Discussione: Nino - Nino
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Vecchio 20-01-21, 17:55   #1143
Erasmus
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Predefinito Re: Nino - Nino

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(Erasmus aveva giΰ proposto un problema simile, spiegando come si puς ottenere il raggio del cerchio circoscritto)
Non mi ricordo di preciso, ma ricordo di aver parlato molti anni fa dei quadrilateri articolati, dimostrando tra l'altro che a paritΰ di lati l'area massima ce l'ha quellocircoscrivibile (ma ora non saprei piω ripetere questa dimostrazione ).

Voglio ripetere, perς, la traccia di come si puς arrivare alla formula dell'area di un quadrilatero convesso circoscrivibile e al calcolo del raggio del cerchio circoscritto.
E' facile verificare che se un quadrilatero [convesso] θ circoscrivibile gli angoli opposti sono supplementari : Allora – cosa da tener presente – i due angoli opposti hanno coseno opposto e medesimo seno).

Supponiamo che i lati, in senso ciclico, siano lunghi a, b, c e d. Chiamiamo allora x la lunghezza (per ora incognita) della diagonale che lascia i lati lunghi a e b da una parte e quelli lunghi c e d dall'altra.
Se riuesiamco a calcolare x siamo a cavallo! Infatti x divide il quadrilatero in due triangoli inscritti nel medesimo cerchio.

I un triangolo di lati lunghi a, b e c il coseno dell'angolo opposto al lato lungo c θ [con Carnot]
(a^2 + b^2 – c^2)/(2a·b).
Con ciς, essendo opposti i coseni di due angoli opposti d'un quadrilatero circoscrivibile abbiamo:
(a^2 + b^2 – x^2)/(2ab) = – (c^2 + d^2 – x^2)/(2cd).
Da qui si ricava facilmente x^2 (dove x θ una delle due diagonali):
Codice:
            (a^2 + b^2)·cd + (c^2 + d^2)·ab
x^2 =  -------------------------------------–––––.
                              ab + cd
.
Il coseno dell'angolo di lati a e b risulta dunque:
Codice:
                     (a^2 +b^2)cd + (c^2 +d^2)ab
a^2 + b^2 –  ––––––––––––––––––––––––––
                                  ab + cd                            (a^2 +b^2)ab –*(c^2 +d^2)ab      (a^2 +b^2) –*(c^2 +d^2)
--------------------------------------------------------–  = ––––––––––––––––––––––––––  =  ––––––––––––––––––––––; (*)
                        2ab                                                        2ab(ab+cd)                            2 (ab + cd)
ed il coseno dell'angolo di lati c e d risulta analogamente]:
Codice:
                     (a^2 +b^2)cd + (c^2 +d^2)ab
c^2 + d^2 –  ––––––––––––––––––––––––––
                                  ab + cd                            (c^2 +d^2)cd –*(a^2 +b^2)cd      (c^2 +d^2) –*(a^2 +b^2)
--------------------------------------------------------–  = ––––––––––––––––––––––––––  =  ––––––––––––––––––––––; (**)
                        2cd                                                        2cd(ab+cd)                            2 (ab + cd)
cioθ l'opposto di di (*)
Trovato dunque x^2 in funzione di a, b, c e d si trova facilmente il coseno dei due angoli opposti e quindi anche il comune seno che risulta –indicandolo con F[(a,b), (c, d)] –:
Codice:
F[(a,b). (c,d)] =
       _______________________________           __________________________________________________________________________
    /\  |       [(a^2 + b^2) – (c^2 + d^2)]^2      √ 2[(ab)^2 +(ac)^2 +(ad)^2 +(bc)^2 +(bd)^2 + (cd)^2]+8abcd –(a^4 +b^4 +c^4 +d^4) 
=    \ | 1 – –––––––––––––––––––––––––––  =  –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––.
       \|                 [2(ab + cd)]^2                                                                  2(ab + cd)
E' facile verificare che l'espressione sotto l'ultima radice quadrata vale (–a+b+c+d)(a–b+c+d)(a+b–c+d)(a+b+c–d). Inftti:
(–a+b+c+d)(a–b+c+d)(a+b–c+d)(a+b+c–d) = [((c+d)^2 – (a–b)^2]·[(a+b)^2 –(c–d)^2] =
= {2(ab+cd) – [(a^2 + b^2) – (c^2 + d^2)]}·{2(ab+cd) + [(a^2 + b^2) – (c^2 + d^2)]} = 4(ab + cd)^2 – [(a^2 + b^2) – (c^2 + d^2)]^2 =
= 4(ab)^2 +4(cd)^2 +8abcd – (a^4 + b^4 + c^4 + d^4) – [2(ab)^2 + 2(cd)^2] + [2(ac)^2 + 2(ad)^2 +2(bc)^2 +2(bd)^2] =
= 2[(ab)^2 +(ac)^2 +(ad)^2 +(bc)^2 +(bd)^2 + (cd)^2]+8abcd –(a^4 +b^4 +c^4 +d^4) [C. D. D. ]

L'area Sq del quadrilatero θ la somma delle aree dei due triangoli di lati rispettivi (a, b, x) e (c, d, x) , cioθ – ponendo anche p = (a+b+c+d)/2*– :
Codice:
                                                                           _____________________________________
        ab·F[(a,b), (c,d)]         cd·F[(a,b), (c,d)]       √(–a+b+c+d)(a–b+c+d)(a+b–c+d)(a+b+c–d)        __________________
Sq =  –––––––––––––––  +  –––––––––––––––  =  –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = √(p–a)(p–b)(p–c)(p–d)  . (***)
                   2                                2                                                  4
Veniamo ora al raggio R del cerchio circoscritto al quadrilatero.
In un triangolo di lati a, b e c ed area S il rggio R del cerchio circoscritto θ
R = (a·b·c)/(4S).
Il raggio del cerchio circoscritto al quadrilatero [convesso] circoscrivibile diviso nei due triangoli di lati rispettivi (a, b, x) e (c, d, x) θ quello del cerchio circoscritto ai due triangoli uno di lati (a, b, x) e l'altro di lati (c, d, x).

Trovo elegante la formula (***) dell'are) , mentre non altrettanto elegante mi pare quelle del raggio del cerchio circoscritto [riportata da aspsi].
Penso che sia preferibile, appena trovato x e quindi l'area del triangolo di lati (a, b, x) – o di lati (c, d, x) –, ricordare soltanto la formula del raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo. Ossia:
Codice:
             a·b·x                   c·d·x
R  = –––––––––––    = –––––––––––.
         4·S(a, b, x)           4·S(c, d, x)
---------
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Ultima modifica di Erasmus : 21-01-21 01:26.
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