Questo sito si serve dei cookie per fornire servizi. Utilizzando questo sito acconsenti all'utilizzo dei cookie - Maggiori Informazioni - Acconsento


Atik
Coelum Astronomia
L'ultimo numero uscito
Leggi Coelum
Ora è gratis!
AstroShop
Lo Shop di Astronomia
Photo-Coelum
Inserisci le tue foto
DVD Hawaiian Starlight
Segui in diretta lo sbarco di Philae sulla Cometa
Skypoint

Vai indietro   Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia > Il Mondo dell'Astronomo dilettante > Rudi Mathematici
Registrazione Regolamento FAQ Lista utenti Calendario Cerca Messaggi odierni Segna come letti

Rispondi
 
Strumenti della discussione Modalità  di visualizzazione
Vecchio 26-02-13, 16:23   #1061
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 8,122
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Cavolata più cavolata meno, sparo:
Faccio il percoso S E N N O cioè prima ad esse poi e poi enne . . . . .
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-02-13, 16:52   #1062
aspesi
Utente Super
 
L'avatar di aspesi
 
Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 6,054
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Cavolata più cavolata meno, sparo:
Faccio il percoso S E N N O cioè prima ad esse poi e poi enne . . . . .
Non precisamente.... ma, quasi ci sei
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-02-13, 18:40   #1063
Mizarino
Utente Super
 
L'avatar di Mizarino
 
Data di registrazione: May 2004
Messaggi: 9,720
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

In un forum di astrofili, il SENNO dovrebbe essere Sud, Est, Nord, Nord, Ovest ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-02-13, 18:42   #1064
aspesi
Utente Super
 
L'avatar di aspesi
 
Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 6,054
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
In un forum di astrofili, il SENNO dovrebbe essere Sud, Est, Nord, Nord, Ovest ...
Finalmente!
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-03-13, 10:55   #1065
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,391
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Variante al mio ultimo quiz (che stava qua => Easy quiz(zes) but mathematical, #525).
[Cioè: meno informazioni.]

Trovare tutti i triangoli con
• Area 69000 mm^2
• Un lato lungo 920 mm
• gli altri due lati lunghi un numero intero di millimetri.



Uno lo conosciamo già. E' quello di lati [920, 250, 1130] mm.
Si tratta dunque di stabilire se questo è unico o no e, se non è unico, le lunghezze degli altri due lati negli altri casi.

Ovviamente questo quiz si risolve facilmente con la "forza bruta".

Ma se l'ho messo qui è perché si può risolvere anche ... con un po' di logica ... e un po' di calcoli.
---------
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 20-03-13 11:49.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-03-13, 18:07   #1066
aspesi
Utente Super
 
L'avatar di aspesi
 
Data di registrazione: Nov 2009
Ubicazione: Terra dei Walser
Messaggi: 6,054
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Non mi pare esistano altri casi con i tre lati di lunghezza intera (mm), di cui uno è lungo 920 mm.

Con la formula dell'area di Erone si ha che
(4 S)^2 = 76176000000 = 2^10 * 3^2 * 5^6 * 23^2
deve essere il prodotto di 4 numeri interi
(a+b+920)
(-a+b+920)
(a-b+920)
(a+b-920)

in cui la differenza fra il maggiore (perimetro) e gli altri 3 è rispettivamente 2a , 2b, e 1840----> 2^4 * 5 * 23
Bisognerebbe saperlo dimostrare... , ma penso che i 4 fattori siano solo:
2^2 * 5^2 * 23
2^3 * 3^2 * 5^2
2^3 * 5
2^2 * 5 * 23

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-03-13, 22:59   #1067
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,391
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Non mi pare esistano altri casi con i tre lati di lunghezza intera (mm), di cui uno è lungo 920 mm.
[...]Bisognerebbe saperlo dimostrare...
Appunto. XOR dimostrare che no.

