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Vecchio 20-09-11, 00:04   #43
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
OK, questa spiegazione è chiara e semplice (come quella che ho scritto io)
Non proprio.
Tu ricorri al fatto che sai che a parità di perimetro l'area massima d'un rettangolo è quella del quadrato. Io ... non uso altre nozioni geometriche.
Credo, cioè, che osservare che se –a ≤ x ≤ a allora a^2 – x^2 è massimo assoluto in x=0 sia ben più chiaro e semplice di dire:
«Fra tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro, l'area è tanto maggiore quanto più il rettangolo è "compatto"»
-----------------------------------------
Vengo alla "rara proprietà".
Quote:
aspesi
Prendiamo un intero A, aggiungiamo la somma delle sue cifre per ottenere B, aggiungiamo a B la somma delle cifre dello stesso B per ottenere C.
Ora, se invertendo le cifre di C ottengo A, quale numero può essere A?
OK: avete già detto che è posseduta da 12, da 69 e probabilmente da nessun altro intero.

Si può sempre cercare verificando i numeri uno alla volta.
Codice:
variabili A, B, C, D: interi;
...
per A da 11 a 99 fa
   {inizio}
      B:= A+ (A div 10) + (A mod 10);
      C:= B + (B div 10) + (B mod 10),
      D:= 10*(C mod 10) + (C div 10);
      se viene D = A allora registra A
    {fine}
Ma vediamo la proprietà analiticamente sui numeri da 2 cifre.

Sia A = 10x + y, cioè con prima cifra x e seconda cifra Y.
Risulta B = (10x+y) + (x + y) = 10x + (x+2y).
Qui occorre aprire una casistica.
a) Le cifre x e y sono tali che x + 2y è minore di 10.
Allora nella somma per avere B non c'è riporto: la prima cifra di B è ancora x; la seconda cifra è x + 2y.
Adesso ho C = [10x + (x+2y)] + (x + x+2y) = 10x + 3x +4y
E' impossibile che non ci sia riporto nel fare 3x + 4y perché la prima cifra resterebbe x e capovolgendo il numero dovrebbe essere ad un tempo x=y ed x = 3x + 4y ... cosa possibile solo per
x = y = 0.
Siccome x+2y è per ipotesi minore di 10, il riporto sarà di un'unità.
Il numero C sarà 10(x+1) + (3x+4y – 10) con prima cifra x+1 e seconda cifra 3x +4y –10.
Se il capovolto di C è ancora A, allora deve essere
x+1 = y;
3x +4y – 10 = x => 2x + 4·(x+1) – 10 = 0 => 6x = 6 => x = 1;
y = x+1 = 1 + 1 = 2
Il numero A era 12
b) Le cifre x e y sono tali che x + 2y è maggiore di 9 ma minore di 20.
Allora nel fare B = A + x + y c'è il riporto di una unità.
La prima cifra di B è x+1 e la seconda è x + 2y –10.
Allora
C = B + x+1 + x + 2y – 10 = 10(x+1) +2(x + 2y – 10) + x + 1 = 10(x+1)+3x+4y –19.
b1) Supponiamo che 3x + 4y – 19 sia minore di 10.
Allora dovrebbe essere
y = x+1; x = 3x+4y –19 => 6x =15 –––––> NO: x deve risultare intero.
b2) Supponiamo che 3x + 4y – 19 sia maggiore di 10.
Allora la prima cifra di C è x+2 e la seconda è 3x+4y – 29.
Allora dovrebbe essere
y = x+2; x = 3x + 4y –29 => 2x + 4x + 8 – 29 = 0; 6X = 21 NO: x deve risultare intero.
c) Le cifre x ed y sono tali che x + 2y è maggiore di 19
Allora nel fare B = A + x + y c'è il riporto di 2
La prima cifra di B sarà x+2 e la seconda x + 2y – 20; quindi:
C = 10(x+2) + 2(x+2y – 20) + x + 2 = 10(x+2) + 3x + 4y – 38.
c1) Se 3x + 4y – 38 è minore di 10 allora sarebbe
y = x + 2; x = 3x+4y–38 => 2x + 4(x+2) – 38 = 0 => 6x = 30; x =5, y = 7.
NO perché x + 2y = 19 e nel calcolo di B non c'è il riporto di 2.
c2) Se 3x + 4y – 38 è maggiore di 9:
Allora nel calcolo di C c'è il riporto di 1.
La prima cifra di C viene x +3 e la seconda 3x + 4y – 48 ;
C = 10(x+3) + 3x + 4y – 48;
Dovrebbe essere:
y = x+3; x = 3x + 4y – 48 => 2x + 4(x+3) – 48 = 0 => 6x = 36; x = 6; y = x+3 = 9.
Il numero è A = 69

Non ci possono essere altri numeri minori di 100 con questa proprietà

Ciao ciao
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 21-09-11 07:42.
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