l’area
a = 920 mm il lato di lunghezza nota
x = ?; y = ? i lati di lunghezza incognita.

Discussione
L’altezza relativa al lato noto è h = 2·S/a = 150 mm.
Tracciato il segmento BC lungo a = 920 mm e una retta p parallela a BC distante h = 150 mm, sia A un punto qualsiasi di questa parallela p.

Si tratta di individuare su p i punti A tali che il trangolo ABC abbia interi anche i lati AB = x e AC = y.

1) ABC non è isoscele. Infatti, se lo fosse, sarebbe x = y = √[(a/2)^2 + h^2] intero, ed invece viene
x = y = √(234100) ≈ 43,38... non intero.
Non è allora restrittivo supporre x > y.

2) ABC non è nemmeno rettangolo. Infatti, se lo fosse sarebbe y = h e dovrebbe essere intero x = √(a^2 + h^2) che invece dà
x = √(868900) ≈ 932,148... non intero.

3) Dalla formula di Erone [per l’area] si ha
(x + y + a)·(–x + y + a)·(x – y + a)·(x + y – a) = 16 S^2 = 4·(ah)^2
da cui (sviluppando i prodotti)
x^4+ y^4 + a^4 – 2[(xy)^2 + (ya)^2 + (ax)^2] + 4(ah)^2 = 0.
Esplicitando questa equazione una volta rispetto ad x^2 ed un’altra rispetto ad y^2 (e ricordando che si è assunto x > y) si trova
x^2 = y^2 + a^2 + (2·a)·√(y^2 – h^2);
y^2 = x^2 + a^2 – (2·a)·√(x^2 – h^2).
Da queste espressioni si rileva che, affinché x e y siano entrambi interi devono essere interi entrambi i numeri
m = √(y^2 – h^2) e n = √(x^2 – h^2).
Sicché le terne di interi [h, n, x] e [h, m, y] devono essere entrambe “terne pitagoriche”.

4) Sia H il piede della perpendicolare alla retta BC per A. [Ovviamente è AH = h].
Allora i segmenti BH e CH sono lunghi rispettivamente:
BH = n = √(x^2 – h^2); CH = m = √(y^2 – h^2).
Inoltre,
se H è un punto compreso tra B e C deve essere m + n = a;
se invece H è esterno al segmento BC deve essere n – m = a.

5) Non resta che fare l’elenco di tutte le terne pitagoriche con un cateto di valore h = 150.
I tringoli cercati saranno quelli del tipo [x, y, a] tali che le terne pitagoriche [h, n, x] e [h, m, y] diano
n + m = a oppure n – m = a. (*)

Ricerca delle terne pitagoriche con un cateto lungo h = 150 mm
Una terna pitagorica è primitiva se il massimo comune divisore delle sue tre componenti è 1.
E’ noto che in ogni terna pitagorica primitiva un cateto è dispari e l’altro è pari e divisibile per 4.
Siccome 150 non è divisibile per 4, nessuna delle terne pitagoriche con un tale cateto è primitiva e ciascuna è il doppio di una terna pitagorica (primitiva o no) con un cateto dispari di valore 75.
E’ anche noto che, se una terna pitagorica è primitiva, posto d =u·v il cateto dispari (con u e v entrambi dispari e u > v), essa è del tipo
[u·v, (u^2–v^2)/2, (u^2 + v^2)]
I divisori distinti di 75 sono 75, 25, 15, 5 e 3.
Trovate tutte le terne primitive con il cateto dispari d uguale a uno di questi divisori, le terne pitagoriche con un cateto di valore 150 si otterranno moltiplicando quelle primitive per il rapporto 150/d.

Divisore d = u·v       TP primitive            TP con un cateto 150
-------------------------------------------------------------------------
        75 = 75·1 ––> [75,  2812,  2813]  ––>  [150,  5624, 5626]
        75 = 25·3 ––> [75,    308,    317]  ––>  [150,    616,    634]
        75 = 15·5 ––> [75,    100,    125]  ––>  [150,    200,    250]
        25 = 25·1 ––> [25,    312,    313]  ––>  [150, 1872,  1878]
        15 = 15·1 ––> [15,    112,    113]  ––>  [150, 1120,  1130]
        15 =   5·3 ––> [15,        8,      17]  ––>  [150,       80,    170]
          5 =   5·1 ––> [   5,      12,      13]  ––>  [150,    360,    390]
          3 =   3·1 ––> [   3,        4,        5]  ––>  [150,    200,    250] (Già elencata)

Mettendo in ordine crescente il secondo cateto si hanno le 7 seguenti terne distinte:

         h       m o n    x o y
 ––––––––––––––––––-
1)    [150,      80,    170]
2)    [150,    200,   250]
3)    [150,    360,   250]
4)    [150,    616,   634]
5)    [150, 1120,  1130]
6)    [150, 1872,  1878]
7)    [150,  5624, 5626]

Soluzione
Eseguendo le somme e le differenze tra due distinte seconde componenti di queste 7 terne pitagoriche, si rileva che l’unica coppia che soddsfa le condizioni (*) è quella delle terne:
2) [150, 200, 250];
5) [150, 1120, 1130].
in quanto 1120 – 200 = 920.
Pertanto esiste un solo triangolo che soddisfa le condizioni richieste dal quiz: è quello di lati:
[a, y, x] = [920, 250, 1130] mm.
–––––

[nino280]

Tutto bellisssimo, tutto meravigliosisssimo , mi piace moltisssimo tutto a tre essse, ma perchè fare la domanda in una come si chiama tread? e poi dare la risposta in un'altro quella parola li.
Uno vede il quesito di la e poi se viene sempre viene trova la risposta di qua.
Ciao Era.