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Vecchio 19-09-11, 15:15   #36
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Tu hai detto la tua (che sarà certamente il modo più rigoroso barboso)

Adesso guarda la mia dimostrazione:

Riprendo il quadrato postato in precedenza:
__________________________________
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|...............A....................|.........B........| ...1 - y
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|----------------------------- |---------------|
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|..............C.....................|........D.........|......y
|.....................................|...................|
|.....................................|...................|
|_____________________|___________|
................. x ...................... 1 - x

Se A, B, C, D, sono le aree dei quattro rettangoli, i prodotti valgono:
C * B = x*y * (1-x)*(1-y)
D * A = (1-x)*y * x*(1-y)

Si nota subito che i due prodotti sono uguali (stessi fattori in diverso ordine)

Detto P questo prodotto e variando l'ordine, si può scrivere:
P = x*(1-x) * y*(1-y)

ossia P è anche il prodotto delle aree di due rettangoli, ciascuno con perimetro uguale a 2 (infatti la somma delle lunghezze di due lati consecutivi vale 1)

Questo lo so anch'io....
Fra tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro, l'area è tanto maggiore quanto più il rettangolo è "compatto"; il massimo si ha per
x = (1-x) = 1/2
e il rettangolo diventa un quadrato con l'area che vale 1/4 (idem per l'altro rettangolo)

Quindi, nel caso limite in cui i due segmenti passano per il centro del quadrato dato, dividendolo in 4 quadrati uguali, si ha:
x = (1-x) = y = (1-y) = 1/2
e il prodotto P vale 1/4*1/4 = 1/16

In tutti gli altri casi P<1/16

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