Visualizza un messaggio singolo
Vecchio 20-10-12, 00:48   #939
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,391
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Le soluzioni (m,n) dell'equazione:

Abs(m^2 - 2n^2) = 1

con m e n interi positivi, appartengono a due successioni.
Ho notato che se m è il numeratore e n il denominatore, la frazione converge a radice quadrata di 2. Ma non saprei dimostrare perché.
Mettici un po' di logica!
Quando m ed n sono entrambi molto grandi, 1 è trascurabile rispetto a ciascuno,
Supponiamo m^2 > 2n^2, (come nel caso di m = 99 e n = 70) in modo da fare a meno del valore assoluto.
Allora abbiamo m^2 = 1 + 2n^2
Poi ... dividiamo tutto per n^2. Otteniamo:
(m/n)^2 – 2 = 1/(n^2) ––> m/n = √[2 + 1/(n^2)]ì.
Più n è grande, più è trascurabile 1/(n^2) rispetto a 2.
Al tendere ad infinito di m e di n, m/n tende a √(2), (anche se tende ad infinito la differenza m – n)
Già per n = 70 (e quindi m = 99) abbiamo
√(2 + 1/4900) = √(2)·√(1 + 1/9800) ≈ √(2)·1,00051.
Supponiamo, viceversa, 2·n^2 > m^2, (come nel caso di n = 29 e m = 41).
Allora abbiamo m^2 – 2n^2 = –1
Dividendo tutto per n^2 otteniamo
(m/n)^2 = 2 – 1/(n^2) ––> m/n = √[2 – 1/(n^2)].
Già per n = 29 (e m = 41) si ha:
√(2 – 1/1681) = √(2)·√[1 – 1/3362] ≈ √(2)·0,999851.
---------
Vediamo la stessa cosa geometricamente.
Interpreta il più grande, tra m^2 e 2·n^2, come quadrato dell'ipotenusa di un triangolo, e il più piccolo come quadrato di un cateto. Allora l'altro cateto è lungo 1. Se m ed n sono grandi rispetto ad 1, ipotenusa e cateto lungo tendono ad essere lunghi ugualmente. Uno dei due è lungo m e l'altro √(2)n, ma tendono ad essere uguali: ossia m/n tende a √(2).
...........
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 12-02-15 21:39.
Erasmus non in linea   Rispondi citando