Quote:
nino280
[url] 
|
Occhio ai simboli!
Io avevo chiamato φ, χ e ψ gli angoli delle tre facce d'un triedro; e α, β e γ gli angoli diedri rispettivamente oppostialle facce con quegli ancgoli,
Comunque; sei d'acordo su fatto che l'altezza del tetraedro θ uguale al prodotto dell'altezza di una faccia laterale per il seno dell'angolo diedro fatto da questa faccia con la faccia-base?
L'altezza di un triangolo θ facile trovarla se si conoscono le lunghezze dei lati.
Col teorema di Carnot si trovano subito anche i coseni degli angoli d'un triangolo se si conoscono le lunghezze dei suoi lati.
Insomma: se di un tetraedro conosci le lunghezze di tutti gli spigoli puoi bene trovare i coseni dei tre angoli con il vertice comune in un vertice del tetraedro.
In trigonometria sferica i due "teoremi del coseno" mettono in relazione gli angoli delle facce di un triedro con gli angoli diedri dello stesso.
Nel "1° teorema del coseno" i coseni degli angoli diedri d'un triedro sono dati in funzione dei coseni e dei seni degli angoli delle facce.
Nel "2° teorema del coseno", viceversa, sono i coseni degli angoli delle facce [di un triedro] che sono dati in funzione dei coseni e dei seni degli angoli diedri di querl triedro.
Le espressioni del "2° teorema del coseno" sono quasi le stesse di quelle del 1°. Differiscono solo (a parte l'ovvio scambio dei simboli) per un segno: al posto del "meno" che c'θ nel 1°, nel2° c'θ un "piω".
Le riscrivo tutte (questa volta anche quelle del "2° teorema del coseno").
[NB: Come giΰ detto φ, χ e ψ sono gli angoli delle facce di un triedro e α, β e γ sono gli angoli diedri rispettivamente opposti: α (alfa) opposto di φ (phi); β (beta) opposto di χ (chi): γ (gamma) opposto di ψ (psi)].
Codice:
1° teorema del coseno
cos(φ) cos(χ)·cos(ψ)
cos(α) = ;
sin(χ)·sin(ψ)
cos(χ) cos(ψ)·cos(φ)
cos(β) = ;
sin(ψ)·sin(φ)
cos(ψ) cos(φ)·cos(χ)
cos(γ) = .
sin(φ)·sin(χ)
2° teorema del coseno
cos(α) + cos(β)·cos(γ)
cos(φ) = ;
sin(β)·sin(γ)
cos(β) + cos(γ)·ccos(α)
cos(χ) = ;
sin(γ)·sin(α)
cos(γ) + cos(α)· cos(β)
cos(ψ) = .
sin(α)· sin(β))
Quote:
nino280
[...]Quando vedo quattro coseni che si moltiplicano e si sottraggono di sopra fra di loro che poi si rapportano ad un altro paio di seni che a loro volta si sono moltiplicati io mi sono perso giΰ ai primi due coseni.
|
Ma non dire stronzate!

L'espressione di un coseno di un angolo diedro in funzione degli angoli delle facce θ facilissima da ricordare. Come sarebbe facile ricordare espressioni del del tipo:
Codice:
Dirette:
a b·c b c·a c a·b
x = ; y = ; z = .
√(1 b^2) · √(1c^2) √(1 c^2) · √(1a^2) √(1 a^2) · √(1b^2)
Inverse:
x + y·z y + z·x z + x·y
a = ; b = ; c = .
√(1 y^2) · √(1z^2) √(1 z^2) · √(1x^2) √(1 x^2) · √(1y^2)
Solo che al posto di 6 lettere (divise in due terne) devi mettere i coseni di 6 angoli (divisi pure in due terne: i coseni dei tre angoli diedri in funzione dei coseni degli angoli delle tre facce ... e viceversa. Ci sono dei rilievi mnemonici facilissimi!!
E anche la dimostrazione della prima formula tramite lo scrivere l'espressione di un segmento come lato comune di due distinti triangoli mediante il teorema di Carnot non ha nulla di difficile.
