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Vecchio 22-07-15, 07:50   #28
Erasmus
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Predefinito Re: Irrazionalità del pi greco.

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Il motivo per cui dicevo dovrebbe essere comunque empirico il metodo di calcolo, immagino dipenda dal fatto che Pi greco non solo è irrazionale, ma perché è trascendente, ossia non ricavabile tramite una formula algebrica.
a) Archimede, che poveraccio non solo non disponeva di alcuna calcolatrice, ma non disponeva nemmeno della rappresentazione numerica di cui disponiamo comodamente noi, ha usato un metodo teorico, tuttora validissimo: partire da un poligono regolare di cui è noto il perimetro in funzione del raggio (o dell'apotema) e calcolare quello del poligono con un numero doppio di lati. Archimede è partito dall'esagono e ha raddoppiato quattro volte arrivando a calcolare il perimetro del poligono regolare di 96 lati.
Non so come ha fatto a massimizzare e minimizzare l'errore passando dai due poligoni di 96 lati uno circoscritto e l'altro inscritto [allo stesso cerchio] alle due ben note frazioni
223/71 < π < 22/7

b) I metodi distinti con cui calcolare π sono ... innumerevoli.
E' la loro efficienza che li contraddistingue!
Quello impiegato da me (ormai più di 25 anni fa) era particolarmente efficiente.
Si parte da quadrato e si continua a raddoppiare, registrando i perimetri trovati. Quando si arriva d N cifre esatte (per difetto)di PI-greco, con una opportrunba combinazione lineare (da me trovata autonomamente) si estraggono circa N^2 cifre esatte (sempre per difetto).
Mi ero fermato a 5400 (un pò di più, ma non ricordo più il numero esatto) perché allora il mio Turbo_Pascal per il mio Macintosh non poteva trattare strutture più grandi.
Per avere N cifre esatte si deve operare acon almeno qualche cifra in più di N.
E mi son dovuto fare anche le routine delle operazioni (radice quadrata compresa) su numeri di oltre 5400 cifre decimali.
Ma in sé il metodo poteva fare molto di più.

c) Un banalissimo metodo è quello di calcolare e registrare la serie
arctan(1)= 1 -1/3 + 1/5 –1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
con un numero enorme di termini, e poi fare la medie successive, trovando serie con minor numero di termini ma convergenti sempre a π/4 con maggiore velocità.
Con i numeri standar floating point a 80 bit si trova facilmente il π con la migliore precisione possibile (con 64 cifre binarie esatte).

d) Un meccanismo banale che già è passato diverse volte su questo forum è quello di partire con un numero arbitrario compreso tra –2 e 2 esclusi, aggingere 2, fare la radice quadrata, aggiungere due e rifare la radice quadrata .... e continuare così per N volte. Un'ultima volata, invece di aggiungere due si sottrae il numero da 2, si fa la radice quadrata e si moltiplica per 2^(N+1).
–2 < a < 2
π ≈ [√(2 – √/2 + V(2 + √(2 + ... <N radici una dentro l'altra> √(2+a)))))]·(2^(N+1)]
Se non ricordo male, per avere k cifre buone occorre usare numeri ad almeno 2k cifre.
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