Discussione: Qualche quiz
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Vecchio 28-11-20, 06:08   #3864
Erasmus
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nino280 Visualizza il messaggio
[...] se invece di fare le somme di tutti i reciproci dei naturali al quadrato, faccio la somma di tutte le radici quadrate che cosa ottengo?
Questa somma tende all'infinito ; e lo fa più in fretta della "serie armonica", (che è la somma dei reciproci dei numeri interi positivi). Infatti 1(√(n) = √(n)/n > 1/n per ogni n maggiore di 1.

Pensa in generale alla somma dei reciproci degli interi elevati ad un certo esponente positivo. Come segue:
1 + 1/(2^k) + 1/(3^k) + 1/(4^k) + ... + 1/(n^k) + ...
Per k = 1 hai la "serie armonica, la quale è divergente. [ma "diverge" il più lentamente possibile, al pari di ln(n)l).
Al crescere indefinitamente di n, la differenza tra la somma dei reciproci degli interi da 1 a n compreso e ln(n) tende ad una costante (detta "costante di Mascheroni-Eulero" ed indicata con γ) che vale [quasi] 0,57721567.
Insomma: detta Hn la somma dei reciptoci degli interi da 1 ad n compreso, la differenza Hn – ln(n) al tendere di n all'iìfinito tende a γ,
Perciò, per n molto grande abbiamo circa:
Hn = ln(n) + γ.
[L'approssimazione è per difetto, cioè Hn è sempre maggiore di ln(n) + γ ma lo approssima sempre meglio al crescere di n].
Ovviamente, per esponente k positivo ma minore di 1 i denominatori sono più piccoli che se fosse k=1, e quindi gli addendi sono più grand idi quelli della serie armonica. [E fare le radici quadrate equivale ad elevare a k=1/2]. Alora la serie divewrge più in fretta della serie armonica.
Invece, per k maggiore di 1 il denominatore è maggiore che se fosse k = 1, quindi la somma cresce (al crescere dell'indice) meno in fretta della serie armonica.
Si dimostra che se è k > 1 la somma converge.
Però ... è chiaro che converge ad un limite tanto maggiore quanto più prossimo è k ad 1 (pur restando maggiore di 1).
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Ai tempi in cui c'era ancora Piotr, ho riportato un lavoro che io avevo fatto molti anni prima (prima che ci fossero i personal computer): trovare la somma dei reciproci delle potenze pari defg.i interi poitivi.
[La somma dei regiproci dei quadrati, detta storicamente "serie di Eulero"e modernamente indicata con ζ(2) è un caso particolare. Io avevo trovato la formula di ζ(2n) per n intero positivo qualsiasi].
Precisamente, ho riportato qui in Rudi Mathematici:
a) la dimostrazione del fatto che la somma dei reciproci di potenze di esponente pari – diciamolo 2n – degli interi converge al prodotto di un numero razionale per π^(2n):
b) la formula generale di questa somma per n intero qualsiasi.
c) i valori per potenze di esponente 2m con m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8).
Inoltre ho spiegato come aveva fatto Eulero a calcolare la somma dei reciproci dei quadrati [trovando appunto (π^2)/6].

Insomma, il bello (per me) era che avevo dimostrato che per ogni n intero positivo
Codice:
             
ζ(2n) =  1/(m^(2n) = kn·π^(2n) (dove kn è razionale)
           m=1
trovando la formula che calcola kn = ζ(2n)/[π^(2n)]
I primi [fattori razionali] [size="3"]k[/SI E]n sono implicitamente scritti in quel che segue:
Codice:
ζ(2) = (1/6)·(π^2); 
ζ(4) = (1/90)·(π^4); 
ζ(6) =(1/945)·(π^6); 
ζ(8) = (1/9450)· (π^8); 
ζ(10) = (1//93555)·(π^10);
ζ(12) = (691/638512875)·(π^12); 
ζ(14) = (2/18243225)·(π^14);
ζ(16) =  (3617/325641566250)·(π^16).
Naturalmente non avevo fatto nulla di originale!
Quel che avevo trovato era già stato trovato da altri ben prima di me! Ma siccome allora non c'era mica Internet, io non potevo sapere cosa avessero fatto gli altri e come l'avevano fatto, anche se pensavo che di sicuro, tra la moltitudine di matematici anteriori ai miei studi (e ben più bravi di me) senz'altro c'era già stato chi aveva trovato quel che anch'io avevoo trovato .
Mi restava però la soddisfazione di aver trovato per conto mio qualcosa di bello (perché davvero sorprendente).
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Nel 2004 ho fatto un altro lavoretto (che mi è piaciuto molto ! [Anche in questo penso di essere stato anticipato da altri almeno di un secolo! Ma di preciso non lo so].
Ho trovato una formula che simula molto bene la somma Hn in real time
La formula consiste nell'aggiungere all'espressine ln(n) + γ una serie di potenze di 1/n.
Bastano pochi termini per approssimare Hn con almeno 12 cifre giuste.

La mia formula è
Hn = ln(n) + γ + A1/n + A2/n^2 + A4/n^4+A6/n^6 A8/n^8 + ... +A2k/n^(2k) + ...
[Tutti i coefficienti di indice dispari sono nulli tranne A1; il segno dei coefficienti di indice pari si alterna tra negativo e positivo].
I primi coefficienti sono:
A1=1/2; A2=– 1/12; A4= 1/120; A6=– 1/252;
A8=1/240; A10=– 1/132; A12=691/32760.
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Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 28-11-20 08:41.
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