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Vecchio 16-06-18, 04:52   #12
Erasmus
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Predefinito Re: Volume d'un tetraedsro irregolare.

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nino280 Visualizza il messaggio
[...] Ho preso come vedi le tue frazioni ne ho calcolato i coseni e di conseguenza l'arco, l'angolo.
Poi sono andato a misurare vari angoli e ho visto che si riferivano ad un unico spigolo non so se chiamarlo triedro. [...]
Ma dai, non fare casino!
Non serve ricavare l'ampiezza degli adal loro coseno!
Il problema sostanzialmente ่ ricavare il coseno degli angoli diedri conoscendo i coseni (e i seni – ... ma questi li trovi subito se conosci i coseni*– degli angoli delle facce.

E' anche inutile che mi reciti la formula del coseno d'un angolo di un triangolo in funzione dei lati. Non ่ pi๙ chiaro scriverla?
Come sai anche tu, il teorema di Carnot si esrime con una formula in cui un membro ่ il quadrato di un lato e l'altro membro ha tre termini: la somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppoio prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo da essi compreso (che ่ quello opposto al lato dell'altro membro).
Ossia:
a^2 = b^2 + c^2 – 2bcทcos(alfa); b^2 = c^2 + a^2 – 2caทcos(beta); ; c^2 = a^2 + b^2 – 2abทcos(gamma).
Da queste formule, (che esprimono il teorema di Carnot), se conosci le lunghezze a, b e c dei lati ricavi subito i coseni degli angoli. Niente di nuovo: solo esplicitare il coseno. Trovi subito:
Codice:
             b^2 + c^2 – a^2                 c^2 + a^2 – b^2                a^2 + b^2 . c^2       
cos(α) = ––––––––––––––;  cos(β) = –––––––––––––––;  cos(γ) = –––––––––––––––.
                    2bc                                         2ca                                    2ab
Occhio: nel parlare di trigonometria sferica, i simboli α, β e γli ho riservati agli angoli diedri. Perci๒ non ho dato il nome agli angoli dei triangoli, salvo riservare i simboli φ, χ e ψ per gli angoli che hanno un vertice in comune in unio dei vertici del tetradro .
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Un angoloide ่ pensabile come la proiezione di un lembo di superficie sferica dal centro della sfera.
Il triedro non ่ un solido finito! Un triedro (inteso come tre facce piane ciascuna delle quali delimitata da due di tre semirette con l'origine comune) non ่ altro che la proiezione del perimetro di un triangolo sferico. Un "lato" di un triangolo sferico ่ un arco di cerchio massimo; e la sua proiezione dal centro della sfera ่ una delle tre facce di un "triedro". Il triedro ่ dunque la superfice di un angoloide pensabile come proiezione di un triangolo sferico dal centro della sfera
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Considera tre semirette con l'origine comune
Potresti fare cos์: considerare tre punti distinti (diciamoli A, B e C) ed un quarto punto V (come "vertice") non complanare e considerare le tre semirette di origine V passati una per A l'altra per B e la terza per C. .
Insomma, dando un nome anche alle semirette (diciamole r, s e t):
r = VA; s = VB; t = VC.
Adesso, nel paino individuato da due delle tre semirette, considera la parte di piano delimitata dalle due semirette. ci sono tre coppie: rs; dt; tr. Ci sono cio่ tre facce del triedro. Le semirette sono gli "spigoli" del triedro (di lunghezza infinita).Due facce hanno in comune un lato. Questo ่ uno spigolo del triedro..
In un angolo piano c'่ un vertice e due lati dell'angolo.
Corrispondentemente in un angolo diedro al posto del vertice hai uno spigolo e al posto dei due lati (che lo delimitano) hai due semipiani (che delimitano l'angolo diedro).
Un piano perpendicolare ad uno spigolo di un diedro taglia le facce n due semirette entrambe perpendicolari allo spigolo con l'origine sullo spigolo.
Queste due semirette sono i lati della "sezione normale" del diedro. E l'angolo [piano] da esse compreso ่ per definizione l'angolo diedro.
Lo spazio dentro al triedro ่ un angoloide (o "angolo solido") e si misura in steradianti.

Come in un triangolo [piano] hai tre angoli interni (ciascuno con il vertice in un vertice del triangolo), cos์ in un tetraedro hai 4 triedri (ciascuno col suo vertice in un vertice del tetraedro).
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Erasmus
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