[Erasmus]

nino280

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Occhio ai simboli!
Io avevo chiamato φ, χ e ψ gli angoli delle tre facce d'un triedro; e α, β e γ gli angoli diedri rispettivamente oppostialle facce con quegli ancgoli,

Comunque; sei d'acordo su fatto che l'altezza del tetraedro è uguale al prodotto dell'altezza di una faccia laterale per il seno dell'angolo diedro fatto da questa faccia con la faccia-base?

L'altezza di un triangolo è facile trovarla se si conoscono le lunghezze dei lati.
Col teorema di Carnot si trovano subito anche i coseni degli angoli d'un triangolo se si conoscono le lunghezze dei suoi lati.
Insomma: se di un tetraedro conosci le lunghezze di tutti gli spigoli puoi bene trovare i coseni dei tre angoli con il vertice comune in un vertice del tetraedro.

In trigonometria sferica i due "teoremi del coseno" mettono in relazione gli angoli delle facce di un triedro con gli angoli diedri dello stesso.
Nel "1° teorema del coseno" i coseni degli angoli diedri d'un triedro sono dati in funzione dei coseni e dei seni degli angoli delle facce.
Nel "2° teorema del coseno", viceversa, sono i coseni degli angoli delle facce [di un triedro] che sono dati in funzione dei coseni e dei seni degli angoli diedri di querl triedro.
Le espressioni del "2° teorema del coseno" sono quasi le stesse di quelle del 1°. Differiscono solo (a parte l'ovvio scambio dei simboli) per un segno: al posto del "meno" che c'è nel 1°, nel2° c'è un "più".

Le riscrivo tutte (questa volta anche quelle del "2° teorema del coseno").
[NB: Come già detto φ, χ e ψ sono gli angoli delle facce di un triedro e α, β e γ sono gli angoli diedri rispettivamente opposti: α (alfa) opposto di φ (phi); β (beta) opposto di χ (chi): γ (gamma) opposto di ψ (psi)].

1° teorema del coseno
             cos(φ) – cos(χ)·cos(ψ)
cos(α) = ––––––––––––––––––– ;    
                  sin(χ)·sin(ψ)

             cos(χ) – cos(ψ)·cos(φ)
cos(β) = ––––––––––––––––––– ;
                 sin(ψ)·sin(φ)

             cos(ψ) – cos(φ)·cos(χ)
cos(γ) = –––––––––––––––––––.
                 sin(φ)·sin(χ)

2° teorema del coseno
             cos(α) +  cos(β)·cos(γ)
cos(φ) = ––––––––––––––––––– ;    
                 sin(β)·sin(γ)

             cos(β) + cos(γ)·ccos(α)
cos(χ) = ––––––––––––––––––– ;
                 sin(γ)·sin(α)

             cos(γ) + cos(α)· cos(β)
cos(ψ) = –––––––––––––––––––.
                 sin(α)· sin(β))

nino280

[...]Quando vedo quattro coseni che si moltiplicano e si sottraggono di sopra fra di loro che poi si rapportano ad un altro paio di seni che a loro volta si sono moltiplicati io mi sono perso già ai primi due coseni.

Ma non dire stronzate!
L'espressione di un coseno di un angolo diedro in funzione degli angoli delle facce è facilissima da ricordare. Come sarebbe facile ricordare espressioni del del tipo:

Dirette:
             a – b·c                                b – c·a                                   c – a·b
x = ––––––––––––––––––;   y = ––––––––––––––––––;   z =  ––––––––––––––––––.
     √(1– b^2) · √(1–c^2)         √(1– c^2) · √(1–a^2)           √(1– a^2) · √(1–b^2)
Inverse:
             x + y·z                                y + z·x                                   z + x·y
a = ––––––––––––––––––;   b = ––––––––––––––––––;   c =  ––––––––––––––––––.
     √(1– y^2) · √(1–z^2)         √(1– z^2) · √(1–x^2)           √(1– x^2) · √(1–y^2)

Solo che al posto di 6 lettere (divise in due terne) devi mettere i coseni di 6 angoli (divisi pure in due terne: i coseni dei tre angoli diedri in funzione dei coseni degli angoli delle tre facce ... e viceversa. Ci sono dei rilievi mnemonici facilissimi!!

E anche la dimostrazione della prima formula tramite lo scrivere l'espressione di un segmento come lato comune di due distinti triangoli mediante il teorema di Carnot non ha nulla di difficile.
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