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Vecchio 14-06-18, 01:44   #1
Erasmus
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Predefinito Volume d'un tetraedro irregolare.

Ho una volta – e forse più di una volta – parlato di "trigonometria sferica" (ed invitato INVANO a discuterne).

In quello che dirò sarà rilevante, dato un triedro – ossia tre semirette con l'origine comune individuanti una specie di piramide a tre facce laterali di altezza infinita – saper calcolare il coseno di uno dei suoi tre angoli diedri – diciamoli α, β e γ – conoscendo i tre angoli delle tre facce del triedro – diciamoli φ, χ e ψ [i.e. "phi", "chi" e "psi"] – .
Un siffatto triedro si ottiene proiettando dal centro di una sfera un suo triangolo sferico (il cui perimetro è costituito da tre archi di cerchio massimo).

Per quel che interessa il seguito di questo "post", ci si può limitare a trinagoli sferici contenuti in una mezza superficie sferica, ossia con gli angoli φ, χ e ψ delle tre facce non solo tutti minori di un angolo piatto [=π rad = 180°] , bensì con la somma minore di un angolo giro [i. e. φ + χ + ψ < 2π rad = 360°].

Siano α, β e γ gli angoli diedri rispettivanente opposti alle facce di angoli φ, χ e ψ (ossia gi angoli del triangolo sferico proiettato dal centro di una sfera col dato triedro).
In quello che dirò sarà rilevante il saper ricavare il coseno di un angolo diedro tramite la connoscenza dei coseni degli angoli di un dato triedro.
––––––––––––
Problema:
«Calcolare il volume di un tetraedro irregolare i cui 6 spigoli hanno lunghezze rispettive a, b, c, d, e ed f

In rete si trovano delle formulacce risolutive; ma non ne ho trovate le dimostrazioni (che suppongo piuttosto lunghe – e quindi tediose – e anche piuttosto difficili). Una di queste formule prevede il calcolo del determinante di una matrice quadrata simmetrica di formato 5 × 5. Cioè:
Codice:
Sia V il volume del tetraedroABCD di spigoli:
a = AB;  b = AC;  c = AD;
[i][d/I] = BC;  e = BD;  f = CD.
Allora V  si  può ricavare dalla seguente formula:
                            | 0        1         1         1         1   |           
                            | 1        0       a^2     b^2     c^2 |
288·V^2 = abs det | 1      a^2       0       d^2     e^2 |  
                            | 1      b^2     d^2       0       f ^2 |
                            | 1      c^2      e^2     f^2        0  |
dove "abs det" signifa "valore assoluto del determinante" [della matrice di formato 5 × 5 che segue "det").
Oltre al fatto che questo determinante ha 96 termini, non mi va di accettarne gratuitamente la validità!
Allora proporrò due metodi ciascuno dei quali è sì abbastanza lungo: ma è anche abbastanza facile il dimostrarne la validità.

Intanto ... inizio e proseguo a parlare in generale del tetraedro di spigoli di lunghezze qualunque (ovviamente però rispettosi delle effettiva costruibilità con essi d'un tetraedro tridimensionale, ossia rispettosi delle disuguaglianze triangolari realive a ciascuna delle quattro facce).

Non è restrittivo pensare che a, b e c siano le lunghezze di tre spigoli che sono lati di una faccia (quella di vertici A, B e C rispettivamente opposti (in quella faccia) ai lati di lunghezza a, b e c); e considerare gli altri tre spigoli di lunhezza d, e ed f come quelli che collegano i tre vertici A, B e C di una faccia con il quarto vertice D. non complanare con A, B e C,
Precisamente:
Codice:
[*]
a = BC;     b = CA;    c  = AB;
d =AD;     e = BD;     f  = CD;
-----------
Per il volume del teraedro propongo due metodi:
1) Se si riesce a scrivere tre spigoli con un estremo comune in un vertice in forma vettoriale, [per esempio quelli di estremo comune De di lunghezze rispettive d, e ed f), diciamo: [**]
d = [dx, dy, dz]
e = [ex, ey, ez];
f = [fx, fy, fz] .
allora il volume del tetraedro vale un sesto del modulo del prodotto scalare di uno dei tre vettori per il prodotto vettoriale degli altrri due. In formula (per esempio):
V = (1/6)·|d · (e × f)|.

2) Se si riesce a trovare la distanza h di un vertice dal piano della faccia opposta (per esempio la distanza di D dal piano della dalla faccia ABC), detta S l'area della detta faccia, il volume è ovviamente:
V = S·h/3.