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Con la formula dell'area di Erone si ha che
(4 S)^2 = 76176000000 = 2^10 * 3^2 * 5^6 * 23^2
deve essere il prodotto di 4 numeri interi
(a+b+920)
(–a+b+920)
(a–b+920)
(a+b–920)
Giusto. Prova a farlo questo prodotto.
Lascia indicato con c il lato noto e indica con h l'altezza a lui relativa, cioè
h = 2S/c = 150––> (4·S)^2 = (2·c·h)^2 = 4(c·h)^2.
Ti viene:
[(a + b)^2 –c^2]·[c^2 –(a–b)^2] = 4·(c·h)^2 ––>
––> a^4 + b^4 + c^4 –2·[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 4(ch)^2 = 0. . . .(1)
Puoi vedere questa equazione come equazione biquadratica nell'incognita a o nell'ncognita b.
Si controlla subito che non va bene a = b (triangolo isoscele sulla base c) e nemmeno a > b = h. (triangolo rettangolo con cateti c e b=h).
Non è quindi restrittivo assumere a > b > h.
Per esempio, nell'icognita a l'equazione (1) la puoi scrivere così:
a^4 –2·(a^2)·(b^2 + c^2) + b^4 + c^4 – 2·(bc)^2 + 4(ch)^2 = 0
Questa, esplicitata rispetto ad a^2 – e ricordando che si è assunto a > b – ti dà:
a^2 = b^2 + c^2 + √[(b^2 + c^2)^2 – (b^2 – c^2)^2 + 4(ch)^2] ––>
a^2 = b^2 + c^2 + 2·c·√(b^2 – h^2).
Se invece espliciti la (1) rispetto a b^2 ottieni (ricordando sempre che si è assunto a > b):
b^2 = a^2 + c^2 – 2·c·√(a^2 – h^2).

Fin qua ... un po' di calcoli per poter (adesso) metterci un po' di logica.
Si rileva subito, infatti, che affiché a e b siano entrambi interi è necessario che siano intere entrambe le radici:
m = √(a^2 – h^2);
n = √(b^2 – h^2).
Ma cosa sono m ed n?
Sono [rispettivamente] le proiezioni dei lati a e b del triangolo sulla direzione del lato (base) c .
Il fatto che queste proiezioni m ed n siano intere ti permette di concludere che entrambi i triangoli rettangoli di lati [h, m, a] e [h, n, b] – dove a e b solo le rispettive ipotenuse – devono avere i tre lati interi, sono cioè "Terne Pitagoriche".
Inoltre, a e b andranno bene solo se m + n = c oppure m – n = c.
Ma c'è un numero limitato di "Terne Pitagoriche" con un cateto sempre uguale ad h = 150, [7 per la precisione!]; ed è facile determinarle ... sempre con un po' di logica ed un po' di calcoli.
Scegiendo dunque le eventuali coppie [tra queste terne pitagoriche tutte con un cateto h=150] tali che la somma o la differenza dei due cateti diversi da h valga c, indirettamente scegli le due ipotenuse come lati a e b dei triangoli soluzione del quiz. Implicitamente scopreirai se di queste coppie OK ce n'è una sola o no.

NB: Due particolari terne pitagoriche tra quelle con un cateto h = 150 sono
[150, 200, 250]; [150, 1120, 1130]
Siccome 1120 – 200 = 920, un triangolo soluzione del quiz è
[a, b, c] = [1130, 250, 920]
(già noto dal quiz precedente).
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
... penso che i 4 fattori siano solo:
2^2 * 5^2 * 23 = 2300 = a + b + 920 –-> a + b = 2300 – 920 = 1380
2^3 * 3^2 * 5^2 = 1800 = a – b + 920 ––> a – b = 1800 – 920 = 880
2^3 * 5 = 40 = –a + b + 920 ––> a – b = 920 – 40 = 880
2^2 * 5 * 23 = 460 = a + b – 920 ––> a + b = 460 + 920 = 1380
NB. Mi sono permesso di ... completare i tuoi calcoli.
Complimenti!
Metodo davvero originale!

Visto che sei così bravo nell'arte combinatoria da aver smistato i fattori primi di
(4·S)^2 = 2^10 * 3^2 * 5^6 * 23^2
nei 4 fattori della formula di Erone verificando in tal modo la soluziomne [1130, 250, 920],
potresti sistematicamente fare tutti i possibili smistamenti in 4 gruppi di fattori controllando in tal modo se ci sono o no altre soluzioni.
Il numero di smistamenti è finito ... anche se un tantino maggiore di quelli da fare col mio metodo!

Ciao ciao
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 21-03-13 22:16.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 22-03-13, 10:23   #1068
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,391
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Penso che ormai non interverrà più nessuno.

@ aspesi
Quel che ti era parso – cioè: soluzione unica – era giusto!

