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Vecchio 19-10-12, 10:11   #932
Erasmus
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Predefinito Re: Riprendo il penultimo quiz di aspesi ...

Sull'onda del quiz che aspesi ha 'postato' in #893 ed io ho modificato nel 'post' #923, propongo un altro quiz.

Si sa che la somma delle potenze k-esime degli interi da 1 ad n un polinomio in n di grado k+1, diciamolo Pk+1(n).
Per esempio:
k = 1: > 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = (n + n^2)/2 = P2(n):
k = 2: > 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 = (n + 3n^2 + 2n^3)/6 = P3(n);
k = 3: > 1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... + n^3 = (n^2 + 2n^3 + n^4)/4 = P4(n);
...

E' anche ovvio che tutti questi polinomi (cio i Pk+1(n) per qualsiasi k naturale) sono divisibili per n, dato che, se metto n = 0, ... non ho fatto la somma di niente e quindi deve essere Pk+1(0) per ogni k naturale.

Dimostrare (con un po' di logica ) che
i polinomi Pk+1(n), tranne P1(n)
che vale n, sono pure divisibili per (n + 1).

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Ultima modifica di Erasmus : 19-10-12 10:15.
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