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Vecchio 17-01-10, 13:19   #7
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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b) Dati due numeri reali positivi x ed y, si indichino con
• Ma la media aritmetica (x+y)/2
• Me la media efficace √[(x^2 + y^2)/2]
• Mg la media geometrica √(xy)
• Mh la media armonica 2/(1/x + 1/y).
Se x = y = M, ogni media vale ovviamente M
Se x è diverso da y, si mettano in ordine crescente le 4 medie provando la validità dell'ordine.

NON MI PIACCIONO TANTO QUESTE COSE SCOLASTICHE

Comunque:

Se x e y = 0
Le medie: aritmetica, efficace e geometrica sono = 0, quella armonica è N.D.

Se x o y = 0
L'ordine è questo:
Media efficace > 0 ** Media geometrica = 0 ** Media aritmetica > 0 o < 0 a seconda del segno del termine non nullo ** Media armonica = N.D.

Se x > 0 e y > 0
L'ordine è questo:
Media efficace > media aritmetica > media geometrica > media armonica

Se x > 0 e y < 0 (o viceversa):
Media efficace > media aritmetica > media armonica (media geometrica = N.D.)

Se x < 0 e y < 0
Media efficace > media geometrica > 0 > media armonica > media aritmetica

Esaminiamo il caso x>0 e y>0 :

Media efficace > Media aritmetica:
Facciamo i quadrati
(x^2 + y^2)/2 > ((x+y)/2)^2 = (x^2 + y^2 +2xy)/4
(2x^2 + 2y^2) > (x^2 + y^2 + 2xy)
(x^2 + y^2) > 2xy

Infatti, se a= b + c (c>0)
b^2 + c^2 + 2bc + b^2 > 2b^2 + 2bc
2b^2 + c^2 > 2b^2 come volevasi dimostrare

Media aritmetica > Media geometrica:
(x + y)/2 > radq(xy)
Facciamo il quadrato:
(x^2 + y^2 + 2xy)/4 > xy
(x^2 + y^2) > 2xy
come già dimostrato prima

Media geometrica > Media armonica:
radq(xy) > 2/(1/x + 1/y) = 2xy/(x+y)
Facciamo il quadrato:
xy(x+y)^2 > 4x^2y^2
(x^3y + 2x^2y^2 + xy^3) > 4x^2y^2
(x^2 + y^2) > 2xy
come già dimostrato prima


Nino

Ultima modifica di aspesi : 17-01-10 13:21.
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