Prima ancora di inviare il quiz mi ero scritto il "pistolotto" (che Miza non leggerà di sicuro) della sua discussione completa, da cui risulta che la soluzione è unica.
Nel 'post' successivo a questo mettero il mio "pistolotto", sperando che non risulti troppo "barbooso" a tutti.

---------------

Mi è sorta una domanda ... da cui ho ricavato una congettura.

Consideriamo un triangolo ABC che abbia tutti i lati interi. I lati siano:
a = BC
b = CA
c = AB
Prendiamone un lato come base, per esempio a.
Tracciamo per il vertice A opposto a questo lato (assunto come base), la parallela p alla retta BC (su cui sta la base a = BC).
La distanza tra la retta BC e la parallela p è l'altezza h del trinagolo ABC relativa alla base a = BC.

Per ogni arbitrario punto P appartenente a questa parallela p, il triangolo ABP ha la stessa base a, la stessa altezza h (e quindi la stessa area S = ah/2) del dato triangolo con tutti i lati interi.
Domanda: Ci sono casi [cambiando a piacere la terna di lati interi] in cui esistono triangoli ABP (con P distinto da A) ancora con tutti i lati interi oppure quel triangolo ABC è l'unico ad avere il vertice su p ed i lati tutti interi?

In altre parole: spostando il vertice A lungo la parallela per A alla base, si trovano (almeno qualche volta) altri punti con entrambe le distanze da B e C ancora intere?

Parlando more aspesiano, a me pare di no!

Formulo allora la seguente "Congettura di Erasmus":
«Data qualsiasi terna di interi [a, b, c] pensabili [in una certa unità di misura] come lati di un triangolo T, non esiste alcun altro triangolo T' di lati interi [a, x, y] con la stessa area di T»

Dal punto di vista analitico la congettura significa che, posto:
K = √[(a+b+c)(–a+b+c)(a–c+c)(a+b –c)]
(dove a, b e c sono interi e tali che K^2 sia positivo)
l'equazione diofantina (o diofantea?):
√[(a+x+y)(–a+x+y)(a–x+y)(a+x –y)] = K
ammette solo le soluzione [x, y] = [a, b] e [x, y] = [b, a].

Mi piacerebbe che qualcuno ... mi smentisse

---------------
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 22-03-13 10:29.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 22-03-13, 10:41   #1069
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,391
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Ecco la discussione del quiz (di cui ripeto il testo).

Quiz
Trovare tutti i triangoli con
• Area 69000 mm^2
• Un lato lungo 920 mm
• gli altri due lati lunghi un numero intero di millimetri.


Premessa
Diciamo:
S = 69000 mm^2 l’area
a = 920 mm il lato di lunghezza nota
x = ?; y = ? i lati di lunghezza incognita.

Discussione
L’altezza relativa al lato noto è h = 2·S/a = 150 mm.
Tracciato il segmento BC lungo a = 920 mm e una retta p parallela a BC distante h = 150 mm, sia A un punto qualsiasi di questa parallela p.

Si tratta di individuare su p i punti A tali che il trangolo ABC abbia interi anche i lati AB = x e AC = y.

1) ABC non è isoscele. Infatti, se lo fosse, sarebbe x = y = √[(a/2)^2 + h^2] intero, ed invece viene
x = y = √(234100) ≈ 43,38... non intero.
Non è allora restrittivo supporre x > y.

2) ABC non è nemmeno rettangolo. Infatti, se lo fosse sarebbe y = h e dovrebbe essere intero x = √(a^2 + h^2) che invece dà
x = √(868900) ≈ 932,148... non intero.

3) Dalla formula di Erone [per l’area] si ha
(x + y + a)·(–x + y + a)·(x – y + a)·(x + y – a) = 16 S^2 = 4·(ah)^2
da cui (sviluppando i prodotti)
x^4+ y^4 + a^4 – 2[(xy)^2 + (ya)^2 + (ax)^2] + 4(ah)^2 = 0.
Esplicitando questa equazione una volta rispetto ad x^2 ed un’altra rispetto ad y^2 (e ricordando che si è assunto x > y) si trova
x^2 = y^2 + a^2 + (2·a)·√(y^2 – h^2);
y^2 = x^2 + a^2 – (2·a)·√(x^2 – h^2).
Da queste espressioni si rileva che, affinché x e y siano entrambi interi devono essere interi entrambi i numeri
m = √(y^2 – h^2) e n = √(x^2 – h^2).
Sicché le terne di interi [h, n, x] e [h, m, y] devono essere entrambe “terne pitagoriche”.