In entrambi i metodi è utile saper ricavare un angolo diedro d'un triedro – per esempio: saper caicolarne il coseno – conoscendo gli angoli delle facce – per esempio conoscendone i coseni (e di conseguenza anche i seni).
Allo scopo, è sufficiente il 2° teorema fondamentale della trigonometria sferica (che adesso enuncio e poi dimostro).
Siano φ, χ e ψ i tre angoli delle facce di un triedro; e siano α, β e γ gli angoli diedri rispettivamente opposti a φ, χ e ψ. Il "1° teorema dei coseni" dice:
Codice:
             cos(φ) – cos(χ)·cos(ψ)
cos(α) = ––––––––––––––––––– .     [***]
                  sin(χ)·sin(ψ)
Analogamente, ruotando la terne [φ, χ, ψ] in [χ, ψ, φ] e poi questa in [ψ, φ, χ] e corrispondsentemente α in β e poi β in γ:
Codice:
             cos(χ) – ·cos(ψ)·cos(φ)
cos(β) = ––––––––––––––––––– ;
                 sin(ψ)·sin(φ)

             cos(ψ) – cos(φ)·cos(χ)
cos(γ) = –––––––––––––––––––.
                 sin(φ)·sin(χ)
Dimostro la [***].
Con riferimento alla figura seguente:

ricavando QR conb Carnot dai triangoli PQR e VQR e confrontando si ha:
QR^ = [u·tan(χ)]^2 + [u·tan(ψ)]^2 – 2· u·tan(χ)·u·tan(ψ) ·cos(α);
QR^ = [u/cos(χ)]^2 + [u/cos(ψ)]^2 – 2· [u/cos(χ)]·[u/cos(ψ)]·cos(φ).
Da qui (essendo [sin(x)]^2 = 1 – [cos(x)]^2 per ogni x):
1/[cos(χ)]^2 – 1 + 1/[cos(ψ)]^2 – 1 – 2cos(α)·[sin(χ)·sin(ψ)]/[cos(χ)·cos(ψ)] =
= 1/[cos(χ)]^2 +1/[cos(ψ)]^2 – 2·cos(φ)./[cos(χ)·cos(ψ)] ⇔
⇔ –2 – 2·cos(α)·[sin(χ)·sin(ψ)]/[cos(χ)·cos(ψ)] = – 2·cos(φ)./[cos(χ)·cos(ψ)] ⇔
[moltiplicando per –cos(χ)·cos(ψ)/2 ed esplicitando poi rispetto a cos(α)]
⇔ cos(α)*= [cos(φ) – cos(χ)·cos(ψ)] / [[sin(χ)·sin(ψ)] {cioè proprio la [***]}
---------
Se un triangolo RST ha i lati di lunghezza ST = r; TR = s; RS = t ed angoli rispettivamente opposti u, v e w, i coseni di questi valgono (come si trova con Carnot):
cos(y)=(s^2 + t^2 – r^2)/(2st); cos(v)=(t^2 + r^2 – s^2)/(2tra); cos(w)=(r^2 +s^2 – b^2)/(2rs). Dati i 6 spigoli d'un tetraedro si possono dunque calcolare i coseni di tutti i 12 angoli (a tre a tre con vertice comune in un vertice del tetraedro). Basta dunque il "1° teorema dei coseni" (dimostrato qui sopra) per calcolare uno qualsiasi dei 6 angoli diedri.
––––––––––
Nel metodo 1) si può assumere B((0,0,0) e C(a,0,0) (e allora CB = a).
Poi, detto χ l'agolo che nella facia ABC è opposto al lato CA di lungheza b, A(c·cos(χ), c·sin(χ), 0) (e allora CA = b).
Restano da determunare le coordinate del quarto vertice D, l'unico con la terza coordinata z ≠ 0.
Considerato il triangolo BCD , sia H il piede su BC della perpendicolare per Da BC e si ponga g = DH.
Allora g è l'altezza del triangolo BCD relativa al lat[i]o BC di lunghezza a (facilmente calcolabile).
Infine, calcolato langolo diedro – diciamolo β – di spigolo BC, la coordinata z di D vale z = [i]g]·sin(β).
NB: h è l'altezza del tetraedro retlativa alla faccia ABC].
Dette x e y lle prime due coordinate di D, esse – essendo e = BD, esse sono
• x = √(e^2 – g^2);
• y = √[e^2 – (x^2 + h^2)].
––––––
Infine, nel metodo 2) possiamo considerare base una faccia (per esempio ABC) e trovare la distanza del quarto vertice dalla faccia-base (cioè l'altezza del tetraedro rispetto a quella facia) nortiplicando l'altezza di una faccia laterale per il seno dell'angolo diedro il cui spigolo è lato comune di questa faccia laterale e della faccia-base.
[Il procedimento per trovare l'altezza è lo s srtesso adoperato nel metodo 4) per trovare la coordinata z del vertice D quando gli altri tre vertici A, B e C stanno nel piano di equazione z = 0.

Adesso nino280, aspesi e Lagoon sono invitati a calcolare il volume del tetraedro ABCD che la faccia ABC una faccia di lati lunghi
CA = 13; AB = 14; BC = 15;
e gli altri tre spiigoli con le seguenti lunghezze:
AD = 9; BD = 10; CD = 11.
–––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 20-06-18 02:38.
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