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Vecchio 15-06-18, 04:29   #7
Erasmus
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Predefinito Re: Volume d'un tetraedsro irregolare.

@ nino280

Sμ, i numeri sono giusti (e quelli della seconda figura piω precisi dei precedenti, con tutte le cifre giuste [l'ultima approssimata per eccesso)].
Con 14 cifresignificative l'altezza h rispetto alla faccia-base di spigoli 13, 14 e 15 viene:
h = 5,7901699663996
[Con sole 7 cifre significative diventa 5,790170, esattamente il tuo risultato].
Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Io ho avuto la pazienza di leggere tutto.
3 quarti d'ora per capire che intenzioni aveva Erasmus, [...]
Ma alla fine, hai capito davvero che cosa intendeva?

Diciamolo con parole semplici.
Pensiamo il tetraedro come una piramide a base triangolare. Le facce sono pure triangolari. Chiamiamo g l'altezza di una faccia rispetto al lato in cimune cin la faccia-base.
Nel tuo caso, prendendo ABC come base (di lati 13, 14 e 15) onsidera la faccia ABD (di lati 9, 14 e 10).
La sua area – con Erone – viene √(33·15·13·5)/4 = (15/4)·√(143)
L'altezza di questo triangolo rispetto al lato lungo 14 θ allora:
g= 15·√(143)/28 ≈ 6,40621111237575.
Per avere l'altezza h piramide devi proiettare questa g – altezza del triangolo-faccia rispetto allato che θ lato in comune col triangolo-base – sulla perpendicolare al piano della base. Devi cioθ moltiplicare g per il seno dell'angolo dietro fatto tra la base e la faccia considerata (ossia – nel nostro esempio – il diedro di spigolo AB di lunghezza 14; e questo spigolo θ opposto alla faccia degli spigoli di lunghezza 13 e 9).
Vedi dunque che occorre venir a conoscere un angolo dietro del triedro (che nell'esempio in corso θ quello di vertice A e di spigoli le tre semirette di origine A passanti rispettivamente per B, per C[ e per D).

Ecco allora l'opportunitΰ di quel teorema molto facile da ricordare. Lo ripeto:
Siano φ, χ e ψ gli angoli delle tre facce di un triedro e siano α, β e γ gli angoli diedri rispettivamente opposti ai detti angoli delle facce.
[Insomma: Il triedro ha per spigoli tre semirette con l'origine comune – vertice del triedro–.
L'algolo di una faccia ha per lati due di queste semirette e l'amgolo ietro opposto a questa faccia θ quello che ha per spigolo la terza semiretta.]
IAllora valgono queste uguaglianze:
Codice:
             cos(φ) – cos(χ)·cos(ψ)
cos(α) = ––––––––––––––––––– ;    
                  sin(χ)·sin(ψ)

             cos(χ) – ·cos(ψ)·cos(φ)
cos(β) = ––––––––––––––––––– ;
                 sin(ψ)·sin(φ)

             cos(ψ) – cos(φ)·cos(χ)
cos(γ) = –––––––––––––––––––.
                 sin(φ)·sin(χ)
Nel nostro caso abbiamo
cos(φ) = (14^2 + 13^2 – 15^2)/(2·13·14) = 5/13;
cos(χ) = (13^2 + 9^9 – 11^2)/(2·9·13) = 43/78;
cos(ψ) = (14^2 + 9^2 –10^2)/(2·14·9) = 59/84.

Beh... a questo punto continua tu (tenendo conto di come sono messi gli spigoli con gli assegnati valori di lunghezza.
Ho scopiazzato la tua figura aggingendo l'altezza di una faccia ed evidenziando l'angolo diedro che intervieene nel determinare l'altezza del tetraedro tramite l'altezza di quella faccia. Ecco qua:

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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 17-06-18 01:38.
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