4) Sia H il piede della perpendicolare alla retta BC per A. [Ovviamente è AH = h].
Allora i segmenti BH e CH sono lunghi rispettivamente:
BH = n = √(x^2 – h^2); CH = m = √(y^2 – h^2).
Inoltre,
se H è un punto compreso tra B e C deve essere m + n = a;
se invece H è esterno al segmento BC deve essere n – m = a.

5) Non resta che fare l’elenco di tutte le terne pitagoriche con un cateto di valore h = 150.
I tringoli cercati saranno quelli del tipo [x, y, a] tali che le terne pitagoriche [h, n, x] e [h, m, y] diano
n + m = a oppure n – m = a. (*)

Ricerca delle terne pitagoriche con un cateto lungo h = 150 mm
Una terna pitagorica è primitiva se il massimo comune divisore delle sue tre componenti è 1.
E’ noto che in ogni terna pitagorica primitiva un cateto è dispari e l’altro è pari e divisibile per 4.
Siccome 150 non è divisibile per 4, nessuna delle terne pitagoriche con un tale cateto è primitiva e ciascuna è il doppio di una terna pitagorica (primitiva o no) con un cateto dispari di valore 75.
E’ anche noto che, se una terna pitagorica è primitiva, posto d =u·v il cateto dispari (con u e v entrambi dispari e u > v), essa è del tipo
[u·v, (u^2–v^2)/2, (u^2 + v^2)]
I divisori distinti di 75 sono 75, 25, 15, 5 e 3.
Trovate tutte le terne primitive con il cateto dispari d uguale a uno di questi divisori, le terne pitagoriche con un cateto di valore 150 si otterranno moltiplicando quelle primitive per il rapporto 150/d.
Codice:

Divisore d = u·v       TP primitive            TP con un cateto 150
-------------------------------------------------------------------------
        75 = 75·1 ––> [75,  2812,  2813]  ––>  [150,  5624, 5626]
        75 = 25·3 ––> [75,    308,    317]  ––>  [150,    616,    634]
        75 = 15·5 ––> [75,    100,    125]  ––>  [150,    200,    250]
        25 = 25·1 ––> [25,    312,    313]  ––>  [150, 1872,  1878]
        15 = 15·1 ––> [15,    112,    113]  ––>  [150, 1120,  1130]
        15 =   5·3 ––> [15,        8,      17]  ––>  [150,       80,    170]
          5 =   5·1 ––> [   5,      12,      13]  ––>  [150,    360,    390]
          3 =   3·1 ––> [   3,        4,        5]  ––>  [150,    200,    250] (Già elencata)
Mettendo in ordine crescente il secondo cateto si hanno le 7 seguenti terne distinte:
Codice:

         h       m o n    x o y
 ––––––––––––––––––-
1)    [150,      80,    170]
2)    [150,    200,   250]
3)    [150,    360,   250]
4)    [150,    616,   634]
5)    [150, 1120,  1130]
6)    [150, 1872,  1878]
7)    [150,  5624, 5626]
Soluzione
Eseguendo le somme e le differenze tra due distinte seconde componenti di queste 7 terne pitagoriche, si rileva che l’unica coppia che soddsfa le condizioni (*) è quella delle terne:
2) [150, 200, 250];
5) [150, 1120, 1130].
in quanto 1120 – 200 = 920.
Pertanto esiste un solo triangolo che soddisfa le condizioni richieste dal quiz: è quello di lati:
[a, y, x] = [920, 250, 1130] mm.
–––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 22-03-13 11:36.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 22-03-13, 19:47   #1070
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 8,122
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Tutto bellisssimo, tutto meravigliosisssimo , mi piace moltisssimo tutto a tre essse, ma perchè fare la domanda in una come si chiama tread? e poi dare la risposta in un'altro quella parola li.
Uno vede il quesito di la e poi se viene sempre viene trova la risposta di qua.
Ciao Era.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Rispondi


Links Sponsorizzati
Geoptik

Strumenti della discussione
Modalità  di visualizzazione

Regole di scrittura
Tu non puoi inserire i messaggi
Tu non puoi rispondere ai messaggi
Tu non puoi inviare gli allegati
Tu non puoi modificare i tuoi messaggi

codice vB è Attivo
smilies è Attivo
[IMG] il codice è Attivo
Il codice HTML è Disattivato


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 06:00.


Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2021, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it